ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение: Пусть имеется

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение: Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений Функции несколько переменных из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными, или аргументами, - зависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множество называется областью определения функции. Графиком функции множество точек трехмерного пространства , аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением . График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Пример 1. Построить график функции Область определения данной функции - множество всех точек , для которых . Область значений функции . Определение. Линией уровня функции двух переменных • называется множество точек на плоскости, в которых значение функции одно и то же и равно . Число называют уровнем.

Пример 2. Построить линии уровня функции Решение. Линия уровня - это кривая на плоскости , задаваемая уравнением т. е. уравнением Линии уровня окружности с центром в точке и радиусом

На рис. 1 изображены линии уровня, соответствующие значениям: Линии уровня рис. 1 рис. 2

График функции имеет следующий вид: Параболоид рис. 3

Линии уровня широко применяются в картографии, где множество точек на рис. 4 одинаковой высоте от уровня моря определяют высоту и рельеф. Изобары – определяют давление на определенных высотах, изохоры – глубину рис. 5 океана, параллели и меридианы на глобусе – это линии уровня функции широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм – линий уровня температуры. Линии уровня функции нескольких переменных широко используются в экономическом анализе.

Предел функции в точке: рис. 6 рис. 7

Число L называется пределом функции , при если для любого сколь угодно малого найдется такое число такое, что для всех точек М из D (область определения) удовлетворяющих условию справедливо неравенство: В приведенном определении каким угодно способом, по любой кривой , лежащей в D.

СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА 1. Если функция имеет предел в точке, то этот предел единственный. 2. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и имеют конечные пределы в этой точке. Тогда в точке существуют пределы функций:

При этом имеют место равенства:

ЧАСТНОЕ И ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ Рассмотрим функцию двух переменных определённую в некоторой окрестности точки . Пусть настолько малы, что:

рис. 8

Определение: частным приращением по х функции в точке называется выражение: Определение: Частным приращением по y функции в точке называется выражение:

Определение: Полным приращением функции в точке называется выражение:

рис. 9 Частное приращение по х Частное приращение по y рис. 10

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Определение: Частной производной по х функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует. Используются следующие обозначения:

Определение: Частной производной по y функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует. Используются следующие обозначения:

Из определения частных производных следует, что для нахождения производной надо считать постоянной переменную y, а для нахождения - переменную х.

ПРИМЕР Найти частные производные функции Решение. Чтобы найти частную производную по , считаем постоянной величиной. Аналогично находим

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ Определение. Полным дифференциалом функции в точке называется выражение вида: x и y - независимые переменные.