функция возрастает Предположим что функция f не имеет

функция возрастает Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. наибольшее значение наименьшее значение a b функция убывает наибольшее значение наименьшее значение a b Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.

Примеры Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. наибольшее значение наименьшее значение a c b наибольшее значение наименьшее значение a c n b Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

1. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27 x на отрезке [0; 4] Значения функции в концах отрезка. 1) y(0) = 0 y(4) = 43– 27 4 = – 44 3 Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. -3 2) y / = 3 x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) x=3 x = – 3 [0; 4] y(3) = 33– 27 3 = – 54 В 11 - 5 4 3 10 х х

Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно. Этапы 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27 x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3 x 2 – 27 3 2) y / = 3 x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) [0; 4] x=3 [0; 4] x = – 3 3) y(0) = 0 y(4) = 43– 27 4 = – 44 y(3) = 33– 27 3 = – 54 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее -3 В 11 - 5 4 3 10 х х

Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума. наименьшее значение a b Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. наибольшее значение Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение. a b

Другой способ решения Этапы 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27 x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3 x 2 – 27 3 -3 2) y / = 3 x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) y y + 0 -3 – + 3 min 4 x 3) y(3) = 33– 27 3 = – 54 В 11 - 5 4 3 10 х х Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

2. Найдите наибольшее значение функции y = x 3 – 3 x + 4 на отрезке [– 2; 0] Значения функции в концах отрезка. 1) y(0) = 4 y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2 1 Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. -1 2) y / = 3 x 2 – 3 = 3(x 2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1) x=1 [-2; 0] x = – 1 [-2; 0] y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6 В 11 6 3 10 х х

3. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 2 x 2 + x +3 на отрезке [ 1; 4 ] Значения функции в концах отрезка. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. 1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3 y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39 2) y / = 3 x 2 – 4 x + 1= 3(x – 1)(x – 3 x 2 – 4 x + 1 = 0 D=16– 4*3*1=4 4+2 x 1= =1 [1; 4] 6 4 -2 1 = [1; 4] x 2= 6 3 y(1) = 3 В 11 3 3 10 х х 1 ) 3

4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3; 3 ] Значения функции в концах отрезка. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. [-3; 3] x = – 3 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x=3 [-3; 3] y(-3) = 11 y(-3) = -25 В 11 1 1 3 10 х х

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] Значения функции в концах отрезка. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. 2 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. [1; 9] В 11 1 3 10 х х

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] Значения функции в концах отрезка. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде 2 Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. [1; 9] Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. В 11 - 3 3 10 х х

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ] D(y): x = 0 Значения функции в концах отрезка. / æ 1ö 1 =- 2 ç ÷ х èхø Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде [-10; 1] x=5 x = – 5 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. x=0 В 11 [-10; 1] D(y) - 1 2 , 5 3 10 х х

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ] Значения функции в концах отрезка. D(y): x = 0 Можно решить задание, применив формулу: / æ u ö u / v - uv/ ç ÷ = 2 vø v è Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. В 11 - 1 2 , 5 3 10 х х

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ] Значения функции в концах отрезка. / æ 1ö 1 =- 2 ç ÷ х èхø D(y): x = 0 Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. 3 7 3 10 х [ 1; 9] x=0 В 11 [ 1; 9] x = – 6 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. x=6 D(y) х

9. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 3; 10 ] 1). Первое число меньше 1, т. к. Значения функции. знаменатель e 4 > 5 в концах отрезка. 2). Второе число – отрицательноe. 3). Значит, наибольшее число 1. uv) = u / v + uv/ ( / Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. 7 x=7 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. [ 3; 10] 1 В 11 1 3 10 х х

10. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 7 ] Значения функции в концах отрезка. uv) = u / v + uv/ ( / Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. 8 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. x=2 [ 1; 7] x=8 [ 1; 7] В 11 - 4 2 Наименьшее число – 4, т. к. первые два положительные. 1 3 10 х х

(lnx) = / 1 x 11. Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+5)5 – 5 x на отрезке [-4, 5; 0] 1. Найти f /(x) y = 5 ln(x+5) – 5 x Запишем функцию в удобном 2. Найти критические дифференцирования = -4 x виде [-4, 5; 0] для точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. y y -5 – -4 max 0 x В 11 2 0 3 10 х ж су ас р о жн Мо аче ин Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. 0 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее. -4, 5+ + ь ат д х

12. Найдите наибольшее значение функции 1 5 y = ln(11 x) – 11 x + 9 на отрезке [ ; ] 22 22 (lnx) = 1 x / 1. Найти f /(x) 1 x= 11 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат y данному отрезку. y 1 22 + 5 22 – 1 11 max 0 В 11 x 8 3 10 х х [ 1 5 ; ] 22 22 Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

(lnx) = / 13. Найдите наименьшее значение функции 5 7 y = 2 х2 – 5 x + lnx – 3 на отрезке [ ; ] 6 6 1 x 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат y данному отрезку. y x=1 5 6 7 6 + – 1 x min 0 В 11 - 6 3 10 х х [ 5 6 ; 7 ] 6 Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

(cosx) = – sinx / 14. Найдите наибольшее значение функции y = 7 cosx +16 x – 2 на отрезке Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0. Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т. е. в точке х=0. 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 0 В 11 5 3 10 х х Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее.

(sinx ) = cosx / 15. Найдите наибольшее значение функции 36 y = 10 sinx – x + 7 на отрезке 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Синус –нечетная функция 0 Критических точек нет. Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка. Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как? Формула приведения pö p æ 5 p ö æ æ 5 p ö 1 sin ç - ÷ = - sin ç p - ÷ = - sin = В 11 3 2 6ø 6 2 è 6 ø è 3 10 х х

(cosx) = – sinx / 16. Найдите наименьшее значение функции y = 5 cosx – 6 x + 4 на отрезке 1. Найти f /(x) Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0. Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т. е. в точке х=0. 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 0 1 В 11 9 3 10 х х Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

17. Найдите наибольшее значение функции y = 12 cosx + 6 x– 2 + 6 на отрезке 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок В 11 1 2 3 10 х х

17. Найдите наибольшее значение функции y = 12 cosx + 6 x– 2 + 6 на отрезке 1. Найти f /(x) е 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. y y 0 ь ат д + – 3 max 2 ч на и уж сс а ор н Убедимся, что данная точка ож М является точкой максимума на заданном промежутке. Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой x точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать. В 11 1 2 3 10 х х

18. Найдите наименьшее значение функции y = 11 + – х– cosx на отрезке 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. y y 0 – + 2 x 6 min Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума на заданном промежутке. Значит, наименьшее значение функцияне нужны ВСЕ Но нам достигает именно в этой точке. стационарные точки. Тогда значения функции в концах Необходимо сделать выбор тех отрезка можно не считать. в значений, которые попадут заданный отрезок В 11 4 3 10 х х

19. Найдите наименьшее значение функции 1 (tgx) = cos 2 x / y = 4 tgx – 4 x – + 5 на отрезке 1. Найти f /(x) 0 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в 3. Вычислим значения функции заданный отрезок в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наименьшего. В 11 1 3 10 х х

20. Найдите наибольшее значение функции 1 (tgx) = cos 2 x / y = 3 tgx – 3 x + 5 на отрезке 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 0 Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. Необходимо сделать выбор тех 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего. значений, которые попадут в -1 заданный отрезок 0 В 11 5 3 10 х х

Решая задания на наибольшее и наименьшее значение функции, я применяла различные способы. Если вы решаете задания своим способом и всегда попадаете в правильный ответ, не стоит переучиваться. При использовании материалов сайта необходимо сделать ссылку на сайт http: //le-savchen. ucoz. ru