Функциональные зависимости Функциональная зависимость Y функционально зависит

Функциональные зависимости

Функциональная зависимость Y функционально зависит от X, если каждому значению Х соответствует единственное значение Y. X Y (Х определяет Y) X Y

Функциональная зависимость Левая часть функциональной зависимости называется детерминантом. Определение ФЗ осуществляется на основе ограничений предметной области.

Определение ФЗ Например: № зачетки и № группы уникальны Каждый студент учится только в одной группе. В одной группе учатся несколько студентов.

Определение ФЗ Например: № зачетки и № группы уникальны Каждый студент учится только в одной группе. № зачетки № группы В одной группе учатся несколько студентов. № зачетки № группы

Определение ФЗ Пример Фильм: Фильм характеризуется названием, именем режиссера, годом премьеры и жанром. Название фильма не уникально. Название фильма уникально в рамках года. У одного режиссера могут быть фильмы с одинаковыми названиями, но разными жанрами. За один год у режиссера выходит не больше одного фильма одного жанра.

Классификация функциональных зависимостей Тривиальные Нетривиальные Полные Неполные

Классификация функциональных зависимостей Функциональная зависимость тривиальна, если ее правая часть является либо собственным подмножеством левой, либо равна ей, то есть функциональная зависимость Х Y тривиальна, если Y X.

Тривиальные и нетривиальные ФЗ Тривиальные ФЗ: ХY Y Х X ХY XY № зачетки, № группы Нетривиальные ФЗ: Х XY № зачетки , № группы

Полные и неполные ФЗ Функциональная зависимость называется полной, если ни одно собственное подмножество ее левой части не определяет правую часть. Для определения полноты ФЗ необходимо рассмотреть все ФЗ, имеющие место на схеме отношения. полные {Х Y, Y Z}, неполные {ХY Z, Y Z}

Аксиомы вывода Для вывода ФЗ используются следующие аксиомы вывода: F-аксиомы (аксиомы Армстронга, 6); β-аксиомы (3).

Аксиома рефлексивности (F 1) X X Пример: • № зачетки • Название фильма • Имя режиссера

Аксиома пополнения (F 2) Если отношение удовлетворяет функциональной зависимости X Y, то оно удовлетворяет и функциональной зависимости XZ Y

Аксиома пополнения (F 2) Если № зачетки № группы, то № зачетки, Имя куратора № группы Если Название фильма, Год премьеры Имя режиссера, то Название фильма, Год премьеры, Жанр Имя режиссера

Аксиома аддитивности (F 3) Если отношение удовлетворяет функциональным зависимостям X Y и X Z, то оно удовлетворяет и функциональной зависимости X ZY. Х У Z Х ZY

Аксиома аддитивности (F 3) Если № зачетки ФИО студента и № зачетки № группы, то № зачетки ФИО студента, № группы

Аксиома проективности (F 4) Если отношение удовлетворяет функциональной зависимости X ZY, то оно удовлетворяет и функциональным зависимостям X Y и X Z Х Х ZY У Z

Аксиома проективности (F 4) Если № зачетки ФИО студента, № группы, то № зачетки ФИО студента и № зачетки № группы

Аксиома транзитивности(F 5) Если отношение удовлетворяет функциональным зависимостям X Y и Y Z, то оно удовлетворяет и функциональной зависимости X Z. Х У Z Х Z

Аксиома транзитивности(F 5) Если № зачетки № группы и № группы Название факультета, то № зачетки Название факультета

Аксиома псевдотранзитивности (F 6) Если отношение удовлетворяет функциональным зависимостям X Y и YZ W, то оно удовлетворяет и функциональной зависимости XZ W. Y Z Х W ХZ W

Независимые аксиомы вывода Рефлексивности (F 1) Пополнения (F 2) Псевдотранзитивности (F 6)

Вывод аксиомы F 3 1 2 3 4 5 X Y X Z YZ YZ X YZ Дано F 1 F 6 (1, 3) F 6 (2, 4)

Вывод аксиомы F 5 1 2 3 4 X Y Y Z X Z Дано F 2 (2) F 6 (1, 3)

Вывод функциональных зависимостей Дано F={А С, АC D, D E }. Используя аксиомы Амстронга, доказать, что А E 1. А С Дано 2. АC D Дано 3. А D Псевдотранзитивность (из 1, 2) 4. D E Дано 5. А E Транзитивность (из 3, 4)

-аксиомы Рефлексивность ( 1) X X Накопление ( 2) Если отношение удовлетворяет функциональным зависимостям X YZ и Z CW, то оно удовлетворяет и функциональной зависимости X YZC.

-аксиомы Проективность ( 3) Если отношение удовлетворяет функциональной зависимости X YZ, то оно удовлетворяет и функциональной зависимости X Y

Порядок построения RAP последовательности вывода. Первая функциональная зависимость, получается путем применения аксиомы 1. Каждая последующая функциональная зависимость вычисляется или из предыдущих функциональных зависимостей путем применения аксиомы 2, или вводится из исходного множества функциональных зависимостей. На последнем шаге вывода может быть применена аксиома проективности 3.

RAP последовательности вывода Reflexivity, Accumulation, Projectivity.

RAP последовательность вывода Пусть F = {AB E, AG J, BE I, E G, IG H} Вывести AB GH AB AB 1 AB E Дано AB ABE 2 BE I Дано

F = {AB E, AG J, BE I, E G, IG H} AB ABEI 2 E G Дано AB ABEIG 2 IG H Дано AB ABEIGH 2 AB GH 3

Замыкания атрибутов Замыкание множества атрибутов {A 1, A 2, …, An} на схеме R есть полное множество атрибутов, принадлежащих схеме R и функционально зависящих от{ A 1, A 2, …, An}. Обозначается замыкание как {A 1, A 2, …, An}+.

Ключ (с т. зр. замыкания) подмножество атрибутов схемы отношения, замыканием которого является вся схема отношения и не имеющее собственного подмножества атрибутов, замыканием которого также является вся схема отношения. Например, возможные ключи отношения Фильм: {Название фильма, Год Премьеры}, {Название фильма, Режиссер}.

Замыкания атрибутов Дана схема отношения R={CBD} и множество функциональных зависимостей F={C B; СВ D} на ней. Определить замыкание C. С С 1 С В Дано С CB 2 СB D Дано С CBD 2 C+={CBD}

Избыточные функциональные зависимости Пусть дано множество функциональных зависимостей F на схеме отношения R, X R, Y R. Функциональная зависимость X Y является избыточной для этого множества, если из множества функциональных зависимостей F-( X Y) следует, что X Y ( F-( X Y)|= X Y).

Избыточные функциональные зависимости 1. 2. 3. 4. 5. F= {X YZ, X Y, X Z} F= {X Y, Y Z, X Z} F= {X Y, YZ W, XZ W} F= {X Y, XY Z, Y Z}

Замыкание множества функциональных зависимостей Множество функциональных зависимостей, которое не может быть дополнено ни одной новой функциональной зависимостью с помощью аксиом рефлексивности, пополнения и псевдотранзитивности называется замыканием множества функциональных зависимостей и обозначается F+.

Вычисление замыканий Пусть имеет место F={A B} получить замыкание исходного множества F+={A B, A A, B B, A AB, AB A, AB AB}

Эквивалентные множества Два множества ФЗ эквивалентны, если их замыкания равны.

Эквивалентные множества Множество функциональных зависимостей F’=F-(X Y) на схеме R эквивалентно множеству F на этой же схеме, если оно получено из F путем применения аксиом вывода и каждая функциональная зависимость F может быть восстановлена из вновь полученного множества F’ путем последовательного применения аксиом вывода.

Эквивалентные множества 1. 2. F= {X YZ, X Y, X Z} F= {X Y, X Z} 3. F= {X Y, Y Z, X Z} 4. F= {X Y, Y Z} 5. F= {X Y, XY Z, X Z} 6. F= {X Y, X Z} 7. F= {X YZ}

Покрытия Минимальное (оптимальное) покрытие Редуцированное покрытие (редуцированное, редуцированное слева, справа) Каноническое покрытие

Минимальные покрытия Минимальное покрытие это покрытие, не содержащее избыточных функциональных зависимостей и содержащее наименьшее количество функциональных зависимостей. F={ A B, A C, A BC} F 1={ A B, A C} Fmin={ A BC}

Редуцированные покрытия Функциональная зависимость называется редуцированной , если ее левая и правая части не содержат посторонних атрибутов. F={ A B, A C}

Редуцированные покрытия Функциональная зависимость называется редуцированной слева (справа), если ее левая (правая) часть не содержит посторонних атрибутов. F={ A B, AB C} F={ A B, A BC}

Алгоритм получения редуцированного покрытия Удаляются посторонние атрибуты из левой части функциональных зависимостей. Удаляются посторонние атрибуты из правой части функциональных зависимостей. Удаляются функциональные зависимости типа A ø.

Каноническое покрытие Множество F – зависимостей называется каноническим, если каждая F-зависимость имеет вид Х A, редуцирована слева и неизбыточна. F= AB СD; AC BEK; A C; CD EK} 1 шаг 2 шаг 3 шаг Каноническое Минимальное AB С A С A BСD AB D A D CD EK AC E A E A B AC K A K CD E AC B A B CD K A C A C CD E CD K

Классы эквивалентности Атрибуты эквивалентны, если их замыкания равны. Все множество ФЗ, имеющих место на схеме отношения, может быть разделено на классы ФЗ с эквивалентными левыми частями, т. е. классы эквивалентности.

Комплексная (составная) функциональная зависимость Комплексная функциональная зависимость (CF) – это сведенное в одну функциональную зависимость множество функциональных зависимостей с одним классом эквивалентности.

Комплексная (составная) функциональная зависимость 50

Отношение r(R ) удовлетворяет CF- зависимости если оно удовлетворяет F - зависимостям 51

Если Y= Ø CF- зависимость имеет вид 52

Характеристическое множество Множество F-зависимостей F называется характеристическим множеством для CFзависимости если 53

Естественное характеристическое множество Если каждое левое множество из CFзависимости используется в качестве левой части F-зависимости в точности один раз. 54

Кольцевое покрытие это покрытие, эквивалентное множеству функциональных зависимостей и представленное в виде комплексных функциональных зависимостей. Любое покрытие может быть представлено в виде кольцевого.

Кольцевое покрытие F={A C}, CF={(A) C} F={A C, C B}, CF={(A) C, (C) B} F={A C, C B, B AD}, CF={(ABC) D}

БД студенты (первоначальная) Имя куратора Группа Год поступления № зач. книжки ФИО Пирогова К. Г. ИСТ-06 2006 063456 Семкин Семериков А. В. ИСТ-05 2005 058977 Веренеева Семериков А. В. ИСТ-05 2005 058978 Галеев Семериков А. В ИСТ-05 2005 058979 Косымина Пирогова К. Г. ИСТ-1 -07 2007 077856 Суханов Дублирование (избыточность) данных аномалии обновления

БД студенты (окончательная) Группа № зач. книжки ФИО Группа Куратор Год пост ИСТ-06 063456 Семкин ИСТ-06 Пирогова К. Г. 2006 ИСТ-05 058977 Веренеева ИСТ-05 Семериков А. В. 2005 ИСТ-05 058978 Галеев ИСТ-1 -07 Пирогова К. Г. 2007 ИСТ-05 058979 Косымина ИСТ-1 -07 077856 Суханов

Декомпозиция позволяет исключить избыточное дублирование данных; алгоритм декомпозиции базируется на концепции функциональной зависимости; критерием начала и окончания декомпозиции является нахождение отношения в той или иной нормальной форме.