Физика реального кристалла 7 Теория упругости сплошных сред

Физика реального кристалла 7. Теория упругости сплошных сред. Упругие поля (поля напряжений) вокруг дислокаций. Энергия дислокаций. Профессор Б. И. Островский ostr@cea. ru

Типы дислокаций: Краевые дислокации - Edge Dislocation: A portion of an extra plane of atoms Винтовые дислокации - Screw Dislocation: Helical atomic displacement around a line extending through the crystal Смешанные дислокации - Mixed Dislocation: Some edge, some screw nature

Краевая дислокация Слабые, упругие искажения идеальной решетки - «хороший материал» - линейная теория упругости Ядро дислокации (? ? ) -сильные искажения решетки, нелинейные деформации

Свойства вектора Бюргерса Finish-start/ right hand

Свойства дислокаций Дислокационная линия не может закончиться внутри кристалла, а только - на его поверхности - на внутренней границе раздела ( на границах зерен) - в дислокационном узле - с образованием дислокационной петли

Примеры дислокационных петель и узлов в кристаллах Дислокационная петля в fcc кристале Сетка Франка

Дислокационные петли в алмазоподобной структуре

Плотность дислокаций Определение плотности дислокаций см-2 = L/ V = Nl/ l. S = N/ S Выражается в единицах, Типичные значения в отожженных металлах В полупроводниках После пластической деформации и выше -1 = S/ N -1/2 = < r >- среднее расстояние между дислокациями

Элементы теории упругости сплошных сред

Закон Гука, модуль Юнга Y E Брусок из однородного изотропного материала

Коэффициент Пуассона В кристаллах: ij = Cijkl kl

Брусок под действием гидростатического давления

Объемный модуль упругости

Однородный сдвиг (1) клей

Однородный сдвиг (2) Fi = 0 Mi = 0

Однородный сдвиг (3) сдвиге

Однородный сдвиг (4) -1 < < 1/2

Элементы теории упругости кристаллов

ij = d. Fi /d. Aj

Тензор напряжения (1)

Тензор напряжения (2) !! Приведение к диагональному виду

Симметрия тензора напряжения ij

Тензор деформации (1) деформации

Тензор деформации (2) u - смещение частицы x’ = x + u 2 - u 1 x’ = x + u e = lim ( x’ - x)/ x = x 0 = lim u/ x = du/dx - деформация x 0

Тензор «деформации» (3) r’ r вектор смещения u r r’ = r + u e = du/dr ; eij = dui/dxj dui = eij dxj ; eij - тензор дисторсии

Тензор дисторсии (1)

вектор смещения r’ = r + u В общем случае: e = du/dr ; eij = dui/dxj dui = eij dxj ; eij - тензор деформации (? ? ) Легко понять смысл компонент тензора eij x = ( x 1; 0; 0) ui = eij xj :

Тензор дисторсии (2) 2

Определение тензора деформации - Тензор деформации - Чистые повороты

Тензор деформации (6)

Акивис, Гольдберг, 1969 r’ = r + u ( r’)2 = ( r)2 + 2 r u + u 2 ( r’)2 - ( r)2 = 2 r u =2 eij xi xj Таким образом, в чистую деформацию вносит вклад только тензор Вклад равен 0 2 r u =2 ij xi xj

Акивис, Гольдберг, 1969 u = x r r’ r

Акивис, Гольдберг, 1969

Тензор деформации (5)

Тензор деформации (6)

Тензор упругости ij ij ij = Cijkl kl

Роль симметрии Кубические кристаллы Ромбическая Тригональная В кубических кристаллах достаточно трех упругих констант

Изотропное твердое тело G Связь с константами упругости кубического кристалла Связь с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона E = 2 G (1+ ) = /2( +G )

Коэффициенты упругости C Cijkl 1. 6 х10 -12 C C = U/a 3 Оценка величины коэффициентов упругости C 11 C 12 C 44 Кубические кристаллы Дин/см 2 = эрг/см 3 = 10 -1 дж/м 3

Изотропные тела Дин/см 2 = эрг/см 3 = 10 -1 дж/м 3 = 10 -1 Н/м 2

Энергия деформируемого кристалла

Когда единичный элемент объема деформируется на малую величину d ij , напряжения совершают над ним работу: d Wel = ij d ij = Cijkl kld ij ij = Cijkl kl - Закон Гука Плотность энергии! [эрг/см 3] После интегрирования имеем для плотности энергии: Wel = (1/2)Cijkl ij kl = (1/2) ij ij Полная упругая энергия деформации получается интегрированием по всему объему кристалла: Wel полн = (1/2) Cijkl ij kl d 3 r V В случае однородной деформации: kl = const (r ) Wel полн = (1/2)C 2 V - одноконстантное приближение При неоднородной деформации: kl = kl (r ) ; Wel полн = (1/2) C 2(r)d 3 r

Энергия деформируемого кристалла

В общем случае если деформация производится обратимо и при постоянной температуре, и если вся работа идет на упругую деформацию, то свободная энергия системы имеет вид: F = (1/2) Cijkl ij kld 3 r V Плотность энергии деформации в общем случае записывается в виде: Wel = Wel ( kl) = (1/2)Cijkl ij kl + (1/6)Cijklтn ij kl mn+ 2 W el / ij kl + (1/24) Cijklmnpq ij kl mn pq Гармоническое приближение Ангармонические поправки

Упругие поля и напряжения вокруг дислокаций

Дислокации в непрерывной упругой среде Построение Вольтерра

Образование краевой дислокации в кристалле

Построение Вольтерра для винтовых и краевых дислокаций

Поле смещений вокруг винтовой дислокации arctg (y/x) Цилиндрические координаты: r, , z x 2 + y 2 = r 2; tg = y/x uz = uz(x, y)

Вычисление компонент тензора деформации (1) uz = uz(x, y) ux = 0 uy = 0

Вычисление компонент тензора деформации (2) Смещения: arctg (y/x) (1/2)duz/dy =(b/4 )d[ arctg(y/x)]/dy = dy/(y 2 +a 2) = (1/a) arctg(y/a)

Вычисление компонент тензора деформации (3) xx = yy = zz = xy = yx = 0 xz = zx Цилиндрические координаты: r, , z; x 2 + y 2 = r 2; tg = y/x

Вычисление компонент тензора напряжений G

Компоненты тензора напряжений в цилиндрических координатах z z Цилиндрические координаты: r, , z x 2 + y 2 = r 2; tg = y/x

Компоненты тензоров напряжений и деформаций в цилиндрических координатах используя соотношения: и, аналогичным образом, для сдвиговых деформаций, получаем:

Упругие поля искажений вокруг дислокаций являются дальнодействующими! Отличные от нуля компоненты ij и kl убывают с расстоянием от дислокации как r -1, r -1

Сравнение законов спадания напряжений с расстоянием r, для точечных дефектов, дислокаций и дислокационных стенок

в нем имеются внутренние напряжения, источником которых являются дислокации.

Упругая энергия дислокации Полная энергия дислокации состоит из двух частей: Wel = (1/2) Cijkl ij kl = (1/2) ij ij Плотность упругой энергии, запасенной в дислокации: 8 2 2 полн = Полная энергия, запасенная в полом цилиндре радиуса R и длины L : L 2 R = (Gb 2/8 2) dz d rdr/r 2 = L полн 0 0 L r 0 Или на единицу длины дислокации: полн /L = d. V

Оценки упругой энергии дислокации При обычных значениях плотности дислокаций =107 см-2, среднее расстояние между ними составляет R -1/2 3. 10 -4 см, что дает для и 10 полн /L = При G 1012 дин. см-2 и b = 2. 10 -8 см имеем: Ebond Gb 3 /L = 4. 10 -4 эрг/см полн Что в пересчете на одну связь дает: Ebond 4. 10 -4 эрг/см x 2. 10 -8 см = = 8. 10 -12 эрг 5 эв

Наименьшей энергией обладают дислокации с наи- !!

Диссоциация дислокаций

Ядро дислокации ядро – неупругие искажения упругие деформации

Оценки, выполненные на основе различных микроскопических подходов и результатов компьютерного моделирования взаимодействий в ядре дислокаций, показывают, что энергия ядра дислокации не превышает 10 -15% полной энергии, т. е. большая часть энергии дислокации связана с упругими деформациями, распространяющимися далеко в объеме кристалла.