Функція y = tg x: та властивості. Підготували: Бушина Інна Борисівна, вчитель математики та інформатики ЗОШ № 5 м. Черкаси, вища категорія, вчитель-методист; Погрібна Людмила Іллівна, вчитель математики та інформатики ЗОШ № 2 м. Кам’янка, вища категорія
Назва «тангенс» , походить від латинського tanger (дотикатись). у Лінія тангенсів Дана назва Tangens 0 1 х з'явилась у 1583 році. перекладається – «що дотикається» , лінія тангенсів - дотична до одиничного кола.
Означення функції y = tg x у Pα(x; y) y α x 0 1 х Тангенсом кута називають відношення ординати точки Pα(x; y) до її абсциси.
Побудова графіка функції y = tg x Графік функції y=tg x побудуємо за допомогою лінії тангенсів на проміжку ( ; ), довжина якого дорівнює періоду p цієї функції. Лінія тангенсів у P P P 0 0 х 1 P P P 0 х
Графік функції y = tg x Графіком функції y = tg x є крива, яка називається ТАНГЕНСОЇДОЮ У Х
1. Область визначення: х = p /2+ pn, (n Є Z) – вертикальні асимтоти У Х Властивості функції y = tg x
2. Область значень: У Х Властивості функції y = tg x
3. Парність або непарність: Графік функції симетричний відносно початку координат О(0; 0) функція y = tg x непарна. У Х Властивості функції y = tg x
4. Періодичність: функція y = tg x періодична з періодом Функція y = tg x – періодична з найменшим додатнім періодом T = p. tg (x + pn) = tg x, (n Є Z) У Х Властивості функції y = tg x
5. Точки перетину графіка функції y = tg x з осями координат: а) з віссю ОХ (нулі функції): б) з віссю ОY: У Х Властивості функції y = tg x
6. Проміжки знакосталості: У Х Властивості функції y = tg x
7. Проміжки монотонності у Лінія тангенсів tg x 2 При збільшенні аргументу функції х (x 2> x 1) ордината відповідної точки лінії тангенсів збільшується, tg x 1 0 x 2 1 х тобто tg x 2> tg x 1. Функція зростає на всій області визначення
У Х Властивості функції y = tg x
8. Екстремуми функції Найбільшого та найменшого значень функція не має. У Х Властивості функції y = tg x
Виконання вправ на закріплення властивостей функції у= tg x Вправа 1. Користуючись властивостями функції у= tg x, порівняйте числа: 1. tg 150 і tg 1400 2. tg (-1, 2 p) і tg (-0, 1 p) 3. і Вправа 2. Розташуйте числа в порядку їх зростання: tg(-1, 3); tg 0, 7; tg 1, 5. Властивості функції y = tg x
Перевір правильність виконання та запис пояснень до вправ: Вправа 1 Розв’язання 1. Оскільки tg 1400= tg (900+500)= tg 500 і функція у= tg x зростає на проміжку (-p/2; p /2) і 150 < 500, то tg 150 < tg 500. Отже, tg 150 < tg 1400. 2. Оскільки tg (-1, 2 p)=tg (-p - 0, 2 p) = tg (- 0, 2 p) і функція у= tg x зростає на проміжку (-p /2; p /2) і - 0, 2 p < - 0, 1 p, то tg (- 0, 2 p) < tg (- 0, 1 p). Отже, tg (- 1, 2 p) < tg (- 0, 1 p). 3. Оскільки tg (10 p/9)=tg (p + p/9) = tg (p/9) і функція у= tg x зростає на проміжку (-p /2; p /2) і 2 p/9 > p/9 , то tg 2 p/9 > tg p/9. Отже, tg 2 p/9 > tg 10 p/9. Вправа 2 Розв’язання Оскільки функція у= tg x зростає на проміжку (p/2; p /2) і -1, 3<0, 7<1, 5 то tg (-1, 3) < tg 0, 7 < tg 1, 5. Отже, tg (-1, 3) < tg 0, 7 < tg 1, 5. Властивості функції y = tg x
Виконай самостійно: Вправа 1. Користуючись властивостями функції у= tg x, порівняйте числа: 1. tg(-2, 6 p) і tg(-2, 6 1 p) 2. tg 2 і tg 3 3. tg 2, 7 і tg 2, 75 4. tg 1 і tg 1, 5 Перевір Відповіді: Вправа 1. tg 2 < tg 3 3. tg 2, 7 < tg 2, 75 4. Розташуйте числа в порядку їх зростання: tg(-2, 6 p) > tg(-2, 6 1 p) 2. Вправа 2. 1. tg 1 < tg 1, 5 Вправа 2. 1. tg 250; tg 650; tg 150. 1. tg 150; tg 250; tg 650. 2. tg(-1); tg (-3); tg (-2). 2. tg(-3); tg (-2); tg (-1); . 3. tg(-3); tg (-5); tg 3. tg(-5); tg (-3); tg 3. Властивості функції y = tg x
Побудувати графік функції y = - tg x Для побудови графіка функції y = - tg x необхідно графік функції y = tg x відобразити симетрично відносно осі OX. У Х
Побудувати графік функції y = tg x + 1 Для побудови графіка функції y = tg x + а, необхідно виконати паралельне перенесення графіка функції y = tg x вздовж осі OY на а одиниць вгору У 1 Х -1
Побудувати графік функції y = tg (x + p/6) Для побудови графіка функції y = tg (x + а), необхідно виконати паралельне перенесення графіка функції y = tg x вздовж осі OX на а одиниць вліво. У Х
Побудувати графік функції y = Іtg xІ Для побудови графіка функції y = | tg x |необхідно додатну частину графіка функції y = tg x залишити незмінною, а від'ємну частину відобразити симетрично відносно осі OX. У Х
Побудувати графік функції y = tg | x | Для побудови графіка функції y = tg | x | необхідно побудувати графік функції y = tg x, коли x≥ 0, та відобразити його симетрично відносно осі OY. У Х
Перевір себе! Серед наведених графіків зазначте графік функції y=|tg x| А Б В Г
Перевір себе! 1. Функція y=2 tg x зростає на проміжку: А. Б. В. Г. Д. 2. Графік функція y = tgx паралельно перенесли на 2 одиниці вниз вздовж осі Oy і на π/4 одиниці вліво вздовж осі Ox. Отримали наступний графік функції: А. Б. В. Г.