Формулы для вычисления площадей различных треугольников Ответить

Формулы для вычисления площадей различных треугольников.

Ответить на вопросы: 1. Перечислите элементы треугольника. 2. Назовите виды треугольников по углам. 3. Назовите виды треугольников по сторонам. 4. Какой треугольник называется равно бедренным? 5. Какой треугольник называется равносторонним?

Найдите ошибки в тексте: § Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных попарно отрезками. § Среди треугольников особенно выделяется равнобедренный треугольник. Если в нем провести любую биссектрису, она будет являться медианой и высотой.

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см *1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах Решение: Ответ: 6

Площадь любого треугольника. А ha C a D B Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту.

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8. Решение: Ответ: 20

Площадь прямоугольного треугольника. a b S= ½ ab

b ɣ a Если в треугольнике известны две стороны и угол между ними, то площадь такого треугольника можно найти, как половина произведения двух сторон на синус угла между ними.

3. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. Найти площадь треугольника Решение: 3 300 4 Ответ: 3

4. Дан равносторонний треугольник со стороной a= 5 см. Найти его площадь. Решение:

Площадь равностороннего треугольника a - сторона треугольника а

Пример расчета площади равностороннего треугольника через сторону. Задача : дан равносторонний треугольник со стороной a= 2 см. Найдите площадь Решение: Ответ:

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. • Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. • Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a, b, c:

I формула Герона с a b Где

Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. А Пусть AH — указанная высота треугольника ABC со сторонами BC = 15, AC = 14, AB = 13. Решение: По формуле Герона В Н С S = = = 7. 3. 4 = 84. С другой стороны, Откуда находим, что Ответ: 11, 2 =

II формула Герона c a b

Найти площадь треугольника со сторонами

B r a с O А b C Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

B R A O C Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, деленному на четыре радиуса описанной окружности.

В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C равен 900. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей Решение: 3 Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник: 4 По теореме Пифагора: Найдём площадь: Таким образом: Ответ: 1 и 2, 5

Если треугольник будет иметь другое расположение, то основание и высоту в таком треугольнике определить точно невозможно, а, следовательно, невозможно применить формулу для вычисления его площади. Поэтому здесь можно только применить способ вычитания прямоугольных треугольников из площади прямоугольника. . S 2 S 1 S 3 Задача : Вычислите площадь данного треугольника. Решение: Sпрямоугольника = 6*5 = 30 , S 1= ½ *5*2 = 5 , S 2 = ½ *4*2=4 S 3=½*6*3 = 9 Тогда Sтр = Sпр - S 1 - S 2 - S 3 = =30 – 5 – 4 – 9 = 12 Ответ: 12

Формула Пика о о о о о Площадь искомого треугольника найдем по формуле Пика: , где Г –количество узлов на границе треугольника(на сторонах и вершинах), В – количество узлов внутри треугольника. Г = 12, В = 10 Получаем S=12/2+10 -1=15 Ответ: 15

Попробуем решить задачу с помощью формулы Пика: В = 10, Г = 6. S = 10 + 6/2 – 1 = 12. Ответ: 12 Оказывается, это намного быстрее, чем в предыдущем случае!

Георг Алекса ндр Пик ( 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д. , всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Применим формулу Пика для вычисления площадей других многоугольников. В = 10 Г = 7 10 + 7/2 – 1 = 10 + 3, 5 – 1 = = 12, 5 Ответ: 12, 5

Формула Пика позволяет вычислить площадь даже такого многоугольника. Г = 8 В = 1 S = 1 + 8|2 – 1 = 1 + 4 – 1 = 4 Ответ: 4

Ещё один пример: Г = 7 В = 5 S = 5 + 7/2 – 1 = 5 + 3, 5 – 1 = = 7, 5 Ответ: 7, 5

Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге: • 1. Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: : S = В + Г/2 - 1. • 2. Формула Пика очень проста для запоминания. • 3. Формула Пика очень удобна и проста в применении. • 4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Площадь треугольника в системе координат Найти площадь треугольника АВС если, А(0; 6) B(4; -2) C( 2; 18) y 18 Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не параллельна оси координат. Найдем площадь треугольника по II формуле Герона. . 6 0 -2 4 x Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос. А нет ли какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта формула.

Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: А( х1; у1), В (х2; у2), С( х3; у3) Y X Применим эту формулу к нашему примеру. А(0; 6) B(4; -2) C( 2; 18)

Задача: А(0; 0), В(5: 7), С(4: -2). Найти площадь треугольника. Решение: Отв. 19.

Десять формул для нахождения площадей различных треугольников.

Интернет-ресурсы • Сайт http: //www. webmath. ru • Вычисление площади треугольника • Формула площади треугольника, онлайн сервис для расчета площади треугольника. Нахождение площади треугольника 7 -ю методами, всего за несколько секунд Вы найдете площадь треугольника.