Функции нескольких переменных Подготовил доцент кафедры Прикладная Математика

Функции нескольких переменных Подготовил: доцент кафедры Прикладная Математика и Системный Анализ Коломоец Анатолий Андреевич

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Всякой упорядоченный набор из n действительных чисел обозначается ( ) или Р( ) и называется точкой n-мерного арифметического пространства. Числа называются координатами точки Р = Р( ). Расстояние между точками Р( )и ( ) определяется формулой Пусть - произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства. Если каждой точке поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число то говорят, что на множестве D задана числовая функция от n переменных.

Множество D называется областью определения, а множество - областью значений функции В частном случае n=2 функция двух переменных может рассматриваться как функция точек плоскости в трехмерном пространстве с фиксированной системой координат. Графиком этой функции называется множество точек Представляющих собой, вообще говоря, некоторую поверхность в.

Пример 1 НАЙТИ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ Решение: Функция определена при и Область определения функции изображена на рис. 2. Она содержит границы, за исключением начала координат.

2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Число А называется пределом функции стремлении точки к точке существует такое , что из условия следует При этом пишут: при , если

Определение Будем говорит, что функция n переменных удовлетворяет условию Коши в точке М=А (соответственно при ), если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любых двух точек M’ и M’’ из множества {M} задания функции, удовлетворяющих условиям , (соответственно условиям , ), справедливо неравенство Теорема (Критерий Коши существования предела функции и переменных) Для того, чтобы функция имела конечный предел в точке (при ), необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке (при ) условию Коши.

ПОВТОРНЫЕ ПРЕДЕЛЫ Для функций многих переменных наряду с обычным понятием предела вводится понятие повторного предела. Оно связано с изучением предела функции при изменении только одной независимой переменной и фиксированных значениях остальных. Рассмотрим это понятие на примере функции двух переменных. Пусть функция определена в прямоугольнике кроме быть может, отрезков прямых и. При фиксированном значении переменной y функция становится функцией одной переменной. Пусть для любого фиксированного значения y, удовлетворяющего условию , существует предел функции при (этот предел зависит, вообще говоря, от y):

Пусть лучше, предел функции и равен b: . Тогда говорят, что в точке предел функции и пишут: существует повторный При этом называется внутренним пределом в повторном. Аналогично определяется другой повторный предел , в котором внутренним является

Теорема Пусть в точке равный в существует предел функции ооо , а также внутренние в двух повторных пределах этой функции. Тогда существует повторные пределы , причем каждый из них равен b. Обратное утверждение неверно. ,

Пример 2 Существует ли предел ? Решение: Пусть точки M(x, y) стремится к точке O(0, 0) по прямой y=kx, проходящей через О. Тогда получим Таким образом, приближаясь к точке О(0, 0) по различным прямым, соответствующим разным значениям k, получаем различные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке O(0, 0) не существует.

Пример 3 Вычислить повторные пределы функции Решение. Аналогично получаем Из примеров 2 и 3 можно сделать вывод: из существования и равенства повторных пределов функции в данной точке не следует существование предела функции в этой точке.

3. Непрерывность функций нескольких переменных. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия: 1) Функция определена в точке ; 2) Существует 3) Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если в точке хотя бы одно из условий 1)-3) нарушено, то называется точкой разрыва функции. Точки могут быть изолированными, образовывать линии разрыва и т. д.

Пример 4 Найти точки разрыва функции Решение: Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому она имеет поверхность разрыва – плоскость Определение (непрерывность функции в данной точке по Гейне) Функция называется непрерывной в точке А, если для любой сходящейся к А последовательности точек множества задания этой функции соответствующая ей числовая последовательность значений этой функции сходятся к числу.

Определение (непрерывность функции в данной точке по Коши) Функция называется непрерывной в точке A, если для любого найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любой точки М из множества задания этой функции, удовлетворяющей условию , справедливо неравенство Назовем приращением или полным приращением функцию в точке функцию определяемую формулой (1) где - любые точки из области задания функции. (2)

Для непрерывности функции в точке А необходимо и достаточно, чтобы ее приращение представляло собой бесконечно малую в точке А функцию, то есть необходимо и достаточно, чтобы (3) , или (4) Условие (4) называется разностной формой условия непрерывности функции в точке А.

Пример 5 Исследовать функцию на непрерывность по отдельным переменным и по совокупности переменных в точках О(0, 0) и А(1, 0). Решение: Применяя формулу для разности косинусов, запишем функцию u(x. y) в виде

1) Так как то функция u(x, y) непрерывна в точке О(0, 0) и, соответственно, непрерывна в этой точке по отдельным переменным. 2) Рассмотрим функцию u(x, 0). По определению имеем u(x, 0)=1 для всех x, u, следовательно, эти функция непрерывна в точке х=1. Это означает, что функция u(x, y) непрерывна в точке А(1, 0) по переменной х.

Рассмотрим теперь функцию Так как , то функция не является непрерывной в точке А(1, 0). Отсюда следует, что функция u(x, y) не является непрерывной в А(1, 0) по совокупности переменных, так как в противном случае она была бы непрерывной в этой точке и по переменной y.

Пример 6 Найти точки разрыва функции Решение: Данная функция не определена в тех точках, для которых или. В остальных точках плоскости функция определена, поэтому каждая точка прямой является предельной точкой области определения функции. В любой точке А прямой функция не является непрерывной, так как и (А) не существует. Таким образом, любые точки прямой есть точки разрыва данной функции. В любой точке В, не лежащей на прямой , функция u непрерывна. Это следует, например, из теоремы об арифметических операциях над функциями, поскольку функции непрерывны в любой точке и в точке B.

Итак, множество точек разрыва данной функции есть прямые Отметим, что в любой точке А(а, а), лежащей на прямой и не совпадающей с точкой О(0, 0) (то есть ), существует предел функции: Поэтому точки А(а, а) при можно назвать точками устранимого разрыва функции: если положить то функция станет непрерывной в точке A(a, a). В точке же О(0, 0) имеем О(0, 0) – точки неустранимого разрыва данной функции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ Метрическое пространство. 2. Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве. 3. Фундаментальная последовательность точек метрического пространства. 4. Полное метрическое пространство. 5. Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве. 6. Предельные точки. Замкнутые множества. 7. Компакт в метрическом пространстве. 8. Определение области. 1.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Существуют ли повторные пределы функции в точке O(0; 0)? 2. Доказать, что функция непрерывна в точке О(0; 0) по каждой переменной x и y, но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных. 3. Показать, что для функции имеем: в то время как не существует.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 4. Показать, что для функции имеем: тем не менее не существует. 5. Показать, что множество точек разрыва функции не является замкнутым.

ЛИТЕРАТУРА Тер-Крикоров А. М. , Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособ. для вузов. – М. : Изд-во МФТИ, 1997. -720 с. Киркинский А. С. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. –М. : Академический Проект, 2006. -526 с. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: 13 -е изд. , -М. : Изд-во Моск. Ун-та, 1997. -625 с.