ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ-ДИРАКА Представление о функции распределения Ферми

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ-ДИРАКА Представление о функции распределения Ферми можно получить, рассматривая электронный газ в металлах при абсолютном нуле. Металл для свободных электронов является потенциальной ямой, выход из которой требует совершения работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны в металле. В соответствии с принципом Паули, на каждом таком уровне могут разместиться два электрона с противоположными спинами. Если электронный газ содержит N электронов, то последним занятым окажется уровень N/2. Этот уровень называется уровнем Ферми для электронного газа. Он соответствует максимальной энергии EF, которой может обладать электрон в металле при абсолютном нуле. Эта энергия называется энергией Ферми.

Таким образом, при абсолютном нуле все состояния с энергией EEF свободны. Иначе говоря, при T = 00 К вероятность заполнения электронами состояний с энергией EEF равна нулю. Функция распределения для вырожденного газа фермионов имеет следующий вид: Для простоты будем считать, что при T = 00 К химический потенциал электронного газа равен энергии Ферми: График функции распределения Ферми-Дирака при абсолютном нуле имеет вид ступеньки, обрывающейся при E=EF. При E=EF функция распределения равна ½ при любой температуре. Со статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна ½.

Умножая функцию распределения на число состояний, получим полную функцию распределения Ферми-Дирака при абсолютном нуле: Интегрируя полную функцию распределения в пределах от 0 до EF, получим Отсюда можно определить величину энергии Ферми: где n=N/V - концентрация электронного газа в металле. Зная функцию распределения электронов по энергиям, можно определить среднюю энергию электронов при абсолютном нуле. Эта энергия равна 3 EF/5. Энергия Ферми, будучи энергией поступательного движения свободных электронов, не является энергией их теплового движения. Она имеет квантовую природу.

ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМИ Поверхность в пространстве импульсов, соответствующая энергии Ферми, называется поверхностью Ферми. В случае свободных электронов эта поверхность описывается уравнением и, таким образом, имеет форму сферы. Радиус сферы Ферми называется импульсом Ферми. Температура Ферми задается выражением