Функции комплексной переменной Автор И В Дайняк к

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Лекция 4 ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интеграл от ФКП Пусть в области D комплексной плоскости С определены однозначная и непрерывная функция f (z) = u (x, y) + i v (x, y) и кусочно-гладкая ориентированная кривая l с начальной точкой А и конечной точкой В, целиком лежащая в области D. Разобьём кривую l произвольным образом точками z 0, z 1 , … zп на п частей (дуг) lk в порядке следования вдоль l от точки z 0 = A до точки zn = B. Пусть | lk | – длина дуги l с началом в точке zk-1 и концом в точке zk. На каждой дуге выберем произвольную точку ck = ak + i bk. Обозначим:

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интеграл от ФКП Составим интегральную сумму Римана: Если существует предел интегральных сумм sn при не зависящий ни от способа разбиения кривой l на части lk, ни от выбора точек ck, то он называется интегралом от функции комплексной переменной f (z) по кривой l и обозначается

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интеграл от функции комплексной переменной Пример 1: Вычислить интеграл Обход контура против часовой стрелки. Решение:

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интеграл от функции комплексной переменной Пример 2: Вычислить интеграл где L – отрезок, соединяющий точки 0 и 1+i. Решение:

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства интеграла от ФКП 1. Линейность Пусть f (z) и g (z) – однозначные и непрерывные функции, определённые в каждой точке кривой l. Тогда справедливо равенство:

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства интеграла от ФКП 2. Аддитивность Если кусочно-гладкая кривая l составлена из конечного числа гладких дуг lk, где k = 1, 2, …, п, то

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства интеграла от ФКП 3. При изменении ориентации кривой интеграл от функции комплексной переменной меняет знак на противоположный. Если кривая l соединяет точки А и В, то

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства интеграла от ФКП 4. Оценка модуля интеграла Имеем: где L – длина кривой l.

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интегральная теорема Коши для односвязной области Теорема: Пусть в односвязной области G задана однозначная аналитическая функция f (z). Тогда интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области G, равен нулю. Доказательство: Пусть – область, ограниченная контуром Г. По определению интеграла от функции комплексной переменной имеем:

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интегральная теорема Коши для односвязной области Доказательство: Имеем: Применим к этому выражению формулу Грина: Получим:

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интегральная теорема Коши для многосвязной области Теорема: Пусть функция f (z) является аналитической в многосвязной области D и на её границе, которая состоит из внешнего контура Г и внутренних контуров Тогда

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интеграл от ФКП с переменным верхним пределом Пусть f (z) = u + i v – аналитическая в области D функция. Так как для f (z) выполняются условия Коши-Римана то интегралы и не зависят от пути интегрирования. Значит, интеграл не зависит от кривой l, расположенной в области D и соединяющей точки z 0 и z 1.

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интеграл от ФКП с переменным верхним пределом Теорема (Мореры): Пусть функция f (z) непрерывна в односвязной области D и интеграл не зависит от пути интегрирования соединяющего начальную и конечную точки. Тогда функция является аналитической в области D, причём Г. Морера – итальянский математик (1856– 1909)

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интеграл от ФКП с переменным верхним пределом Следствие из теоремы Мореры: Пусть функция f (z) является непрерывной в области D и интеграл от этой функции по любой замкнутой кривой, лежащей в области D, равен нулю. Тогда функция является аналитической в области D, причём Г. Морера – итальянский математик (1856– 1909)

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Первообразная функции комплексной переменной Определение: Функция F(z) называется первообразной для функции f (z) в области D, если для Если F(z) – первообразная для функции f (z), то функция F(z) + C, где C – произвольная комплексная константа, тоже является первообразной для f (z).

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Неопределённый интеграл от ФКП Определение: Множество всех первообразных F(z) + C называется неопределённым интегралом от функции f (z) и обозначается Таким образом,

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция F(z) является первообразной для функции f (z) в односвязной области D. Согласно теореме Мореры, интеграл тоже является первообразной для функции f (z). Имеем: При z = z 0 получаем, что C = – F(z 0). Формула Ньютона-Лейбница:

Функции комплексной переменной Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Интеграл от функции комплексной переменной Пример: Вычислить интеграл Решение:

Высшая математика Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР math. mmts-it. org