Формирование изображений на основе фракталов Объект

Формирование изображений на основе фракталов

Объект – фрактальные изображение Предмет – способы построения изображений

Фрактальная графика • Математическая основа - фрактальная геометрия. Фрактал – структура, состоящая из частей, подобных целому. Одним из основных свойств является самоподобие. (Фрактус – состоящий из фрагментов) • Объекты называются самоподобными, когда увеличенные части объекта походят на сам объект. Небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

В центре находится простейший элемент – равносторонний треугольник, который получил название - фрактальный. На среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной =1/3 а от стороны исходного фрактального треугольника В свою очередь на средних отрезках сторон, являющихся объектами первого поколения строятся треугольника второго поколения 1/9 а от стороны исходного треугольника. Таким образом, мелкие объекты повторяют свойства всего объекта. Процесс наследования можно продолжать до бесконечности.

Виды фракталов

Фрактал папоротник

стохастические фракталы

Фрактальные размерности

Семейство драконов

Комплексное числа

Множество Мандельброта

Сбежавшие числа

Фракталы Ньютона

Множество Жулиа

Бенуа Мандельброт • • • Придумал слово «фрактал» (от латинского «фрактус» — дробный, нецелый) Мандельброт обратил внимание на то, что не видели его предшественники: контуры, поверхности и объемы окружающих нас предметов не так ровны, гладки и совершенны, как принято думать. В действительности они неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами. Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в Варшаве. В 1936 году семья Мандельбротов переехала в Париж, где Бенуа окончил Политехническую школу (1947). Ученую степень магистра наук (по аэрокосмическим наукам) защитил в Калтехе — Калифорнийском технологическом институте в Пасадене (1948), а высшую ученую степень доктора философии (по математике) — в Парижском университете (1952). До окончательного переезда в США (1958) Бенуа Мандельброт был приглашенным профессором в университетах Принстона, Женевы и Парижа. С 1974 года Мандельброт состоит членом совета по научным исследованиям фирмы IBM, а с 1984 года — профессором математики Гарвардского университета. Помимо многочисленных статей перу Бенуа Мандельброта принадлежат три ставшие ныне классическими монографии о фракталах и их роли в математике, естественных и социальных науках: «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность» (1955), «Фракталы: форма, случайность и размерность» (1977) и «Фрактальная геометрия природы» (1982).

«Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин кроется в ее неспособности описывать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не окружности, древесная кора не гладка, и молния — далеко не прямая… Природа демонстрирует нам не просто более высокий, а совершенно иной уровень сложности. Число различных масштабов длины бесконечно, какую бы цель мы ни преследовали при их описании. Существование таких структур бросает нам вызов, ставя перед необходимостью заняться изучением тех форм, которые Евклид оставил в стороне как лишенные какой бы то ни было правильности, — исследованием морфологии аморфного. Математики уклонились от этого вызова и все более уходили от природы, измышляя теории, не имеющие ни малейшего отношения к тому, что доступно нашему созерцанию и нашим ощущениям» .

Фрактальная размерность Количественная мера не идеальности объектов — извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема — размерность Хаусдорфа - Безиковича. Размерность Хаусдорфа — Безиковича принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1, 02 для слегка извилистой линии, 1, 15 — для более извилистой, 1, 53 — для очень извилистой и т. д.

• Классификация фракталов • Геометрические фракталы • Алгебраические фракталы • Стохастические фракталы

Геометрические фракталы Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломануюгенератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал. Построение триадной кривой Кох.

Алгебраические фракталы Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Множество Мандельброта. Итеративное выражение: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на природные ─ несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, i, С меняем случайным образом

"Скрытое изображение" во фрактальном пространстве

Проведенное изучение позволяет выделить следующие важные особенности фрактальной графики • 1. В основе фрактальных структур лежит принцип самоподобия вложенных структур. • 2. Компактное представление изображений позволяет описывать фрактальные структуры, используя весьма малый объем информации. • 3. Вложенность структуры фракталов допускает получение изображений с любой требуемой степенью детализации. Так, увеличение масштаба фрактального изображения может быть получено без изменения его разрешения путем изменения только одного параметра – числа поколений. • 4. Возможность получения изображений весьма сходных с изображениями природных объектов и структур. • 5. Работы, посвященные использованию фракталов для описания структуры Вселенной, экономики, нефтедобычи и многого др. а также внутреннего мира человека указывают на возможности использования фракталов в качестве почти универсального подхода к описанию реальных структур.

Проведенное теоретическое и практическое изучение фракталов позволяет нам выделить некоторые направления их использования в культуре и искусствах. 1. Фрактальная живопись есть вполне самостоятельный вид искусства, хотя и очень своеобразный. То же относится и фрактальной музыке и анимации. 2. Использование фракталов , на наш взгляд, весьма перспективно при моделировании предметов искусства, архитектуры и создании банков природных текстур и ландшафтов. 3. Важным направление является использование фракталов для формирования архивов в области культуры и искусств. Указанные архивы будут иметь весьма малый объем , а при раскрытии позволят получить весьма детальные изображения предметов культуры и искусств. Следует также отметить возможность весьма быстрой разархивации изображенией при помощи фрактальных структур и очень медленной их архивации, что может быть дополнительным приёмом сохранения аутентичности изображений предметов культуры и искусства. 4. Исследования , посвященные использованию фрактальных структур в теоретических областях науки. позволяют нам предположить о возможности использования фракталов при развитии представлений в современной фундаментальной и прикладной культурологии.

Снежинка фон Коха

Программа для работы с фрактальной графикой • • • fraktal-l-z опавшие листья цветы Exe дракон Фрактальная вселенная 4. 0 fracplanet PBM 4. 0 Apophysis Программа Art Dabbler Программа Ultra Fractal Программа Fractal Explorer Программа Chaos. Pro Программа Apophysis Программа Mystica