Функция Клобертанц Е П Красноярск 2010 Понятие

Функция Клобертанц Е. П. Красноярск, 2010

Понятие функции • Функция – зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y. y = f(х), где x– независимая переменная или аргумент y – зависимая переменная

Для функции находят: • Область определения функции – все значения, которые принимает независимая переменная. Обозначается : D (f). • Область (множество) значений функции – все значения, которые принимает зависимая переменная. Обозначается : E (f).

Способы задания функции 1. Аналитический (Формулой) у = 3 х-15 2. Таблицей х -2 -1 0 у 5 7 3 -3 -5 3. Геометрический (Графиком) У х 0

Определение графика функции График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Линейная функция и ее график y = kx + b, где k и b - некоторые действительные числа Графиком линейной функции является прямая. у k – угловой коэффициент прямой α х 0 k=tq α

Частные случаи линейной функции • 1. Если b = 0, то линейная функция называется прямой пропорциональностью. • 2. Если k = 0, то линейная функция называется постоянной. у у y=b х 0 0 х у=kх

Квадратичная функция и ее график у = ах2+вх + с, числа, причем а ≠ 0 а) а > 0 где а, в, с – некоторые б) а < 0 у у 0 х х 0 График - парабола ветви вверх ветви вниз

Степенная функция и ее график y = xn, где n – натуральное число 1) n – четное, 2) n - нечетное у 0 у х 0 х

Функция обратная пропорциональность и ее график y= , где k – число, отличное от 0. (x ≠ 0) у Графиком является гипербола у k>0 k<0 0 х х 0

Функция y = √¯x D (y) = [0; +∞) ; E (y) = [0; +∞). y 0 x

Функция 1) n – четное, 2) n - нечетное y 0 y x 0 x

Функция y = | x| D (y) = R ; E (y) = [0; +∞). y 0 x

Показательная функция у=ах y 1 0 1 x

Логарифмическая функция y=logax 0 1

Тригонометрические функции

y=sinx y=cosx y=ctgx y=tgx

Обратные тригонометрические функции

Свойства функции • • Область определения функции D(у) Множество значений функции Е(у) Четность функции Промежутки монотонности (промежутки возрастания и убывания функции) Ограниченность функции Наибольшее и наименьшее значение функции Периодическая функция Непрерывность функции

Четность функции 1. Область определения функции D (f) – симметричное множество; 2. Для любого х Х выполняется равенство: f ( – x) = – f (x) f ( – x) = f (x) у у х х

А) Сумма двух чётных функций чётна, а сумма двух нечётных функций, нечётна. Б) Произведение двух чётных функций является чётной функцией, ровно как произведение двух нечётных. Произведение чётной и нечётной функций- нечётная функция. Функция y=c – чётная. Тогда: af-чётная, если f- чётная; Г) Если f- чётная (нечётная), то и 1/f – чётная (нечётная).

Исследование функций на монотонность a если двигаться по графику большему Функция возрастает, если слева направо, то ординаты точек графика (меньшему) значению аргумента всё время увеличиваются соответствует большее (меньшее) ( «поднимаемся в горку» ); значение функции. говорят, что функция возрастает; a если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек графика Функция убывает, если большему всё время уменьшаются ( «спускаемся с (меньшему) значению аргумента горки» ); соответствует меньшее (большее) говорят, что функции. убывает. значение функция у y=f(x) о х y o x y=f(x)

Определение 1. Определение 2. Функция у = f (х) называют возрастающей на промежутке Х, если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2 – любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х1) < f (х2). Функция у = f (х) называют убывающей на промежутке Х, если из неравенства х1 < х2, где х1 и х2 – любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х1) > f (х2). у у f (x 2) f (x 1) о х1 х2 х

ПРИМЕР: Линейная функция у = kx + m. • 1. Если k > 0, то функция возрастает на всей числовой прямой. • 2. Если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой. у у о х

ПРИМЕР: Функция у = х2 у 1. у = х2, х [0, + ) 0 х1 < х2 => < (по свойству 6), т. е. f(x 1) < f(x 2). Итак, если х1 < х2, то f (x 1) < f (x 2), значит функция у=х2 возрастает на луче [0, + ). у=х2 2. у = х2, х (- , 0] х1 0, x 2 0 и х1 < х2, тогда – х1 > – х2 (по свойству 3), но –х1 0, – х2 0 о Тогда ( - х1)2 > ( - х2)2, т. е. х > . Итак, если х1 < х2, то f (x 1) > f (x 2), значит функция у=х2 убывает на луче (- , 0].

Ограниченность функции Функция у = f (x) называют ограниченной снизу на множестве Х D (f), если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа. если существует число m такое, что для любого значения х Х выполняется неравенство f (x) > m.

Ограниченность функции у у у M у =M x 0 0 m х x 0 0 х 0 у=m унаим. = 0 унаиб. = 3 х

Наибольшее и наименьшее значения функции Число m называют наименьшим значением функции у = f (x) на множестве Х D (f), если: 1) в Х существует такая точка х0, что f (x 0) = m; 2) для всех х из Х выполняется неравенство f (x) ≥ f (x 0). Число M называют наибольшим значением функции у = f (x) на множестве Х D (f), если: 1) в Х существует такая точка х0, что f (x 0) =M; 2) для всех х из Х выполняется неравенство f (x) ≤ f (x 0).

Периодичность Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Т-период функции у y=cosx Т=2 0 х

Непрерывность функции у у 0 х

Взаимообратные функции Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определённому правилу f число у, то, говорят, что на этом множестве определена функция. y y = f(x) E( f ) 0 х D( f ) x

Если функция у = f ( х ) принимает каждое своё значение у только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой. Пусть у = f(x) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое число х из области её определения, такое, что f(x) = y. Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х = g(y). Поменяем местами х и у: у = g(x). Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x).

Дано: Найти функцию, обратную данной Решение: Ответ: у = f -1(x).

у у 2 0 2 х 0 1. D(у)=(-∞; 2)∪(2; +∞) 1. D(у)=(-∞; 0)∪(0; +∞) 2. Е(у)=(-∞; 2)∪(2; +∞) х

1. Область определения обратной функции f -1 совпадает с множеством значений исходной f, а множество значений обратной функции f -1 совпадает с областью определения исходной функции f: D(f -1) = E(f), E(f -1) = D(f). 2. Монотонная функция является обратимой: если функция f возрастает, то обратная к ней функция f -1 также возрастает; если функция f убывает, то обратная к ней функция f -1 также убывает.

3. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у = х. у (х0; у0) у=х у0 (у0; х0) 0 х0 х

у у=f(x) y=x 2, х<0 3 -2 0 -2 у у=g(x) 3 0 х х 1. D(f)=R 1. D(g)=R 1. D(y)=(-∞; 0] 1. D(y)=[0; +∞) 2. E(f)=R 2. E(g)=R 2. E(y)=[0; +∞) 2. E(y)=(-∞; 0] 3. возрастающая 3. убывающая

Построить график функции, обратной данной. у у 1 1 0 1 Дано: у = х3 х 0 1 х у Построить функцию, обратную к данной. Решение: 0 х

“В понятии функциональной зависимости, как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники при помощи математического аппарата”. А. Я. Хинчин

“Функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе”. Г. Галилей

Сложная функция – это композиция функций. Пусть заданы две функции y = f(x) и x = g(t), причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому числу t из области определения функции g соответствует значение x = g(t), принадлежащее области определения функции f, а ему, в свою очередь, соответствует число y = f(x). Таким образом, каждому числу t из области определения функции g ставится в соответствие единственное число y из множества значений функции f, а это означает, что на области определения функции g задана функция, которую называют сложной функцией или композицией функций. При этом пишут y = f(g(x))

Достроить графики функций до а) четной б) нечетной