ФУНКЦИИ Функция это зависимость при которой каждому

ФУНКЦИИ Функция – это зависимость, при которой каждому значению независимой переменной(чаще х) поставлено в соответствие не более одного значения зависимой переменной (чаще у). х – независимая переменная у=f(x) (аргумент) y – зависимая переменная (значение функции) Способы задания функции 1. Формулой : у=2 х 2. Таблицей: 3. Графиком: х 0 1 -1 0 2 -2 20 Ответ: 7 2. По заданному значению функции найти значение аргумента у=-2, у=-2 х+7, х=? 10 у Основные задачи, связанные с функцией (аналитические) 1. По заданному значению аргумента найти значение функции х=-2, у=-х2 -3 х+5, у=? Ответ: 3 4. Словесным описанием: 3. Выяснить, принадлежит ли точка с задан. Ордината точки в 2 раза ными координатами графику функции: больше ее абсциссы А(2; -5) у=3 х-11 График функции – это множество всех точек плоскости, абсциссы которых равны аргументу, а ординаты – значению функции.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат у=2 х+5 Основные задачи, связанные с функцией (графические) а) с осью абсцисс (ОХ) (нули функции): у=0 0=2 х+5, -2 х=5, х=5: (-2), х=-2, 5 Ответ: (-2, 5; 0) а) с осью ординат (ОУ): х=0 1. По заданному значению аргумента найти значение функции х=4, у=? Ответ: у=-2 Ответ: (0; 5) 5. Найти координаты точек пересечения графиков функций у=2 х+5 и у=-3 х+4 2. По заданному значению функции найти значение аргумента у=4, х=? Ответ: х=2, х=-2 Ответ: (-0, 2; 4, 6) 3. Найти область определения функции (спроецировать все точки графика на ОХ) Ответ: (-3; 2]

4. Найти множество значений функции (спроецировать все точки графика на ОУ) Ответ: [-3; 2) 5. Найти нули функции (значения х, при которых у=0, абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ) Ответ: х=-2, х=1, х=3 6. Найти промежутки возрастания (убывания) (значения х, при которых большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции). Ответ: функция возрастает на Ответ: функция убывает при и при Промежутки объединять нельзя! 7. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции ! 6. Найти промежутки знакопостоянства (значения х, при которых у>0, и значения х, при которых у<0) Ответ: у>0 при у<0 при Ответ: унаиб=4, унаим=-2

7. Найти графики четной или нечетной функции (график четной функции симметричен Основные свойства функции относительно оси Оу, а график нечетной функции симмет- Область определения функции D(f) – множество значений аргумента при которых имеет ричен относительно начала отсчета О) смысл выражение, задающее функцию функция четная нечетная График четной функции изображен на рис. 2, график нечетной функции – на рис. 4, Графики функций общей четности – на рис. 1, 3. ООФ

Пример: Найдите область определения функции Множество (область) значений функции Е(f) – множество всех значений, которые может принимать функция -1 2 3 Ответ: + + + -2 1 2 х х ОЗФ

Пример: Найдите множество значений функции Нули функции – те значения аргумента, при которых значение функции равно 0. Чтобы найти нули функции, или абсциссу точки пересечения графика функции с осью Ох нужно решить уравнение f(х)=0 Промежутки знакопостоянства функции– те значения аргумента, при которых значение функции положительно (или отрицательно). Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, надо найти ее нули и, взяв любое значение функции между этими нулями, определить знак, который принимает функция в этой точке. Или решить неравенство f(x)>0, или f(x)<0. + -4 Ответ: + 1 х

Промежутки монотонности функции. (промежутки возрастания и убывания функции). Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из этого промежутка, таких что х1 < х2 выполняется неравенство f(x 1)< f(x 2) (f(x 1)> f(x 2)). То есть для возрастающей функции – большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а для убывающей – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Четность, нечетность функции Функция называется четной, если Øее область определения – симметричное относительно 0 множество Ø выполняется равенство График симметричен относительно оси Оу Возрастающая функция Убывающая функция Если в каждой точке интервала (а; b) f. I (x)>0, то функция f(x) монотонно возрастает на этом интервале. Если в каждой точке интервала (а; b) f. I (x)<0, то функция f(x) монотонно убывает на этом интервале. Функция называется нечетной, если Øее область определения – симметричное относительно 0 множество Ø выполняется равенство График симметричен относительно точки О. Многие функции не являются ни четными, ни нечетными. Они называются функциями общей четности.

Линейная функция -функция вида y=kx+b, где k и b - числа -График – прямая. -Для построения достаточно таблицы для двух точек. -k- угловой коэффициент – равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. Если k>0, то угол острый, если k<0, то тупой. Если k=0, то у=b, функция постоянная – прямая параллельная оси ОХ (b≠ 0). Квадратичная функция -Функция вида у=Ах2+Вх+С, где А, В, С – числа, А≠ 0 -График – парабола -Алгоритм построения: 1) Координаты вершины 2) Ось симметрии: 3) Направление ветвей: если А>0, ветви вверх, если А<0, - вниз 4) Можно найти нули функции: Р. У. Ах 2+Вх+С=0 5) Таблица для нескольких точек 6) Отметить найденные точки и им симметричные и плавно соединить. -b – ордината точки пересечения прямой с осью ОУ. - Если угловые коэффициенты двух прямых равны, а числа b разные, то прямые параллельны. Если угловые коэффициенты двух прямых разные, то прямые пересекаются. Если k 1 k 2=-1, то прямые перпендикулярны. А – отвечает за направление ветвей С – ордината точки пересечения параболы и оси ОУ D – отвечает за количество нулей функции (D>0 – 2 нуля, D=0 – 1 нуль, D<0 – нет нулей) В и А – отвечают за Хв: ! Прямая, но не функция, Задается уравнением х=а х 0 1 у 2 5

-Функция вида Дробная функция , где k- число, не равное 0. Графиком является гипербола. Если k>0, то график в 1 и 3 координатных четвертях, если k<0, то во 2 и 4 четвертях. -Область определения функции - Множество значений функции Пример: Построить график функции график гипербола х График функции у=х2 смещаем на 2 вправо и на 1 вниз. График функции у=х2 отображаем симметрично относительно Ох и смещаем на 3 влево 3 4 6 -2 -3 -4 -6 х 2 у Эти же графики можно построить с помощью преобразований координатной плоскости. Для этого выделяем квадрат двучлена. 2 3 4 6 -2 -3 -4 -6 6 4 3 2 -6 -4 -3 -2 у -6 -4 -3 -2 6 4 3 2

Дробно-линейная функция -Функция вида , где а, b, с, d – числа. Горизонтальная асимптота Вертикальная асимптота Пример: Постройте график функции Степенные функции

Построение графиков функций преобразованием координатной плоскости