Формула Эйлера для многогранников Доказательство через теорию графов

Формула Эйлера для многогранников Доказательство через теорию графов Лапшин Дмитрий 11 -2 05. 10. 2013

Формулировка •

Поверхность эквивалентна сфере? • Если многогранник сделать из резины и сильно надуть, получится сфера. • Например, это не такой многогранник:

Поверхность эквивалентна сфере? • Нет дырок в гранях

Поверхность эквивалентна сфере? • Именно с такими многогранниками мы обычно и работаем.

План доказательства 1. Выбрать произвольный подходящий многогранник. 2. Перевести каркас многогранника в плоскость, сохранив В, Р и Г. 3. Увидеть там планарный граф. 4. Доказать формулу для любого планарного графа.

Что мы делать не будем • Вдаваться в подробности теории графов – они нам не нужны, мы возьмём только нужное. • Доказывать теорему Жордана: в плоскости любая замкнутая не пересекающая себя линия делит плоскость на 2 части. • Ломать мозг топологией – только надуваем шарики.

Перевод в плоскость • Заменим многогранник сетью резинок, которые могут менять длину. • Надуем изнутри сетки воздушный шар. • Все резинки-рёбра натянутся по шарику. • Разорвём сферу в любой точке, не лежащей на ребре исходного многогранника. • Выгнем сферу в плоскость. • Резинки образуют сетку.

Перевод в плоскость • Четырёхугольная пирамида

Перевод в плоскость • Куб

Перевод в плоскость • 4 -угольная антипризма

Планарный граф • Грубо говоря, граф – набор вершин, как-то соединённых рёбрами • Планарный граф – такой граф, который может быть изображён на плоскости точками (вершины), соединёнными непересекающимися линиями (рёбра).

Планарный граф

Планарный граф • У нас получился планарный граф. • Планарный граф делит плоскость на части. Они тоже называются гранями. • Эти грани соответствуют граням нашего многогранника. • Одна грань стала бескрайней частью плоскости, её назовем внешней. • Это та самая грань, в которой мы разрезали сферу.

Элементы теории графов • Степень вершины – количество входящих в неё рёбер. • Цикл – замкнутый простой (без повторений вершин и рёбер) путь по рёбрам графа. • Связный граф – граф, состоящий из одного куска. • Дерево – связный граф без циклов. • Пень – дерево из одной вершины.

Элементы теории графов • Утверждение – если степени всех вершин хотя бы 2, то в графе есть цикл. • Доказательство: выберем вершину и пойдём из неё по ребрам вперёд. • В каждой вершине есть ребро, по которому можно пойти дальше, т. к. степень хотя бы 2. • Либо оно ведёт в одну из посещённых (цикл), либо в новую. • Новых не бесконечно много.

Элементы теории графов •

Доказательство •

Доказательство • Докажем сначала для деревьев. • У планарных графов-деревьев всего одна грань – вся плоскость (Г = 1). • У всех деревьев Р = В – 1. • Таким образов В – Р + Г = 2.

Доказательство • Пусть у нас не дерево. Тогда есть цикл(-ы). • Тогда есть внутренняя(-ие) грань(-и). • Тогда есть ребро, отделяющее некую внутреннюю грань от внешней грани. • Удалим это ребро! • В -> В, Р -> Р – 1, Г -> Г – 1. • Пропал хотя бы один цикл!

Доказательство •

Вывод •

Послесловие • Для других многогранников есть свои значения В – Р + Г • Оно называется эйлеровой характеристикой. • Для этого бублика – 0.

Спасибо за внимание Вопросы?