Скачать презентацию Функциональные ряды Лекция 11 Определение функционального Скачать презентацию Функциональные ряды Лекция 11 Определение функционального

Лекция 11. Функциональные ряды.ppt

  • Количество слайдов: 11

Функциональные ряды Лекция № 11 Функциональные ряды Лекция № 11

Определение функционального ряда Функциональный ряд называется сходящимся в области D, если существует конечный предел Определение функционального ряда Функциональный ряд называется сходящимся в области D, если существует конечный предел его частичных сумм Область D – область сходимости Равномерно сходящийся ряд в области D: где N не зависит от x. 2

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса Функциональный ряд сходится равномерно, если ему можно сопоставить сходящийся знакоположительный Признак равномерной сходимости Вейерштрасса Функциональный ряд сходится равномерно, если ему можно сопоставить сходящийся знакоположительный мажорирующий числовой ряд: Признак Даламбера: Множество значений х, при которых выполняется неравенство образуют область сходимости ряда. 3

Степенные ряды an – коэффициенты степенного ряда Теорема. (Область сходимости степенного ряда): Если степенной Степенные ряды an – коэффициенты степенного ряда Теорема. (Область сходимости степенного ряда): Если степенной ряд сходится не только при х = 0, то существует такое положительное число R (возможно и бесконечное), что ряд сходится абсолютно в интервале ( –R, R) и расходится везде вне этого интервала. R – радиус сходимости степенного ряда Замечание. Вопрос о сходимости ряда при х = R должен решаться для каждого конкретного ряда отдельно. 4

Радиус сходимости по Даламберу: Радиус сходимости по Коши: Примеры. 5 Радиус сходимости по Даламберу: Радиус сходимости по Коши: Примеры. 5

Свойства степенных рядов В интервале сходимости сумма степенного ряда является функцией от х: Свойство Свойства степенных рядов В интервале сходимости сумма степенного ряда является функцией от х: Свойство 1. Степенной ряд можно дифференцировать почленно на промежутке его сходимости: Свойство 2. Степенной ряд можно интегрировать почленно в интервале его сходимости 6

Пример 1. Пример 2. 7 Пример 1. Пример 2. 7

Разложение функций в степенные ряды Теорема. Если функция f(x) может быть разложена на интервале Разложение функций в степенные ряды Теорема. Если функция f(x) может быть разложена на интервале ( R; R) в степенной ряд, то это разложение единственно. Ряд Маклорена: Формула Маклорена: 8

Условие существования ряда Маклорена Теорема. Для того, чтобы для функции имело место разложение в Условие существования ряда Маклорена Теорема. Для того, чтобы для функции имело место разложение в ряд Маклорена необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Маклорена для этой функции стремился к нулю: Примеры: Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора. 9

Ряд Тейлора Теорема. Пусть функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема в точке х0, тогда Ряд Тейлора Теорема. Пусть функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема в точке х0, тогда в окрестности этой точки функция раскладывается в степенной ряд Тейлора 10

Примеры использования ряда Тейлора Разложение функций по формуле Тейлора. Возьмем x 0 = 0: Примеры использования ряда Тейлора Разложение функций по формуле Тейлора. Возьмем x 0 = 0: Вычисление пределов: 11