Формула полной вероятности Формула Байеса Ахмеджанова Т Д

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Ахмеджанова Т. Д.

Определение. • Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. • В противном случае события А и В называют зависимыми.

Определение. • Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью Р (В A) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило. • Заметим, что если события А и В независимы, то Р (В А) = Р (В).

Формула умножения вероятностей Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого, найденной в предположении, что первое событие уже наступило: Р (АВ) = Р (А) Р (В А) = Р (В) Р (А В).

• Для n событий(Р (А 1 А 2…An-1) 0) Р(А 1 А 2…An)= =Р(А 1)Р (A 2 А 1)P(A 3/A 1 A 2)…P(An/A 1 A 2…An-1) • Для двух независимых событий Р (АВ) = Р (А) Р (В) • Для n независимых событий Р (А 1 А 2…An)=Р (А 1)Р (A 2)…P (An)

Задача 1 В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Найдите вероятность того, что оба шара – белые. 3 2

Решение С – оба шара белые: • А – I шар белый; • В – II шар белый. 2 1 3 2

Задача 2 • Из колоды в 36 карт наудачу одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что вынуты два валета.

Решение • А - “первая карта валет”, • В - «вторая карта валет”.

Формула полной вероятности Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий X 1, X 2, . . . , Xn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий и соответствующей условной вероятности события А:

Задача 3 Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же попавшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение Событие В 1 - задача по диф. исчислению. Р (В 1) = 0, 4 Событие В 2 - по интегр. исчислению. Р (В 2) = 0, 6 Событие А - задача решена. Р (А В 1) = 0, 9, Р (А В 2) = 0, 5

Формула Байеса – P(Xk) — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже); – P(Xk | A) — вероятность гипотезы Xk при наступлении события A (апостериорная вероятность); – P(A | Xk) — вероятность наступления события A при истинности гипотезы Xk; – P(A) — полная вероятность наступления события A.

Теорема Байеса, Формула Байеса • — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза), имея на руках лишь косвенные тому подтверждения (данные), которые могут быть неточны. • Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений. • Психологические эксперименты показали, что люди при оценках вероятности игнорируют различие априорных вероятностей (ошибка базовой оценки), и потому правильные результаты, получаемые по теореме Байеса, могут очень отличаться от ожидаемых.

Формула Байеса истолковывается так: если существуют попарно исключающие друга гипотезы Х 1, Х 2, . . . , Хn, охватывающие всевозможные случаи, и если известны вероятности события А при каждой из этих гипотез, то по формуле Байеса можно найти вероятность справедливости гипотезы Xk при условии, что произошло событие А.

Задача 4 Имеются три одинаковых по виду ящика: • в I - 20 белых шаров, • во II - 10 белых и 10 черных шаров, • в III - 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из а) I ящика; б) II-го; в) III ящика. ? 20 10 10 20

• • Решение Н 1 - выбор первого ящика; Н 2 - выбор второго ящика; Н 3 – выбор третьего ящика; А - появление белого шара. 20 10 10 20

Задача 5 Два охотника одновременно стреляют одинаковыми пулями в медведя. В результате медведь был убит одной пулей. Как охотники должны поделить шкуру убитого медведя, если известно, что вероятность попадания у первого охотника 0. 3, а у второго – 0. 6?

Решение • • Н 1 - I попал, II-й не попал, Н 2 - II попал, I не попал, Н 3 - попали оба охотника, Н 4 - оба промахнулись.

Задача 6 Падишах разгневался на своего визиря и повелел его казнить. Но в последнюю минуту решил дать визирю шанс спастись: два черных и два белых шара падишах предложил распределить по двум ящикам. Палач наугад выберет ящик и вытащит из него шар. Если шар будет белым, визиря помилуют, а если черным - казнят. Как расположить шары, чтобы у визиря было бы больше шансов спастись?

Решение

Задача 7 • • • Поступающие в магазин часы изготовляются на трех заводах. I–й завод производит 40% продукции, II–й - 45%, III-й - 15%. В продукции I-го завода 20% часов спешат, II-го завода 30% часов спешат, III-го - 10% часов спешат. Какова вероятность того, что купленные наудачу часы не спешат?

Решение • • Н 1 - часы сделаны на I заводе. Н 2 - часы сделаны на II заводе. Н 3 - часы сделаны на III заводе. А – часы не спешат.

Задача 8 Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. При проверке с вероятностью 0. 95 обнаруживается дефект (если он есть), и существует вероятность 0. 03, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным? Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен?

Решение • Н 1 - транзистор дефектный. • Н 2 - транзистор исправен. • А - дефект обнаружен.

Задача 9 В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0, 95, из винтовки без прицела - 0, 7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок делает один выстрел из произвольной винтовки.

Решение • Н 1 - винтовка с оптическим прицелом. • Н 2 - винтовка без оптического прицела. • А- мишень поражена.

Задача 10 Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель; вероятности попадания в цель каждым из орудий равны р1 = 0, 4, р2 = 0, 3, р3 = 0, 5. Найти вероятность того, что первое орудие попало.

Решение • Н 1 - I орудие попало в цель; • Н 2 - I орудие не попало в цель; • А- два попадания в цель из трех выстрелов. Р (Н 1) = 0, 4 Р (Н 2) = 0, 6 Р (А/Н 1) = 0, 3 0, 5 + 0, 7 0, 5 = 0, 5 Р (А/Н 2) = 0, 3 0, 5 = 0, 15 Р (A)= 0, 4 0, 5 + 0, 6 0, 15 = 0, 29

Задача • В I коробке 10 зелёных и 20 красных шаров, • во II – 10 зелёных и 10 красных шаров. • Из I коробки наугад вынимают 4 шара, • из II – 6 шаров и перекладывают шары в III, пустую коробку. • Какова вероятность того, что шар, извлечённый наугад из III коробки, окажется красным? 20 4 10 10 6 10

Решение 1 • Переложить 4 шара из I коробки можно 5 способами. • Из II коробки аналогично 6 шаров можно переложить 7 способами. • Всего получится 35 способов. • Каждый из этих способов приводит к рассмотренным ранее решениям. 4 3 2 1 3 2 4 1 10 10

Решение 2 • H 1 – вынутый из III коробки шар был переложен из I коробки. • H 2 - вынутый из III коробки шар был переложен из II коробки. • A – шар, вынутый из III коробки, красный.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Томас Байес (Бейес, англ. Reverend Thomas Bayes [bеɪz]) (1702 — 7 апреля 1761) — английский математик и пресвитерианский священник, член Лондонского королевского общества (1742). Биография байесовский анализ байесовский подход