ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ С 2 КООРДИНАТНО —

ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ С 2 КООРДИНАТНО - ВЕКТОРНЫМ СПОСОБОМ г. Новороссийск МОУ СОШ № 10 учитель математики Волкова О. А.

СОДЕРЖАНИЕ НУЖНЫЕ ФОРМУЛЫ УГЛЫ в ПРОСТРАНСТВЕ РАССТОЯНИЕ в ПРОСТРАНСТВЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛ

НУЖНЫЕ ФОРМУЛЫ Векторное произведение 2 векторов Объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки Объем тетраэдра, построенного на 3 векторах Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ , 2) D M A B = 3) ∙ ∙

У Р А В Н Е Н И Е П Л О С К О С Т И, П Р О Х О Д Я Щ Е Й Ч Е Р Е З M 1(x 1 ; у1 ; z 1) M 2(x 2 ; у2 ; z 2) M 3(x 3 ; у3 ; z 3) 3 ТОЧКИ

Объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах D A B V = mod

ОБЪЕМ A Т Е Т Р А Э Д Р А, П О С Т Р О Е Н Н О Г О на 3 векторах B V=

У Р А В Н Е Н И Е П Р Я М О Й, П Р О Х О Д Я Щ Е Й через 2 точки М 1 М 2 {x 2 –x 1; y 2 –y 1; z 2 –z 1} M(x ; у ; z) {x –x 1; y –y 1; z –z 1} M 2(x 2 ; у2 ; z 2) M 1(x 1 ; у1 ; z 1) M 1 M 2 M = =

УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Угол между плоскостями Угол между прямыми Угол между прямой и плоскостью

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 F{ F{ N A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 Cos α = α N

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ b = α M 2(x 2 ; у2 ; z 2) M 1(x 1 ; у1 ; z 1) a = a Cos α = =

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТЬЮ b N β b = = α M 2(x 2 ; у2 ; z 2) α N A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 = =

РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Расстояние между 2 точками Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до плоскости

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ M 2(x 2 ; у2 ; z 2) M 1(x 1 ; у1 ; z 1)

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Р Я М О Й M 2(x 2 ; у2 ; z 2) ! d=h= h M 1(x 1 ; у1 ; z 1) a = 2) = 1) М 1 М 2 {x 2 – x 1; y 2 – y 1; z 2 – z 1} а × М 1 М 2 = 3) 4) 5) d =

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ b = M 2(x 2 ; у2 ; z 2) a = = 1) M 1(x 1 ; у1 ; z 1) = = = 2) 3) mod

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Л О С К О С Т И M 2(x 2 ; у2 ; z 2) d N A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛ

1. Найти векторное произведение векторов и его модуль и = × = = = 1∙ 3 +2∙ 2 + 5∙ 1 -1∙ 3 - 2∙ 5 -1∙ 2 = + = -7 + 3 = =

СОСТАВИТЬ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ M 1(2; 2; 2) 1) M 2(4; 0; 3 ) M 3(0; 1; 0) 2) 3) 4(x-2) – 2(z-2) -2(y-2) -4(z-2) +1(x-2) +4(y-2) =0 5 x + 2 y -6 z -2 = 0 нормаль

Найти объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , если V= = =15 +4 + 6 + 12+2 - 15 = 24 =

У Р А В Н Е Н И Е ПР Я М О Й, П Р О Х О Д Я Щ Е Й ЧЕРЕЗ 2 ТОЧКИ

НАЙТИ УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ 4 x - 5 y + 3 z - 1 = 0 x - 4 y - z + 9 = 0, 7 α = arccos 0, 7

НАЙТИ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

НАЙТИ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТЬЮ 2 x+y-z +4 = 0 =

Н А Й Т И Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Р Я М О Й 3) 2) 4) =

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ A(1; 3; -1) O(0; 0; 0)

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И M(3; 1; -1) до ПЛОСКОСТИ 22 x + 4 y -20 z-45 =0 M(3; 1; -1) d 22 x + 4 y -20 z-45 =0 = 1, 5

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с катетом АВ =. Найти расстояние от точки В до грани ASC, если вершина пирамиды проектируется в середину ребра АВ и SA = Z S 1) Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат. Определим координаты вершин пирамиды. 2) Составим уравнение плоскости ACS A M C Y B X 3) Найдем по формуле расстояние d от точки В до плоскости ACS Ответ: d =4