Скачать презентацию Функции нескольких переменных Функцией двух Скачать презентацию Функции нескольких переменных Функцией двух

3.Функции_нескольких_переменных.ppt

  • Количество слайдов: 31

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных

• Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел некоторого М • Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел некоторого М соответствует единственное другого множества N. множества число и - независимые переменные (аргументы); - зависимая переменная; М - область определения функции; N - множество значений функции.

Способы задания функции двух переменных • Аналитический • Табличный • Графический Способы задания функции двух переменных • Аналитический • Табличный • Графический

z z N Q y Y x X M P z z N Q y Y x X M P

Частные производные Частные производные

Рассмотрим функцию Зафиксируем , тогда функция примет вид Пусть аргумент в точке приращение , Рассмотрим функцию Зафиксируем , тогда функция примет вид Пусть аргумент в точке приращение , тогда получил

Предел , если он существует, называется частной производной (первого порядка) функции по x в Предел , если он существует, называется частной производной (первого порядка) функции по x в точке и обозначается: ; ; ;

Рассмотрим функцию Зафиксируем , тогда функция примет вид Пусть аргумент в точке приращение , Рассмотрим функцию Зафиксируем , тогда функция примет вид Пусть аргумент в точке приращение , тогда получил

называется частной производной (первого порядка) функции в точке и обозначается: ; ; ; по называется частной производной (первого порядка) функции в точке и обозначается: ; ; ; по y

Частные производные высших порядков. Частные производные высших порядков.

Пример. Вычислить частные производные второго порядка функции Пример. Вычислить частные производные второго порядка функции

Полный дифференциал. Полный дифференциал.

Пример. Найти полный дифференциал функции в произвольной точке. , Пример. Найти полный дифференциал функции в произвольной точке. ,

Скалярное поле Скалярное поле

• Часть пространства (или всё пространство), каждой точке которого соответствует численное значение некоторой • Часть пространства (или всё пространство), каждой точке которого соответствует численное значение некоторой скалярной величины называется скалярным полем.

Производная по направлению. y M 1 M 0 P x Производная по направлению. y M 1 M 0 P x

Градиент Градиент

Экстремум функции двух переменных Экстремум функции двух переменных

Необходимое условие существования экстремума. Пусть функция в точке имеет экстремум и пусть существует и. Необходимое условие существования экстремума. Пусть функция в точке имеет экстремум и пусть существует и. Тогда ,

Достаточное условие существования экстремума Достаточное условие существования экстремума

Пусть для функции критической точке производные , Составим определитель в существуют , . Пусть для функции критической точке производные , Составим определитель в существуют , .

Возможны три случая: 1) >0 , тогда точка – точка экстремума: при >0 – Возможны три случая: 1) >0 , тогда точка – точка экстремума: при >0 – точка минимума; при <0 – 2) <0, тогда экстремума. точка максимума. не является точкой

3) =0 , тогда необходимы дополнительные исследования. 3) =0 , тогда необходимы дополнительные исследования.

Решая систему , получим четыре стационарные точки Решая систему , получим четыре стационарные точки

Проверим достаточное условие экстремума в каждой из точек. ; ; . 1) Для точки Проверим достаточное условие экстремума в каждой из точек. ; ; . 1) Для точки Значит, в точке : экстремума нет.

2) Для точки В точке : , . функция имеет минимум. Аналогично, проверяют точки 2) Для точки В точке : , . функция имеет минимум. Аналогично, проверяют точки и .