Функции их свойства и графики Что такое функция

Функции их свойства и графики Что такое «функция» ? ● Способы задания функции. ● Схема исследования функции. ●

Определение функции. Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х) в которой каждому значению независимой переменной (Х) соответствует единственное значение зависимой переменной (У). Независимую переменную называют - аргумент. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Запись У=f (X) читается: У – функция от Х.

12 у 10 8 У=f (X) 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

Способы задания функции. Графически. С помощью формулы. Таблицей. Словесный. Рекуррентный.

100 S (в км) 80 60 40 20 t (в сек) 0 2 4 6 8 10 12 14

2 -3 х+5 У=х У=-2 х+1 У=|X|-5

День недели Дежурные Понедельник Иванова А Вторник Петров Д Среда Сидорова К Четверг Козлов М Пятница Никитин Е Суббота Макарова Т

Каждому натуральному числу поставим в соответствие его квадрат.

а 1=3, аn+1= 2 аn-1.

Область определения и множество значений функции. Все значения независимой переменной образуют область определения функции -D (f). Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции – E (f).

12 у 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 0 2 4 6 -4 -6 -8 -10 D (f). 8 10 12 х

12 у 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 х 12 E (f).

12 у 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 0 2 4 6 -4 10 х 12 E (f). -6 -8 -10 8 D (f).

Если функция задана формулой и не указана ее область определения, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Укажите область определения функций: а) , б) , в)

Промежутки знакопостоянства и нули функции. 1. Значения функции положительны. У>0 участки графика лежащие выше оси Ох 2. Значения функции отрицательны. У<0 участки графика лежащие ниже оси Ох 3. Значения функции равны нулю. У=0 и Х=0 Точки пересечения с осями координат

12 у У>0 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

12 у У<0 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

12 у У=0 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

Монотонность функции. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. График «идет вверх/вниз» при движении слева направо по оси Ох

Возрастающая функция. у у2 у1 х1 х2 0 х Х 2>Х 1 , то У 2>У 1. -10

Убывающая функция. у у1 х1 0 х2 у2 Х 2>Х 1 , то У 2<У 1. -10 х

12 у 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

Четные и нечетные функции. Функция у = f (x) называется четной, если для всех х из области определения функции выполняется равенство f (-x) = f (x). Функция у = f (x) называется нечетной, если для всех х из области определения функции выполняется равенство f (-x) = - f (x). Её график симметричен относительно оси Оу Её график симметричен относительно начала координат

12 у f (-x) = f (x). 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -х -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 х 6 8 10 12 х

12 у f (-x) = - f (x). 10 8 6 4 2 -х -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 х 4 6 8 10 12 х

Ограниченность функции. Функция y=f (x) называется ограниченной снизу, если для любого х из области определения функции выполняется условие f (x)≥a, где а – некоторое число. Функция y=f (x) называется ограниченной сверху, если для любого х из области определения функции выполняется условие f (x)≤ a, где а – некоторое число. Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

12 у 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

12 у 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

12 у 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

12 у 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 10 12 х

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ Прочитайте график функции: 1 вариант 2 вариант 1. Область определения функции D(y) = (- ; + ) 2. Область значений функции E(y) = (-4 ; + ) E(y) = (- ; + ) 3. Чётность/нечетность функции Чётная Нечётная 4. Нули функции у=0 при х = 0; ± 1, 4 у=0 при х = 0; ± 1, 2 5. Промежутки возрастания/ убывания функции y при х [– 1; 0], [1; + ] y при (– ; – 1], [1; + ] y при x (– ; -1], [0; 1] y при х x [– 1; 1] 6. Наибольшее/наименьшее значение функции унаим = – 4; унаиб не сущ. Унаим , унаиб не сущ. 7. Ограниченность функции