Формы представления игр Преподаватель доцент каф АОИ Салмина

Формы представления игр Преподаватель: доцент каф. АОИ Салмина Нина Юрьевна

Основные понятия Игрок – принимающий решение субъект (отдельный человек, группа лиц, коллектив), имеющий свои интересы. Стратегия – правило поведения игрока от начала до конца игры. Функция выигрыша игрока – функция, определяющая величину выигрыша/проигрыша игрока, зависящая от стратегий всех сторон, принимающих участие в игре.

Формы представления игр Развернутая (позиционная) Достоинство: лучше раскрывается последовательность событий, более наглядна для многоходовых игр Недостаток: сложность нахождения решений Нормальная Достоинство: большинство эффективных методов нахождения решений разработано именно для этой формы Недостаток: менее наглядна

Развернутая форма игры Представляет игру в виде дерева, имеющего следующую структуру: 1. начальная точка — исходная позиция игры; 2. альтернативы (ходы игроков); 3. промежуточные вершины; 4. конечные вершины — конец игры — вектор выигрышей; 1 4 3 л 2 п л 3 п л 4 п л п

Развернутая форма игры (продолжение) 5. 6. 7. множества очередностей Ii ( по количеству игроков); информационные множества Iik: информированность игроков; Партия — путь от начала игры до конечной позиции. I 0 1 2 I 1 4 3 3 4 I 2 л п л п (-1, 2) (3, 4) (0, 0) (1, 1) (1, -1) (3, 2) (1, 0)

Пример 1. Игра «Кошки-мышки» В эту играют два игрока – две команды. Первая команда состоит из двух женщин и одной кошки. Вторая команда – из двух мужчин и одной мышки. Ход игры: каждая команда выставляет одновременно по одному участнику. В результате один из выставленных игроков выбывает по следующему принципу: женщина устраняет мужчину, мужчина устраняет кошку, кошка устраняет мышку, мышка устраняет женщину. Игра ведется до тех пор, пока в одной из команд не останется участников только одного вида (эта команда проигрывает). Величина выигрыша (проигрыша) равна 1 очку.

Игра «Кошки-мышки» Первый ход I К Ж II М М Мш -1 Мш 1

Игра «Кошки-мышки» Полное дерево игры I Ж II Ж К Ш М I К Ж -1 К 1 II М I 1 М Ш -1 Ж М 1 Ш -1 Ж Ш М 1 К II Ш М -1 1 К М Ш -1 1 1 -1 Ш М -1 1

Добавление информационных множеств I Ж II Ж К Ш М I К Ж -1 К 1 II М I 1 М Ш -1 Ж М 1 Ш -1 Ж Ш М 1 К II Ш М -1 1 К М Ш -1 1 1 -1 Ш М -1 1

Пример 2. Семейный спор. Супруги должны решить, как им провести свободный вечер: они могут остаться дома и смотреть телевизор, а могут пойти в театр. Муж больше заинтересован остаться дома, и от этого он получит удовлетворение, равное 2, а жена – 1. При посещении театра они получают соответственно 1 и 2. В случае разногласия вечер испорчен и супруги получают по минус единице (-1). Будем считать, что никакой сговор между ними невозможен. Введем случай: пусть с вероятностью 2/3 вечер окажется лучше в театре, а с вероятностью 1/3 – дома. Соответственно, если супруги пошли в театр, и вечер удался, им обоим добавляется по 1. Если супруги остались дома и передача по телевизору действительно оказалась удачной, им также добавляется по 1.

Пример 2. Дерево игры I 0 Д(1/3) Т(2/3) Iж Д Т Iм Т (3, 2) Д Т (-1, -1) (1, 2) (2, 1) Д Т (-1, -1) Д (2, 3)

Нормальная форма игры Г = < U 1, …, UN, J 1, …JN > где Ui – множество стратегий i-го игрока, Ji – функция выигрыша i-го игрока Конечные игры 2 -х лиц можно представлять в матричной форме. Антагонистические конечные игры представляются одной матрицей.

Пример 3. Описание. Дана антагонистическая игра. Первый игрок – сторона А, представляет собой средства ПВО. Он обороняет от воздушного налета участок территории, располагая орудиями 1 и 2, зоны действия которых не перекрываются. Каждое орудие может обстрелять только самолет, проходящий через его зону действия, но для этого оно должно заранее (до входа цели в зону) следить за ней и вырабатывать прицельные данные. Если цель обстреляна, она поражается с единичной вероятностью. Второй игрок – сторона В, имеет в распоряжении 2 самолета, каждый из которых может быть направлен в любую зону. В качестве выигрыша будем рассматривать количество сбитых самолетов.

Пример 3. Стратегии игроков. 1 2 2 11 12 21 22 II : 1 I: 11 12 21 22

Пример 3. Нормальная форма игры в виде матрицы. Сам Пво. 11 12 21 22 11 1 1 12 1 2 0 1 21 1 0 2 1 22 1 1

Пример 2. Представление в нормальной форме. Т Jж = Т Д Средний выигрыш -1 -1 Средний выигрыш Т Д Т Средний выигрыш -1 Д -1 Средний выигрыш Д JМ =

Пример 2. Представление в нормальной форме. Т Jж = Т Д 3*2/3+ 2*1/3 = 8/3 -1 Д Т Д -1 2*2/3+1 *1/3 = -1 1*2/3+ 2*1/3 = 4/3 JМ = Т Д 5/3 -1 2*2/3+ 3*1/3 = 7/3

Понятие коалиции Коалиция – совокупность игроков в игре многих лиц, объединенная по некоторому принципу. Любое подмножество S множества N называется коалицией. Коалиция S может состоять из одного игрока или быть пустой. Множество всех возможных коалиций равно 2 N Для игры 3 лиц множество коалиций: Ø {1} {2} {3} {1 2} {1 3} {2 3} {1 2 3}

Характеристическая функция (х. ф. ) коалиции Х. ф. v(S) показывает максимальную величину выигрыша, которую коалиция может себе гарантировать независимо от действий всех остальных игроков.

Характеристическая функция игры – это функция, определенная на множестве всех возможных коалиций, ставящая в соответствие любой коалиции ее наибольший, уверенно получаемый выигрыш в данной игре. Игра в форме характеристической функции — Г=< N, v > Х. ф. игры трех лиц: v({1}), v({2}), v({3}), v({1, 2}), v({1, 3}), v({2, 3}), v({1, 2, 3})

Пример нахождения х. ф. коалиции Игра трех лиц в нормальной форме: X={0, 4}, Y={1, 3}, Z={0, 2, 4}, JX=XY+Z-XZ, JY=YZ+X-XY, JZ=XZ+Y-YZ Определить: v(X, Y). 0 2 4 01 0 4 8 JX+JY=-XZ+Z+X+YZ= 03 0 8 16 41 4 -2 -4 v(X, Y)=4 43 4 4 4