Формальные системы Лекция 10 Логические исчисления как

Формальные системы Лекция 10

Логические исчисления как формальные системы ¡ ¡ ¡ Понятие о формальных системах и формальных теориях. Исчисления высказываний. Исчисления предикатов.

Понятие о формальных системах и формальных теориях ¡ Формальные системы – системы операций над объектами, понимаемыми как последовательности символов, то есть, как слова в фиксированных алфавитах. Между символами не существует никаких связей и отношений кроме тех, которые явно описаны средствами формальных систем.

Термин «формальный» подчеркивает отсутствие содержательной части. ¡ ¡ Множество формул, определенных в логике высказываний перечислимо. Это значит, что процедура порождения этих формул существует. Множество разрешимо, если имеется процедура, которая по любому объекту, дает ответ, принадлежит он этому множеству или нет.

Аксиоматические теории – теории, основанные на аксиомах (например, геометрия Евклида). ¡ Всякая теория определяется языком, то есть множеством высказываний, истинных данной теории, а также совокупностью теорем, являющихся подмножеством языка теории. ¡

¡ ¡ Основание математики отвечает на вопрос: как должна быть построена теория, чтобы в ней не было противоречий; каковы должны быть методы доказательства? Основная идея – последовательное приведениеаксиоматическогопринципа. При этом не допускается пользоваться какими-либо предположениями, кроме явно выраженных в виде аксиом.

¡ ¡ Аксиома рассматривается как формальная последовательность символов или выражений, а методы доказательства – как методы получения одних выражений из других с помощью операций над символами. Формальная теория (исчисление) – это знаковая система, создаваемая с использованием процесса образования всех синтаксически правильных символических выражений из букв алфавита системы – языка, то есть слов, формул и процесса вывода потенциально значимых (т. е. истинных) формул.

Исчисления задаются следующим образом: ¡ ¡ Задается алфавит. Определяется множество формул или правильно построенных выражений на основе алфавита. Выделяется подмножество формул, называемых аксиомами теории. Иногда выделяют отдельно логические и нелогические аксиомы. Задаются правила вывода теории. Правила вывода описывают отношения выводимости на множестве формул.

Пусть G выводится из множества формул F 1, F 2, …, Fn: ¡ R (F 1, F 2, . . . Fn, G) – отношение выводимости. ¡ Формула G называется непосредственно выводимой из формул F 1, F 2, . . . , Fn по правилу R. ¡

¡ Вывод формулы B из формул А 1, А 2, … , Аn – это последовательность формул F 1, F 2, . . . , Fm, где Fm = В, а любая F от F 1 до Fm-1 – либо аксиома, либо одна из исходных формул, либо непосредственно выводима из F 1, …, Fm-1 по какому либо правилу вывода. ¡ Здесь Ai – гипотезы, В – вывод.

¡ ¡ ¡ Доказательство формулы В формальной теории – вывод из пустого множества формул, то есть вывод, в котором в качестве исходных данных используются только аксиомы. Формула, для которой существует доказательство, называется доказуемой или теоремой. Присоединение формул к гипотезам не нарушает выводимости.

В формальной теории существует 2 типа высказывания: ¡ Высказывание самой теории – это теорема. ¡ Высказывание о теории – это свойства, которые формулируются на языке внешнем, по отношению к теории (метаязыке). Такие высказывания называются метатеоремы.

Исчисление высказываний ¡ 1. Порождение тождественно истинных высказываний является основной задачей формальной теории, которая называется исчислением высказываний. Построим исчисление высказываний как формальную теорию: Задаем алфавит: 1. 2. 3. Высказывательные (или пропозициональные) переменные: X, Y, Z. . . W. Символы логических операций: → и ‾. (Можно доказать, что это – функционально полная система). Скобки: (, ).

2. 3. Формулы исчисления высказываний. Все пропозициональные переменные – формулы. Если А и В – формулы, то – формулы. Аксиомы:

4. ¡ Правила вывода: Правило подстановки: Если Х – выводимая формула, содержащая А, то выводима и формула, получающаяся заменой всех А на В.

Правило заключения: 1. В исчислении высказываний всякая выводимая из пустой системы гипотез формула тождественно истинна. 2. Если формула исчисления высказывания тождественно истина, то она выводима.

¡ ¡ Формальная аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если не существует такой формулы А, что одновременно выводимо А и В. Исчисление высказываний не противоречиво. Формальную аксиоматическую теорию называют полной, если добавление любой не выводимой формулы в качестве схемы аксиомы приводит к противоречивой теории. Исчисление высказываний полно.

Исчисление предикатов ¡ ¡ В логике предикатов нет эффективного способа определения общезначимости, поэтому аксиоматический подход имеет очень существенное значение. В исчислении предикатов алфавит и определение формулы совпадают с алфавитом и определением формулы в логике высказываний.

¡ Аксиомы исчисления предикатов:

Правила вывода: 1. 2. modus ponens. Правило связывания квантором общности: , где В не содержит Xi. 3. Правило связывания квантором существования: Правило переименования связной переменной: связанную переменную формулы A можно заменить (в кванторе и во всех вхождениях в области действия квантора) другой переменной, не являющейся свободной переменной в А. 4.