ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПРОГРАММЕ SUPREM II

ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПРОГРАММЕ SUPREM II Диффузия примесей при термообработке

n Перераспределение примесей в пространстве системы Si - Si. O 2 при термообработке описывается уравнением непрерывности, которое может быть записано следующим образом в уравнении (1. 8) n где n n n C - концентрация примесей; S(t) - замкнутая поверхность (функция времени, t); V(t) - замкнутый объем по S(t); вектор потока примесей; - единичный вектор, нормальный к S(t); g - скорость генерации примесей; l - скорость потерь примесей.

n Левая часть уравнения (1. 8) представляет собой скорость изменения содержания примеси в некотором объеме V(t) и определяется как скорость генерации примеси в этом объеме минус уход примеси через поверхность S(t), ограничивающую объем V(t). Использование уравнения непрерывности в интегральной форме упрощает обработку изменения объема, происходящего при окислении кремния и в процессе эпитаксиального наращивания. Члены в уравнении (1. 8), описывающие процессы генерации и потерь, включены для учета эволюции состояний примесных атомов в кристаллической решетке кремния, как, например, в случае мышьяка, когда атомы могут существовать как в межузельном, так и кластерном состояниях.

n Для одномерного потока уравнение (1. 8) можно записать в виде (1. 9), (1. 10), (1. 11) n n где n Здесь y - направление, перпендикулярное поверхности кремниевой подложки (оно положительно для направлении внутрь подложки), а поток F(y) положителен в y- направлении. В физическом смысле поток примесей может возникать из-за термической диффузии, явлений на поверхности раздела, а также вследствие модификации поверхности раздела при окислении кремния и эпитаксии.

Диффузионный поток n n Диффузия в твердом теле представляет собой физическое явление, ответственное за перераспределение примесей при высокотемпературных обработках. В любой точке y диффузионный поток FD(y) примесей связывается с их концентрацией и градиентом диффузии посредством модифицированного первого закона Фика. Для одномерного потока это соотношение имеет вид уравнения (1. 12) n n где D(y) - коэффициент диффузии примеси. .

n . Если предположить, что миграция примесей осуществляется только посредством диффузии отдельных атомов, то внутри материала отсутствуют как генерация, так и потери примесей. Следовательно, уравнение сохранения количества примесей примет вид Предполагая постоянство коэффициента диффузии, получим хорошо известное выражение для второго закона Фика посредством подстановки (1. 10) и (1. 12) в (1. 13) и дифференцирования по y. Тогда уравнение (1. 13) принимает вид уравнения (1. 14)

n Второй закон Фика достаточно адекватен для расчета диффузионного перераспределения примеси при низкой концентрации. Однако этот закон не выполняется, когда концентрация примеси возрастает до или выше концентрации собственных носителей заряда ni(T) в полупроводнике. На рис. 1. 3 представлен график зависимости ni от температуры, который используется в SUPREM II. Кроме того, уравнение (1. 12) может не выполняться даже при низкой концентрации, если присутствуют другие примеси в кремнии с высокой концентрацией.

n Одна из первых попыток объяснить диффузионное перераспределение примесей в высоколегированном полупроводнике состояла в включении электрического поля и введении эффекта влияния свободных носителей на перераспределение примесей в процессе высокотемпературной обработки. Этот подход подобен описанию амбиполярной диффузии в плазме. В этом случае коэффициент диффузии является функцией концентрации примеси и определяется выражением n n где Di - собственный коэффициент диффузии примесей. Как видно из выражения (1. 15), максимальное значение fe равно 2 для C >> ni. Однако этот факт не объясняет увеличения коэффициента диффузии до величин порядка 10. . . 20, что часто наблюдается для большинства примесей.

n n Явление несобственной диффузии примеси является результатом миграции примеси посредством взаимодействия с заряженными точечными дефектами в кремнии. Большинство примесей диффундирует в кремнии посредством взаимодействия с такими дефектами кристаллической решетки, как вакансии и межузлия. Таким образом, коэффициент диффузии примесей пропорционален концентрации точечных дефектов. Хотя концентрация нейтральных дефектов при любой температуре зависит от концентрации примеси (но не превышает концентрацию атомов кремния), концентрация дефектов в различных зарядовых состояниях (которые должны находиться внутри запрещенной зоны кремния) зависит от положения уровня Ферми в запрещенной зоне и, следовательно, является функцией концентрации примеси.

Температура, С 1200 ni, см-3 1100 1000 900 1020 1019 1018 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1000/T, K-1 Рис. 1. 3. Зависимость от температуры концентрации свободных носителей заряда в кремнии

n Эффективный коэффициент диффузии может быть, следовательно, представлен формулой (1. 16) n n где DV - коэффициент диффузии, обусловленный каждым из приведенных выше зарядовых состояний вакансий, (v: =, -, х, +, т. е. двукратно заряженная, однократно заряженная, нейтральная и положительно заряженная вакансия), а [VV] концентрация вакансий в каждом заряженном состоянии, нормализованная на собственную концентрацию вакансий в соответствующем зарядовом состоянии.

n Используя больцмановское приближение, можно рассчитать нормализованные концентрации вакансий (1. 17) n n где n - концентрация свободных электронов. Следовательно, для собственного полупроводника (n=ni) уравнение (1. 16) принимает вид (1. 18) т. е. собственный коэффициент диффузии является суммой коэффициентов диффузии, обусловленных различными зарядовыми состояниями вакансий.

n n Данная модель является основой для описания диффузионного перераспределения примесей в программе SUPREM II. За исключением фосфора, предполагается, что только нейтральные или однократно заряженные вакансии ответственны за коэффициент диффузии примесных атомов. В программе SUPREM II используется специальная форма представления коэффициента диффузии (1. 19) где Di - собственный коэффициент диффузии, а fv=n/ni поправочный коэффициент для доноров и ni /n - для акцепторов. Следовательно, в собственном полупроводнике fv=1 и D=Di. С другой стороны, для примесных полупроводников физическое значение параметра может быть выведено из уравнений (1. 16), (1. 17) и (1. 19), что дает

n Таким образом, коэффициент =DV / DX является показателем эффективности заряженных вакансий относительно нейтральных вакансий при диффузии примеси. На рис. 1. 4 приведен график зависимости нормализованного коэффициента диффузии D/Di от fv. Очевидно, что для любого примесного элемента коэффициент зависит от температуры, однако эти зависимости к настоящему времени отсутствуют. Рекомендуемые значения (используемые в программе SUPREM II по умолчанию): =3 для бора и =100 для мышьяка, в то время как для фосфора используется совершенно другая модель, которая будет описана ниже. Для других примесей величина неизвестна и по умолчанию равна 1.

n Хорошо известно, что при наличии в кремнии разных примесных атомов существует электрическое взаимодействие между ними [32]. На рис. 1. 5 иллюстрируется случай, когда мышьяк с высокой концентрацией влияет на распределение бора. В программе SUPREM II это взаимодействие моделируется посредством использования уравнения (1. 10) для вычисления потока примесей. В примере, представленном на рис. 1. 5, диффузионный поток бора в области с высокой концентрацией примеси n-типа проводимости уменьшается, т. к. fv(B)=ni/n 0, тогда как на краю профиля распределения мышьяка наблюдается падение концентрации изза быстрого изменения fv и, следовательно, коэффициента диффузии бора.

Фосфор n Модель, используемая в SUPREM II для диффузионной миграции фосфора, представлена в работе [33]. Модель описывает с приемлемой точностью образование ступеньки в профиле распределения фосфора (kink-effect), а также эффект смещения базы, обычно наблюдаемый при диффузии фосфора с высокой концентрацией в области эмиттера при биполярной технологии. Согласно этой модели физическое объяснение таких аномальных эффектов состоит в повышении концентрации вакансий в кремнии, вызванном диссоциацией ионизированных пар вакансий, которые движутся к кремниевой подложке. Типичный профиль распределения фосфора с высокой концентрацией состоит из трех частей, которые изображены схематически на рис. 1. 6, а:

10 -2 10 -1 1 102 Рис. 1. 4. Нормализованный коэффициент диффузии в зависимости от нормализованной концентрации носителей для различных значений

n C, см--3 1020 1019 1018 1017 1016 0. 00 0. 15 0. 30 0. 45 0. 60 0. 75 0. 90 Рис. 1. 5. Эффекты влияния высокого уровня легирования мышьяка на перераспределение бора B (initial) - исходное распределение бора после имплантации; B (int) и B (ext) – профили распределения бора после термообработки в присутствии мышьяка и без него соответственно; As – профиль распределения мышьяка

n n n 1. Поверхностная область, в которой диффузия фосфора осуществляется посредством взаимодействия с нейтральными вакансиями и с вакансиями, имеющими двукратный заряд, формирующими P+V= пары. В этой области коэффициент диффузии фосфора определяется выражением (1. 20) где ni - концентрация свободных электронов, вычисляемая из полной концентрации фосфора с использованием выражения (1. 11). Следовательно, в этой области коэффициент диффузии фосфора монотонно уменьшается (см. рис. 1. 6, а). Конец этой области лежит в точке, где уровень Ферми падает ниже 0. 11 э. В относительно зоны проводимости; эта точка определяется как основной уровень для дважды ионизированных вакансий

n Это имеет место при характеристической концентрации электронов, ne, определяемой выражением (1. 21)

n 2. Область хвоста, где коэффициент диффузии DTAIL повышается относительно собственного значения вследствие пересыщения кристаллической решетки кремния вакансиями из-за диссоциации пар P+V=. В этой области коэффициент диффузии описывается выражением n (1. 22) n n где ns - концентрация поверхностных электронов. Это уравнение следует рассматривать в качестве эмпирически подогнанного к экспериментальным результатам. Как видно из рис. 1. 6 а, коэффициент диффузии в хвостовой части очень сильно зависит от ns и, следовательно, от концентрации фосфора на поверхности.

n ГЛУБИНА Рис. 1. 6, а. Типичный профиль распределения концентрации (С) фосфора с выделением трех областей. Показано также локальное распределение коэффициента диффузии фосфора (D/Di)

n n n Поскольку данная модель предсказывает существование пересыщения вакансионных дефектов в объеме полупроводника , для других примесей в кристаллической решетке кремния под областью высокой концентрации фосфора также проявляется эффект усиления диффузии других примесей, примерно одинаковый по сравнению с эффектом, проявляющимся для атомов фосфора. Для этого в программе SUPREM II вводится коэффициент fenh, задаваемый выражением (1. 23) на который умножается собственный коэффициент диффузии, Dx, другой примеси в присутствии фосфора. Такой подход позволяет не только моделировать эффект сдвига базы, но и предсказывать усиление коэффициента диффузии других примесей как, например, мышьяк или сурьма, которые могут присутствовать в скрытом слое коллектора при формировании биполярного транзистора.

n n 3. Начало области хвоста определяется следующим образом. При использовании анализа Больцмана-Матано профиля фосфора при высоком уровне легирования было обнаружено, что существует промежуточная область между поверхностью и хвостом, где коэффициент диффузии возрастает пропорционально (nni). Этот эмпирический факт используется в SUPREM II для определения начала хвостовой области. Коэффициент диффузии, рассчитываемый в конце поверхностной области (где n=ne ), умножается на величину (ni//n)2 по мере увеличения глубины от поверхности, пока не будет достигнута точка, где коэффициент диффузии не достигнет значения D. Именно в этой точке предполагается начало хвостовой области. Из уравнения (1. 23) видно, что эта модель предсказывает монотонное увеличение коэффициента диффузии фосфора с увеличением поверхностной концентрации (по крайней мере в хвостовой области). Известно, что поверхностная концентрация увеличивается по крайней мере до 3 -4 x 10 см-3 при уменьшении коэффициента диффузии в хвостовой области. Этот эффект можно объяснить сужением ширины запрещенной зоны кремния, обусловленным напряжением кристаллической решетки из-за высокой концентрации Р.

n n n В SUPREM II этот эффект напряжения кристаллической решетки моделируется посредством увеличения концентрации собственных носителей в соответствии с формулой (1. 24) (1. 25) где Eg - сужение ширины запрещенной зоны, CTS полная поверхностная концентрация фосфора. Очевидно, что ne должно также увеличиваться на ту же величину. Важность включения в модель эффекта напряжения кристаллической решетки иллюстрируется рис. 1. 6 б, где рассчитанные профили диффузионного перераспределения фосфора (с и без Eg ) сравниваются с экспериментальными данными.

n Еще один дополнительный эффект влияния напряжения кристаллической решетки на коэффициент диффузии имплантированного фосфора включен в программу SUPREM II. Коэффициент диффузии фосфора уменьшается при увеличении дозы имплантации, что, вероятно, обусловлено разупорядочением кристаллической решетки в процессе имплантации. Следовательно, в случае ионноимплантированного фосфора добавочное сужение ширины запрещенной зоны вычисляется из уравнения (1. 26) n n где QP - доза имплантации фосфора.

n 0 0. 2 0. 4 Глубина, мкм Рис. 1. 6, б. Рассчитанные профили распределения фосфора для двух различных поверхностных концентраций. (1) – высокий уровень концентрации; (2) – низкий уровень концентрации. Более медленная диффузия фосфора с высоким уровнем поверхностной концентрации обусловлена напряжением кристаллической решетки кремния из-за высокой концентрации фосфора

. Диффузия при неравновесных условиях, усиленная окислением n Экспериментально было показано, что коэффициенты диффузии В и Р усиливаются при окислении поверхности Si. Это явление повышения коэффициента диффузии при окислении ( OED) объясняется увеличением количества точечных дефектов в Si вследствие окисления. Эта модель связывает OED с ростом дефектов упаковки при окислении ( OSF) путем введения второго механизма диффузии примеси в Si , как посредством вакансий, так и посредством межузлий, а так же учитывает увеличение собственных и междоузельных атомов Si при окислении. Таким образом, согласно этой модели при окислении усиливается компонент межузельной диффузии в Si , что приводит к OED, тогда как увеличение межузельных преципитатов приводит к OSF. В настоящее время соотношение между скоростью окисления и OED известно достаточно хорошо. Для В в программе SUPREM II предполагается температурно-зависимая, но не зависящая от времени модель OED для среды, в которой происходит окисление Si. Для Р коэффициент усиления OED принимается равным 1. 8 в сухом кислороде и 3. 3 во влажном кислороде

Потоки на поверхности раздела n Поверхность раздела - это поверхность, которая разделяет две различные гомогенные области, такие, как кремниевая подложка и оксид кремния или газовая среда. При термообработке существует по крайней мере одна поверхность раздела, которая играет важную роль в перераспределении примесей. Это может быть чистая поверхность кремния в инертной среде, где происходит испарение примесей, или та же поверхность в среде, обогащенной легирующими атомами, когда происходит внедрение примеси, или же поверхность раздела Si-Si. O 2, где происходит обмен атомами примеси между обоими материалами.

n n n Хотя химические процессы, происходящие на границах раздела, могут быть неизвестны, в общем случае поток атомов примеси через границу раздела может быть феноменологически описан посредством кинетической модели первого порядка (1. 27) где FS - поток примеси - положительный по направлению из области 1 в область 2, C 1 - концентрация примеси на поверхности раздела в области 1, а C 2 - в области 2. На рис. 1. 7 показан вариант с поверхностью раздела Si. O 2/ Si. Здесь meq, 1 -2 - коэффициент равновесной сегрегации для определенных типов примеси в областях 1 -2: n n (1. 28) Коэффициент h, имеющий размерность скорости, представляет собой коэффициент массопереноса через поверхность раздела двух фаз.

Испарение n Коэффициент массопереноса представляет собой коэффициент испарения примеси, который является функцией температуры. Одинаковый коэффициент испарения используется как для Si. O 2, так и для кремния. Кроме того, С 1 принимает значение, равное 0, а meq= 1.

Химическое осаждение n Химическое осаждение моделируется исходя из предположения, что h (в программе SUPREM II величина h принимается равной 1 мкм/сек), meq= 1, а С 1 равно или твердотельной растворимости примеси, или другой, указанной пользователем, концентрации. Таким образом, поверхностная концентрация примеси в кремнии становится очень быстро равной С 1.

Поток через поверхность раздела Si. O 2 -Si n При отсутствии окисления поверхность раздела Si. O 2 - Si удовлетворяет условиям стационарности, поэтому для моделирования потока примесей через обе поверхности можно использовать уравнение (1. 27).

n К сожалению, на момент создания программы SUPREM II практически отсутствовали экспериментальные данные для легирования в такой системе, за исключением системы Si. O 2 - Si с одновременным легированием фосфором. Такая ситуация исследована в работе. В этом случае h полагается величиной, зависящей от температуры, тогда как meq равно бесконечности. Фактически, истинное значение meq не должно слишком сильно отличаться от результатов эксперимента ( meq >50).

Рис. 1. 7. Поток через поверхность раздела Fs в системе Si-Si. O 2. Показан также поток, индуцированный движением границы раздела при окислении кремния

n n n В случае движущейся границы раздела (например, при окислении кремния) существует также поток, наведенный движением границы раздела как результат различных концентраций примеси поперек границы раздела. Этот поток, обозначаемый через Fb, описывается выражением (1. 29) где Vox = d. Zox / dt - скорость роста оксида, а отношение толщины окисленного кремния к результирующей толщине оксида (равное 0, 44). Поток Fb также изображен на рис. 1. 7. Вообще говоря, этот поток конкурирует с потоком Fs. Если h >> Vox, то C 2 meq С 1, а если h << Vox, то С 1 C 2. Для всех характеристик движущейся границы раздела используется по умолчанию первое условие, т. е. превалирует условие равновесной сегрегации. Таким образом, в программе SUPREM II величина h принимается равной 0. 1 мкм/мин и удовлетворяет условию h >> Vox.

Механизмы генерации и потерь n n n Большая часть примеси существовует в кремнии в более чем одном состоянии, особенно при высоких уровнях концентрации. Одним из типичных состояний является состояние замещения с большой подвижностью, в то время как другие состояния, если они имеются, могут образовывать прецепитат или кластер, которые менее подвижны. Обмен между этими двумя состояниями описывается членами генерации и потерь в уравнения непрерывности (1. 8) для подвижных примесей. В SUPREM II включена модель, описывающая кластеризацию мышьяка. Из-за отсутствия необходимых моделей влиянием кластеризации и преципитации на диффузию других примесей можно пренебречь. Химическая реакция для мышьяка имеет вид. (1. 30) где m - число атомов в кластере, а kc и kd - коэффициенты кластеризации и декластеризации

n n Концентрация атомов в кластерах Cc определяется следующим образом (1. 31) n где CT - полная концентрация, а С - концентрация мышьяка в состоянии замещения. Уравнение сохранения для CC может быть записано в следующем виде n (1. 32) где l и g относятся к членам, описывающим генерацию и потери в уравнении (1. 8). Таким образом, определяя равновесный коэффициент кластеризации ke как n n (1. 33) можно переписать уравнение (1. 32) в следующей форме (1. 34)

n n n Уравнение (1. 34) вместе с уравнением (1. 8) используются для описания термической миграции атомов мышьяка в кремнии. Размер кластера m, который лучше всего удовлетворяет экспериментальным данным, равен 4. Однако кластеры могут существовать и в более крупных размерах. Скорость декластеризации kd рассмотрена в работе. В равновесном состоянии (при d. CC/dt = 0) уравнение (1. 34) имеет вид. . (1. 35) Это условие иллюстрируется рис. 1. 8. Видно, что кластеризация налагает ограничение на максимум концентрации атомов замещения и, следовательно, на количество электрически активных атомов мышьяка.

n Хотя модель кластеризации предсказывает формирование и растворение кластеров в процессе загонки и последующей разгонки мышьяка, следует учесть и концентрацию кластеров после имплантации мышьяка. В этом случае произвольно полагается, что начальный профиль атомов мышьяка в кластерах представляет собой просто профиль, определяемый термическим равновесием при температуре отжига и задаваемым имплантационным профилем.