Физика твердого тела Курс лекций 7 1 Теория

Физика твердого тела Курс лекций (7) 1. Теория свободного электронного газа в металлах

Модель движения электрона в потенциальном ящике получила дальнейшее развитие на основе квантовой механики для описания свободного электронного газа. Рассмотрим поведение газа свободных электронов, находящихся в гипотетическом одномерном «кристалле» , учитывая принципы квантовой механики. Движение электрона с массой m 0 ограничено в этом случае прямой с длиной L, в начале и конце которой находятся потенциальные барьеры бесконечной высоты. Волновая функция и энергетические уровни электрона могут быть получены из решения уравнения Шредингера: Где Н – оператор Гамельтона (Гамельтонеан) –оператор полной энергии где -Оператор импульса.

Если потенциальная энергия электрона равна нулю, то где -Оператор импульса. Или где n – энергия электрона в состоянии n; Данному состоянию соответствует волновая функция ψn. Граничные условия имеют вид: Волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера и граничным условиям имеет вид:

Волновая функция: Энергия n-го уровня: Первые три энергетических уровня (штриховые линии) и соответствующие волновые функции (сплошные линии) свободного электрона Зависимость энергии электрона от квантового числа n для одномерной модели свободных электронов.

Для описания электронного газа необходимо выяснить, как распределены N электронов по уровням энергии одномерного кристалла. Электроны всегда подчиняются принципу Паули : Никакие два электрона не могут иметь в этой системе одинаковые квантовые числа. (Свойство фермионов). В одномерном твердом теле свободный электрон (электрон проводимости) имеет квантовые числа n и ms = ±. (n – целое, положительное число). ms – спиновое квантовое число.

Введем обозначение: n. F- квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня. N – четное число электронов (N = 2 n. F). Будем последовательно заполнять электронами энергетические уровни, начиная с низшего, (n =1), до N электронов по два электрона на уровень. Введем определение энергии электронов, соответствующей высшему заполненному уровню – энергии Ферми, Для одномерной модели свободных электронов :

Газ свободных электронов в трехмерном случае: Уравнение Шредингера имеет вид: Решение уравнения Шредингера будет иметь вид: где nx, ny, nz – положительные целые числа. Решение представляет собой плоскую волну. Другая запись плоской волны имеет вид:

Компоненты волнового вектора k пробегают дискретный ряд значений: Тем самым компоненты волнового вектора k являются квантовыми числами наряду со спиновыми квантовыми числами. Собственные значения энергии электрона с волновым вектором k:

Определим импульс, действуя оператором импульса на волновую функцию. Скорость частицы с волновым вектором k равна:

Квантовые состояния системы из N свободных электронов удобно представить в трехмерном пространстве волновых векторов (k - пространстве). Занятые состояния будут определены точками внутри сферы в - пространстве, Поверхности сферы будет соответствовать энергия F. Поверхность, называется поверхностью Ферми. В случае свободных электронов поверхность Ферми представляет собой сферу радиуса k. F Поверхность Ферми для свободных электронов в пространстве волновых векторов

Пространство волновых векторов дискретно, так что каждому вектору K=(kx, ky, kz ) отвечает элемент объема в k - пространстве, равный величине: Тогда, если взять частное от деления всего объема k- пространства, на элемент объема, соответствующий одному состоянию, то получим число состояний, которое, должно быть равно половине числа электронов: (спиновое вырождение) - объем кристалла, тогда можно получить формулу радиуса сферы Ферми: nэл – плотность электронов

Радиус сферы Ферми зависит только от концентрации электронов. Энергия электронов на поверхности Ферми: Скорость электронов на поверхности Ферми для свободного газа электронов: