Физика твердого тела Курс лекций 12 1 Классификация

Физика твердого тела Курс лекций (12) 1. Классификация твёрдых тел с точки зрения заполнения энергетических зон электронами. 2. Строение поверхности Ферми.

Энергетические зоны в кристаллах возникают в результате «размытия» дискретных уровней энергии электронов в атомах, обусловленного взаимодействием электронов с соседними (и более далекими) атомами решетки за счет перекрытия волновых функций. При сближении атомов происходит снятие вырождения электронов по энергиям: – электроны, первоначально занимавшие в одинаковых атомах одинаковые квантовые состояния, обязаны занять новые энергетические уровни с учетом принципа Паули. Так как в кристалле содержится большое количество электронов, возникает энергетический спектр разрешенных электронных состояний – разрешенная зона. Появление 1 S-зоны, 2 S-зоны, трех 2 Рзон, одной 3 S-зоны, трех 3 Р-зон, пяти 3 D-зон и т. д

Ширина энергетических зон, различна: 1) наименее уширены энергетические зоны глубоко лежащих уровней, 2) наиболее уширены внешние заполненные и незаполненные энергетические зоны 3) Внутренние зоны могут перекрываться с образованием широких энергетических зон. В кристаллах, состоящих из многоэлектронных различных с химической точки зрения атомов, зоны могут смыкаться и перекрываться, что обусловливает особенности в электронных свойствах таких веществ.

Особенности заполнения и перекрывания зон. 1. Внешняя зона может быть полностью занята. Пример: Твердое тело из N атомов с электронами в 1 s 22 p 6 - состояниях. Образуются: одна 1 S- зона, одна 2 S-зона, три 2 Р – зоны, В каждой зоне имеется: 2 N, 6 N разрешенных электронных состояний. Все состояния оказываются занятыми.

Особенности заполнения и перекрывания зон. 1. Внешняя зона может быть не полностью занята. 2. Если твердое тело состоит из N одновалентных атомов с внешними электронами в s-состоянии, то в результате образуется одна энергетическая S-зона, в которой являются разрешенными 2 N состояний ( в соответствии с принципом Паули). Разрешенные состояния в энергетической зоне оказываются заполненными только наполовину. Пример: Электронное строение Na [1 s 22 s 2 p 6]3 s 1. Десять внутренних электронов создают в атоме Na замкнутую оболочку из 5 -ти узких энергетических зон. Внешний 3 s-электрон, обеспечивает заполнение внешней зоны наполовину.

Образование энергетической зонной картины в кристаллах алмаза. 1. e-оболочки свободных атомов обладают электронной конфигурацией 1 s 22 p 2 2. При сближении атомов е-оболочки поляризуются и приобретаю sр3 -гибридизацию. Все валентные электроны выравниваются по энергии. 3. Образование химических связей. Кристалл алмаза представляет гигантскую ковалентную молекулу. Валентные электроны образуют 2 зоны, разделенные энергетической щелью : Нижняя полностью заполнена. Верхняя полностью свободная. Картина заполнения зон действительна только при температуре абсолютного нуля.

Общие закономерности зонного строения: 1. В диэлектриках или полупроводниках (при Т=0) каждая зона либо полностью заполнена, либо полностью пуста. 2. В металлах верхняя зона заполнена не полностью. Даже бесконечно малое внешнее воздействие на электрон может перевести его в новое квантовое состояние с энергией, несколько большей энергии Ферми. Такие электроны легко подвижны и составляют электронный газ, перемещение которого под действием электрического поля приводит к возникновению электрического тока. 3. Вещества со сложным строением электронных оболочек, в которых одновременно заполняются разные зоны Бриллюэна. Сюда относятся металлы с низкой проводимостью (полуметаллы, Bi, Sn, Cd, …) и некоторые полупроводники.

Различные виды электронной зонной структуры. Зонная структура для: а) диэлектрика или полупроводника; б) металла; в) металла с перекрытием зон, полуметалла. Заштрихованы области занятых электронных состояний. Eg – ширина запрещённой зоны

Вид зонной структуры в общем виде. В трехмерном кристалле периодичность решетки в разных направлениях неодинакова. Разрывы в энергетической структуре могут менять периодичность, сменяться перекрываниями. По этой причине зависимость E(k) в трехмерном пространстве может иметь более сложный вид.

Строение поверхности Ферми Поверхность Ферми отделяет незаполненные электронные энергетические состояния от заполненных при температуре абсолютного нуля. Большинство электронных свойств проводящих тел определяется именно поверхностью Ферми, поскольку ток возникает при изменении числа занятых состояний вблизи поверхности Ферми. В реальных кристаллах поверхность Ферми может иметь весьма сложный вид. Её топология будет оказывать непосредственное влияние на особенности динамики и на величину эффективной массы электронов в металлах и полупроводниках.

Построение зон Бриллюэна для кубического кристалла. Обратная решетка (двумерный случай) Первая зона получается как область, заключённая между четырьмя прямыми, проходящими через середины четырёх кратчайших векторов обратной решётки G(100), связанных осью симметрии четвёртого порядка. Если постоянная прямой квадратной решётки равна а, то эти четыре векторы – это: Первая зона Бриллюэна

Построение зон Бриллюэна для кубического кристалла. Обратная решетка Вторая зона Бриллюэна строится при помощи вектора G(110) и ещё трёх, эквивалентных ему по симметрии. Первая и вторая зоны Бриллюэна

Построение зон Бриллюэна для кубического кристалла. Обратная решетка Первая, вторая и третья зоны Бриллюэна

Поверхность Ферми для модели свободных электронов для квадратной обратной решётки имеет вид окружности (для любого значения концентрации электронов). Радиус и площадь закрашенной области зависит только от концентрации электронов и не зависит от взаимодействия электронов с решёткой. Если имеется взаимодействие электронов с атомным остовом решетки, форма поверхности меняется (не будет иметь вида окружности или сферы), хотя её площадь (объём – в трёхмерном случае) задаётся концентрацией электронов.

Построение приведенных зон Бриллюэна Более удобным является представление приведённых зон. Треугольник 2 a и переместим его влево на вектор обратной решётки: тогда он окажется внутри первой зоны Бриллюэна. Сдвигая аналогично три других части, получим, что в схеме приведённых зон вторая зона Бриллюэна окажется внутри первой. Аналогично на фоне первой зоны Бриллюэна располагают части третьей зоны.

Поверхность Ферми для свободных электронов в схеме приведённых зон Заштрихованные участки изображают занятые электронами состояния. Отдельные части поверхности Ферми попадают также во вторую, третью зоны.

Еще раз рассмотрим вид зонной структуры в общем виде с точки зрения учетом приведения зон. Если рассматривать квазиволновой вектор, то зависимость Е(к) имеет Параболический характер. Однако, правильнее использовать диапазон волнового вектора от - /a до + /a в пределах одной разрешенной зоны. Эта операция – приведение. На графике тонкими стрелками показаны переносы контуров зоны. Переносы могут сопровождаться операцией зеркального отражения.

Приведенная зонная структура Здесь представлены фрагменты двух приведенных зон полупроводника: Еv – энергия потолка валентной зоны (наивысшая из заполненных). Ес- дно зоны проводимости (ближайшая незаполненная зона). ΔЕ – ширина запрещенной зоны. Параболы направлены крыльями друг на друга, что означает, что имеются разные знаки перед к 2. . Этот эффект объясняется отрицательным значением эффективной массы, которая определяется из: Е(к)= Вторая производная в максимуме и минимуме приобретает разные знаки.

Отрицательное значение будет для электронов в заполненной зоне проводимости. Однако, в заполненной зоне электроны «не передвигаются» . Движение электронов появится, когда возникнет вакансия. В этом случае, удобнее считать, что передвигается не электрон, а вакансия. Эта вакансия должна иметь противоположный знак заряда. В этом случае, можно массу приписать вакансии -дырке. Введение «дырок» облегчает описание электрических и оптических процессов в твердых телах: полупроводниках и диэлектриках. При использовании понятия «дырка» следует помнить, что оно применимо при наличии зонной структуры и периодического строения твердого тела.

Поверхность Ферми для кристалла алюминия Поскольку поверхность зоны Ферми должна быть параллельна системе плоскостей для соответствующей зоны Бриллюэна, то Фактически в кристалле поверхность Ферми является сложным полиэдром.