ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. ДИНАМИКА

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. ДИНАМИКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Физический маятник 2 Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести. Положение маятника будем определять углом φ отклонения линии ОС от вертикали. φ С KО Р Р — вес маятника а — расстояние ОС от центра масс до оси подвеса, J O — момент инерции маятника относительно оси подвеса.

ЗАКОН КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА 3 sin. Pa. JO Физический маятник Для определения закона колебаний маятника воспользуемся дифференциальным уравнением вращательного движения. В данном случае Mo= -P a sin φ , т. к. при φ 0 момент отрицателен. OPa. Jk 2 0 sin 2 k Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая угол малым и приближенно , тогда уравнение примет вид: sin 0 2 k Это уравнение совпадает по виду с дифф. Уравнением свободных прямолинейных колебаний, следовательно его общим решением будет: kt. Ckt. Сcossin 21 ktcos 0 Закон колебания при данных условиях:

СЛЕДСТВИЕ. ПРИВЕДЕННАЯ ДЛИНА 4 k Tф 2 Физический маятник Pa JO 2 Малые колебания физического маятника являются гармоническими, период колебаний маятника (при замене k) определяется формулой: Т. е. при малых колебаниях период не зависит от начального угла. g l Tм 2 Ma J Pa g. J l OO 1 При длине l 1 период колебаний математического маятника совпадает с периодом колебаний соответствующего физического маятника. Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

ЦЕНТР КАЧАНИЙ 5 Физический маятник Точка K отстоящая от оси подвеса на расстоянии ОК=l 1, называется центром качаний физического маятника. По теореме Гюйгенса: 2 Ma. JJCO Ma J al C 1 Отсюда следует, что ОК всегда больше, чем ОС=а, т. е. центр качаний расположен всегда ниже центра масс. φ С KО Р 2 Ma. JO Ma J al O 1 (для математического маятника) Ma Ma. J Ma J l CO

ВЫВОД 6 Физический маятник. Ma J al C 1 Ma J KC C Если поместить ось подвеса в точке К, то приведенная длина l 2 будет: )( 2 KCM J KCl C Следовательно точки К и О являются взаимными, т. е. если ось подвеса будет проходить через К, центром качаний будет О и период колебаний не изменится. 1 la Ma JC С KО Рφφ СK Оφ Р M J a. KC C или

Принцип Д’Аламбера ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. ДИНАМИКА

8 Жан Лероо н Д’Аламбео р (16. 11 1717 — 29. 10 1783) французский учёный-энциклопедист. философ, математик и механик. Член Парижской академии наук(1740) Французской академии наук(1754) Петербургской академии(1764) и других академий наук. Принцип Д’Аламбера

В каждый момент движения материальной точки активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил. Принцип Даламбера для материальной точки: 9 Принцип Д’Аламбера 0 ФNF а Введем вектор силы инерции точки и назовем введенный вектор Даламберовой или просто силой инерции. Эта сила — фиктивная. am. F и Ф a и F N а F ФF и a

10 Принцип Д’Аламбера Запишем второй закон Ньютона: am. NF a Теперь если ввести, помимо всех внутренних и внешних сил фиктивную силу инерции, то. . . Сила инерции данной точки уравновешивает все приложенные к ней внутренние и внешние силы. иначе: 0 ФNF a 0 am. NF a

Принцип Д’Аламбера 11 Пример: T m gm a Ф Груз массой m опускается равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок, и за время t проходит расстояние L. Определить силу натяжения троса. L 2 2 at L 00 0 mg. ФT 2 2 t L a Фmg. T 2 2 t L gmagm. T

Принцип Даламбера для механической системы: Принцип Д’Аламбера 12 Для движущейся механической системы в любой момент времени геометрическая сумма главных векторов внешних активных сил, сил реакций связей и сил инерции равна нолю; геометрическая сумма главных моментов внешних активных сил, реакций связей и сил инерции равна нулю. 0)()()( 101010 N kk N k e k. ФMNMFM 0 111 N kk N k e k. ФN

Принцип Д’Аламбера 13 — главный вектор активных сил — главный вектор реакций связей — главный вектор сил инерции n k a k. F 1 n k k. N 1 n k k. Ф 1 n k a k. FM 10)( )( 10 n kk. NM n kk. ФM 10)( — главный момент активных сил — главный момент реакций связей. — главный момент сил инерции

Принцип Д’Аламбера 1401111 am. NF a 02222 am. NF a 0 nnna n am. NF ………………… Сложим все уравнения полученной системы: n k kk n k a kam. NF 111 0 n k kn k a k ФNF 111 0 или

ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ Принцип Д’Аламбера 12 ФФn k k 1 Фn k k MФM 0 1 0)( Как определить эти величины? n k e kc. Fam 1 n k k n k a k. NF 11 n k k n k a k. ФNF 111 0 c am. Ф z Ф z. JM Теорема об изменении момента импульса dt. Kd. M Ф /

ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА Принцип Д’Аламбера 12 cam. Ф a 1 Ф 2 Ф ma. Ф 1 22 Cma. Ф