Формулы в логике высказываний Принцип резолюций Лекция 8

Формулы в логике высказываний. Принцип резолюций Лекция 8 Атомарными формулами логики высказываний называются буквы U, V, W, X, Y, Z с индексами и без них, а также символы истины 1 и лжи 0. Формулами логики высказываний называются: n атомарные формулы; n выражения вида (F)&(G), (F) (G), (F), (F) (G), (F) (G), где F и G – формулы логики высказываний.

Формула представляет собой форму для получения высказываний. Пусть, например, дана формула F=X&Y Z. Если вместо X, Y и Z подставить соответственно высказывания А 1= «четырехугольник ABCD является параллелограммом» , А 2= «в четырехугольнике ABCD смежные стороны равны» , А 3= «в четырехугольнике ABCD диагонали перпендикулярны» , то получается высказывание А 4= «если четырехугольник ABCD является параллелограммом и его смежные стороны равны, то диагонали перпендикулярны» .

Интерпретация Если вместо X, Y и Z подставить другие высказывания, то можно получить новое высказывание, имеющее ту же «форму» . Данный процесс называется интерпретацией. Интерпретацией в широком смысле будет называться функция: φ: A P такая, что φ (1) – истинное высказывание, а φ (0) – ложное.

Равносильность и законы логики высказываний Формула F называется тождественно истинной (тавтологией), если для любой интерпретации φ выполняется равенство φ(F)=1. Тавтологии: n x (x y) n ((x y) & (y z)) (x z) n (x y) ( x) y принимают значения И при всех значениях входящих в них переменных

Равносильность и законы логики высказываний Формулы F 1 и F 2 называются равносильными, если их эквиваленция F 1 F 2 – тавтология. Формулы F и G называются равносильными, если для любой интерпретации φ выполняется равенство φ(F)= φ(G).

Равносильность и законы логики высказываний Формулы F=X Y и G= X Y являются равносильными. Для проверки равенства φ(F)= φ(G) надо составить совместную таблицу истинности формул F и G. Формула F=X&Y X является тождественно истинной.

Логическая равносильность Равносильность – это отношение между формулами. Равносильные формулы ЛВ называют законами логики.

Законы логики высказываний Равносильные формулы ЛВ называют законами логики n закон тождества n закон противоречия n n закон исключенного третьего закон двойного отрицания закон идемпотентности n законы коммутативности n

Законы логики высказываний n законы ассоциативности n законы дистрибутивности n законы де Моргана

Задание Доказать равносильность формул F=[X&(Z Y)] [(X Z)&Y] и G=(X Y)&(Y Z).

Задание Доказать, что формула G=Y X не является логическим следствием формул F 1=X Y, F 2=X Y, F 3=Y.

Аксиомы логики высказываний 1. 2. 3. 4. 5. Формулы, связанные отношением выводимости (следования), называются аксиомами логики высказываний Аксиомы логики высказываний F 1 ├(F 2 F 1) F 1&F 2├ F 2 F 1├(F 1 F 2) F 2├(F 1 F 2) Формула в левой части этих отношений называется условием. Формула в правой части – это следствие или заключение.

Аксиомы ЛВ в натуральном исчислении высказываний рассматриваются как правила. Так аксиомы (2, 3), получили название правил исключения (выделения) конъюнкта. Правило исключения в общем виде записывается так F 1 F 2 … Fm … Fn├ Fm На естественном языке это правило определяется следующим образом: из истинности конъюнкции следует истинность любого из ее конъюнктов.

Аксиомы (4, 5) получили название правил введения дизъюнкта: n Fl├ F 1 F 2 … Fm … Fn. Это правило означает, что из истинности формулы Fm следует истинность ее дизъюнкции с любыми другими формулами. n И еще одно правило из натурального исчисления высказываний – правило введения конъюнкции: если F 1, F 2, …Fk – список истинных формул, то n F 1, F 2, …Fk├ F 1 F 2 … Fm … Fk.

ПРИОРИТЕТЫ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ Вычисление значений логических выражений выполняется в определенном порядке, согласно их приоритету: n - инверсия n - конъюнкция n - дизъюнкция n - импликация и эквивалентность Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки. n

Логическое следствие Определение. Формула G называется логическим следствием формул F 1, F 2, …, Fk, если для любой интерпретации φ из того, что φ(F 1)=φ(F 2)=…=φ(Fk)=1 следует, что φ(G)=1.

Логическое следствие Если импликация F 1 F 2 тавтология, то говорят, что формула F 2 следует из формулы F 1, или выводима из F 1. Для обозначения выводимости (следования) используется обозначение F 1├F 2. Знак ├ выводимости иногда называют турникетом. n

Справедливость следования формулы F 2 из F 1: нет такого набора логических переменных, когда F 1=И, а F 2=Л, иначе импликация (F 1 F 2)=Л, что противоречит определению тавтологии. Пример Отношение x├x y. n Составить таблицу истинности импликации x├x y и убедиться в том, что она тавтология. n Очевидно, что если x=И, то в любом случае (x y)=И. n В силу равноправности переменных можно также задать отношение y├ x y.

Приведение формул ЛВ к конъюнктивной нормальной форме Простые формулы ЛВ (логические переменные и константы) рассматривают как атомарные формулы, или как простые атомы. По определению отрицание атомной формулы – это тоже формула ЛВ. n Атом и его отрицание называются дополняющими друга литералами. n Литерал в ЛВ – это атом или его отрицание. Пользуясь известными законами логики, всякую формулу ЛВ можно преобразовать в равносильную формулу вида: n где – так называемые фразы – это формулы ЛВ, представляющие собой дизъюнкцию конечного числа литералов.

Конъюнктивная нормальная форма Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция конечного числа дизъюнктов (фраз). Теорема. Любая формула ЛВ имеет логически эквивалентную (равносильную) ей КНФ.

Для приведения формул ЛВ к КНФ нужно выполнить следующее: n Логические операции импликации и эквиваленции заменить равносильными им формулами по схеме x ↔ y ≡ (x y) ( x y) n Знак отрицания перед сложным выражением внести к его составляющим элементам, воспользовавшись законами де Моргана n Операции дизъюнкции внести внутрь скобок

Фраза записывается в виде где – литералы. При этом КНФ приобретает вид Литералы во внутренних фигурных скобках неявно объединяются дизъюнкциями, а фразы неявно объединяются связками-конъюнкциями.

Пример Пусть нужно привести к КНФ формулу Действуя согласно приведенному алгоритму, последовательно находим Отбрасывая знаки и , получаем

Исчисление высказываний Исчисление логики высказываний (ЛВ) помимо всех элементов формального языка ЛВ включает n законы ЛВ ( ); n аксиомы ЛВ n правила вывода n

С помощью правил вывода из некоторого множества истинных формул (тавтологий) F 1, F 2, …, Fn получают (выводят) формулу F. Для этого используют запись: или ├

Модус поненс (modus ponens) В классическом исчислении высказываний (ИВ) используется два правила вывода Модус поненс (modus ponens) n A, A B├ B или n А, A B B Из истинности условия импликации и истинности самой импликации следует истинность следствия (заключения) импликации.

Правило подстановки Пусть А(х) – формула ЛВ, зависящая от логической переменной х. Тогда из А(х) выводима формула А(F), то есть А(х) ├ А(F), если в формулу А(х) вместо каждого вхождения переменной х подставить формулу F.

Принцип резолюции В исчислении высказываний используют правило или принцип резолюции, предложенный в 1965 г. Дж. Робинсоном как достаточно эффективный способ машинных выводов. Принцип резолюции используется в форме двух правил: n правило простой резолюции n правило резолюции

Простая резолюция A B, B ├ A Из истинности дизъюнкции и отрицания одного из ее дизъюнктов следует истинность формулы, полученной удалением этого дизъюнкта. n

Резолюция A B, ( B) C ├ A C Из истинности двух дизъюнкций, одна из которых содержит дизъюнкт, а другая его отрицание следует (выводима) формула дизъюнкции исходных формул без дизъюнкта и его отрицания.

Из дизъюнктов X Y Z и X Y выводим дизъюнкты Y Z Y. n Правило резолюций можно применять не обязательно к самым левым литералам. Тогда правило резолюций, примененное к Y и Y, даст X Z X или Z. n □– пустой дизъюнкт, т. е. дизъюнкт, не содержащий литералов. n В дизъюнктах не писать повторяющиеся литералы и не писать □, если есть другие литералы. n

Логическое следствие Определение. Формула G называется логическим следствием формул F 1, F 2, …, Fk, если для любой интерпретации φ из того, что φ(F 1)=φ(F 2)=…=φ(Fk)=1 следует, что φ(G)=1.

Пусть S – множество дизъюнктов. Выводом из S называется последовательность дизъюнктов D, D 2, . . . , Dn такая, что каждый дизъюнкт этой последовательности принадлежит S или следует из предыдущих по правилу резолюций. Дизъюнкт D выводим из S, если существует вывод из S, последним дизъюнктом которого является D. Например, если S={ X Y Z, Y U, X}, то последовательность D 1= X Y Z, D 2= Y U, D 3= X Z U, D 4=X, D 5=Z U – вывод из S. Дизъюнкт Z U выводим из S.

Определение. Множество формул {F 1, F 2, …, Fm} называется выполнимым, если существует интерпретация φ такая, что φ(F 1)=φ(F 2)=…=φ(Fm)=1. Проверку выполнимости множества формул {F 1, F 2, …, Fm} можно провести построением совместной таблицы истинности этих формул. Если найдется хотя одна строка, в которой в столбцах формул F 1, F 2, …, Fm стоят единицы, то это множество формул выполнимо. Если такой строки нет, то множество формул невыполнимо.

Теорема. Формула G является логическим следствием формул F 1, F 2, …, Fk тогда и только тогда, когда множество формул L={F 1, F 2, …, Fk, G} невыполнимо.

n Теорема. Множество дизъюнктов логики высказываний S невыполнимо тогда и только тогда, когда из S выводим пустой дизъюнкт. Для доказательства того, что формула G является логическим следствием множества формул F 1, …, Fk применяется метод резолюций. Сначала составляется множество формул T={F 1, …, Fk, G}. Затем каждая из этих формул приводится к конъюнктивной нормальной форме и в полученных формулах зачеркиваются знаки конъюнкции.

Получается множество дизъюнктов S. И, наконец, ищется вывод пустого дизъюнкта из S. Если пустой дизъюнкт выводим из S, то формула G является логическим следствием формул F 1, …, Fk. Если из S нельзя вывести □, то G не является логическим следствием формул F 1, …, Fk.

Покажем, что формула G=Z является логическим следствием формул F 1=X Y, F 2=X Z, G=(Y Z) Z. Сформируем множество формул T={F 1, F 2, G}. Приведем формулы F 1 и F 2 к КНФ (формула G сама имеет эту форму). Мы получим, что Y Z, n F 1 равносильна (X Y), n F 2 равносильна ( X Z), n G равносильна Y Z. n

Тогда множество дизъюнктов S равно {X Y, X Z, (Y Z )}. Из множества S легко выводится пустой дизъюнкт: X Y, X Z , Y Z, Y, Z, □. Следовательно, формула G является логическим следствием формул F 1, и F 2.