Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Шевелёв Александр

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Шевелёв Александр Юрьевич

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Тема № 1. Понятие множества

Множеством можно назвать совокупность объектов, связанных между собой общими признаками. Обозначаются множества большими латинскими буквами: А, В, С и т. д.

Элементы множества Объекты, входящие в это множество называются элементами данного множества. Обозначаются элементы маленькими латинскими буквами. - элемент из множества

Подмножество Часть элементов некоторого множества называется его подмножеством. Обозначается так же, как и множество. - множество является подмножеством множества.

Пример Множество натуральных чисел Множество целых чисел Множество рациональных чисел Множество действительных чисел

Множества Объединением двух множеств называется такое множество, которое состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из исходных множеств.

Множества Пересечением двух множеств называется такое множество, которое состоит из элементов, одновременно принадлежащих каждому из исходных множеств.

Множества Примеры (диаграммы Эйлера-Венна):

Множества Разностью двух множеств называется такое множество, которое состоит из элементов уменьшаемого множества, которые не принадлежат вычитаемому множеству. (В свою очередь, эта разность является дополнением множества В до множества А).

Пример A={0; 2; 3; 6; 8; 12} ; B={0; 3; 4; 8; 9} = {0; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12} = {0; 3; 8} = {2; 6; 12} = {4; 9}

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Геометрически множество действительных чисел изображается точками на числовой прямой (оси абсцисс). Причём между этим множеством и прямой установлено взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует одна единственная точка на числовой прямой, и наоборот, любой точке числовой прямой соответствует одно единственное действительное число.

Поэтому, в нашем случае понятия «число» и «точка» являются эквивалентными.

Множества Множество, содержащее все числа от a до b включительно, называют отрезком (или сегментом), [a; b]. Множество, содержащее все числа между a и b, называют интервалом, (a; b). (a; b], [a; b) – полуинтервалы.

Множества Окрестностью точки множества А называется такое подмножество множества А, которое содержит данную точку.

Множества Если из этого подмножества исключить саму точку , то полученное подмножество будет называться проколотой окрестностью точки.

Множества Точка, входящая в данное множество вместе с некоторой своей окрестностью называется внутренней точкой множества. Если у точки множества имеется окрестность, не пересекающаяся с данным множеством, то такая точка называется изолированной точкой множества. Точка, в любой окрестности которой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от неё самой, называется предельной точкой множества.

Множества Множество, каждая точка которого входит в него вместе с некоторой окрестностью, называется открытым. Множество, содержащее все свои предельные точки называется замкнутым.

Множества Пусть есть некоторое множество точек на прямой. Если на прямой существует такая точка А, что любая точка из упомянутого множества расположена левее точки А, то говорят, что множество ограничено сверху, а если любая точка расположена правее точки А, то множество ограничено снизу.

Множества Пусть множество ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки, правее которых нет ни одной точки упомянутого множества. Среди всех таких точек самая левая из них называется верхней гранью множества. Аналогично определяется нижняя грань множества.

Множества Наименьшая из всех верхних граней называется супремумом (sup X). Наибольшая из всех нижних граней называется инфимумом (inf X). Непустое множество, ограниченное сверху имеет верхнюю грань; ограниченное снизу имеет нижнюю грань.

Модуль Абсолютной величиной (или модулем) числа х называют само число х, если оно неотрицательно, и противоположное ему по знаку число –х, если оно отрицательно.

Множества Символика:

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Тема № 2. Понятие функции. Основные свойства функций.

Функции Если каждому элементу х из множества Х по какому-нибудь правилу поставить в соответствие элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция. При этом х называется аргументом (независимой переменной), у – зависимая переменная, - обозначает закон соответствия между переменными.

Множество Х называется областью определения функции (в дальнейшем ООФ), а множество Y называется областью значений функции. Если ООФ заранее не оговорена, то под ней понимается множество значений аргумента, при котором функция имеет смысл. Будем рассматривать только те функции, у которых одному значению аргумента соответствует одно единственное значение функции.

Задача Пример№ 1. Найти ООФ

Задача Решение: Вспомним ограничения, накладываемые на некоторые выражения: 1. Знаменатель дроби отличен от нуля; 2. Выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным (больше или равно нуля); 3. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным (строго больше нуля). 4. Для функций

Задача Таким образом имеем следующую систему неравенств: Данное множество является ответом нашей задачи.

Задать функцию означает задать её ООФ и правило, при помощи которого по данному значению аргумента будет находиться соответствующее ему значение функции.

Основными способами задания функции являются: 1. Аналитический (формулой) 2. Табличный (таблицей соответствия между переменными) 3. Графический (графиком в некоторой системе координат) 4. Словесный (применяется редко для некоторых специальных функций)

Функция называется чётной, если для любых значений х из ООФ справедливо равенство Функция называется нечётной, если для любых значений х из ООФ справедливо равенство Если ни одно из двух равенств не выполнено, то функция является функцией общего вида.

Задача Например, функция чётной, т. к. Функция общего вида, т. к. является нечётной, т. к. является функцией

График чётной функции симметричен относительно оси ординат. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. На графике функции общего вида отсутствуют указанные выше два вида симметрий.

Функция называется возрастающей на множестве, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей на множестве, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции. Возрастающие и убывающие функции являются монотонными. (К монотонным относятся также невозрастающие и неубывающие функции).

Функции Если для любого х из ООФ справедливо неравенство , где М – некоторое постоянное число, то функция является ограниченной сверху на множестве. Если для любого х из ООФ справедливо неравенство , где m – некоторое постоянное число, то функция является ограниченной снизу на множестве. Если функция на некотором множестве ограничена сверху и снизу, то она на этом множестве является ограниченной.

Пример Функция сверху. Функция снизу. Функции ограниченными. является ограниченной являются

Функции Функция называется периодической с периодом Т отличным от нуля, если для всех х из ООФ справедливо равенство причём в качестве периода принимается наименьшее среди таких значений Т.

Пример Функции имеют период

Основные элементарные функции Основными элементарными функциями являются следующие функции: 1. Постоянная , где С – постоянное число.

Основные элементарные функции 2. Линейная функция. (Рассмотрена ранее). 3. Степенная функция

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции 4. Показательная функция

Основные элементарные функции 5. Логарифмическая функция:

Задача

Основные элементарные функции 6. Тригонометрические функции:

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции 7. Обратные тригонометрические функции:

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Функции, составленные (построенные) из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций взятия функции от функции являются элементарными и называются в свою очередь сложными.

Функции Функция y, значения которой находятся из уравнения, разрешённого относительно y, называется явной Функция y, значения которой находятся из уравнения, не разрешённого относительно y, называется неявной

Функции Пусть задана функция определённая на множестве X, с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y из Y единственное значение x из X, при котором Тогда полученная функция определённая на множестве Y, с областью значений X, называется обратной. Обозначают:

Задача Например, обратной к показательной функции является логарифмическая функция Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 -го и 3 -го координатных углов.

Преобразования графиков: 1. График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси x (влево, если a > 0, вправо, если a < 0). 2. График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси y (вверх, если a > 0, вниз, если a<0).

Преобразования графиков: 3. График функции получается из графика функции растяжением (при m > 1) или сжатием (при 0 < m <1) вдоль оси y. 4. График функции получается из графика функции растяжением (при 0 < k < 1) или сжатием (при k > 1) вдоль оси x.

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Тема № 3. Пределы и непрерывность

Последовательность Если в имеющейся функциональной зависимости независимая переменная принимает только натуральные значения, то такая функция называется числовой последовательностью.

Последовательность Примерами числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Последовательность Основными способами задания числовых последовательностей являются рекуррентный (формула n-го члена) и задание её нескольких последовательных членов.

Число A называется пределом числовой последовательности тогда и только тогда, когда для любой сколь угодно малой окрестности числа А найдётся такой зависящий от неё номер члена последовательности N, что все члены последовательности с последующими номерами будут содержаться в упомянутой окрестности числа А.

Последовательности

Задача Проиллюстрируем, что

Задача

Признаки существования предела Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся (к этому пределу). ТЕОРЕМА 1. Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный).

Признаки существования предела ТЕОРЕМА 2. Если последовательность имеет конечный предел (сходящаяся), то она ограничена. ТЕОРЕМА 3. Если и , то , а , . ТЕОРЕМА 4. Если последовательности стремятся к одному и тому же пределу, равному a, и , то последовательность тоже стремится к числу a.

Признаки существования предела Эти четыре теоремы справедливы и для функций.

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю; бесконечно большой, если её предел бесконечен. Взаимосвязь между ними и свойства аналогичны бесконечно малым и бесконечно большим функциям (будут рассмотрены позже).

Последовательность Одним из критериев существования предела является следующая Теорема: всякая монотонная и ограниченная последовательность является сходящейся. Теорема Кантора (лемма о вложенных отрезках): Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна точка, которая принадлежит всем отрезкам данной системы одновременно. Причём, если длина отрезков стремится к нулю, то упомянутая точка будет единственной.

Число А называется пределом функции при х стремящемся к бесконечности, если в области значений этой функции можно выделить такую последовательность, предел которой равен А. (Определение предела по Гейне).

Определение предела функции в точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки за исключением, может, самой точки. Число А называется пределом функции в точке тогда и только тогда, когда для любой сколь угодно малой окрестности точки А найдётся зависящая от неё окрестность точки такая, что все точки из ООФ, лежащие внутри этой окрестности отобразятся в упомянутую окрестность точки А при помощи (Определение предела по Коши).

Пределы

Основные теоремы о пределах 1. Функция не может иметь более одного предела (при одном стремлении независимой переменной); 2. Предел алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме пределов этих слагаемых; 3. Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей;

Основные теоремы о пределах 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя отличен от нуля; 5. Предел постоянной величины равен этой постоянной; 6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Основные теоремы о пределах 7. Теорема о пределе сложной функции: Пусть таковы, что существует сложная функция и то существует

Пределы Если то называется бесконечно малой величиной при соответствующем стремлении х; Если то называется бесконечно большой величиной при соответствующем стремлении х;

Задача Например, функция является бесконечно малой при х стремящемся к бесконечности; является бесконечно большой при х стремящемся к нулю; не является ни бесконечно большой, ни бесконечно малой, если х стремится к постоянному числу, отличному от нуля.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин: 1. Если бесконечно малая, то бесконечно большая при том же стремлении х (верно и обратное); 2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых являются бесконечно малыми;

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин: 3. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию является бесконечно малой; 4. Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля является бесконечно малой; 5. Если функцию можно представить в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой, то эта постоянная является пределом функции;

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин: 6. Произведение бесконечно большой на функцию, предел которой отличен от нуля является бесконечно большой; 7. Сумма бесконечно большой и ограниченной является бесконечно большой; 8. Частное от деления бесконечно большой на функцию, имеющую конечный предел является бесконечно большой.

Замечательные пределы 1. 2.

Сравнение бесконечно малых : Пусть , тогда: - бесконечно малые при 1. Если , то больший порядок малости; имеет 2. Если , то больший порядок малости; имеет 3. Если , то имеют один и тот же порядок малости.

Сравнение бесконечно малых : При этом, если С=1, то бесконечно малые являются эквивалентными Примеры эквивалентных бесконечно малых величин при Можно пользоваться при вычислении пределов функций.

Число e – число Эйлера или число Непера. Является трансцендентным числом. В экономике означает максимально возможную (например) годовую прибыль при 100% годовых и максимально частом увеличении процентов.

В условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления, номинальная ставка j – это годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз за год. Таким образом формула примет вид:

S – наращенная сумма, m – количество начислений процентов за год, n – количество лет, m стремится к бесконечности, т. к. проценты начисляются непрерывно.

Чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему ООФ, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Пределы Некоторые виды неопределённостей:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Пределы 1 -й тип: Пределы вида Следует и в числителе, и в знаменателе дроби вынести за скобки переменную величину в наибольшей степени среди всех слагаемых дроби. Неопределённость устранится после сокращения дроби.

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение: a) b)

Пределы 2 -й тип: Пределы вида Следует разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби или домножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращённого умножения. Неопределённость устранится после сокращения дроби.

Задача Пример. Найти:

Задача

Задача Решение:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Пределы 3 -й тип: Неопределённость устраняется или приводится к предыдущим двум типам приведением к общему знаменателю или умножением и одновременно делением функции под знаком предела на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращённого умножения.

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача

Пределы 4 -й тип. Решается при помощи выделения «второго замечательного предела» .

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Пределы 5 -й тип. Выделение «первого замечательного предела» .

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача Пример. Найти:

Задача Решение:

Задача Или:

Функция называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и в некоторой её окрестности и имеет конечный предел, равный значению функции в этой точке. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Свойства функций, непрерывных в точке: 1. Сумма и произведение непрерывных функций являются непрерывной функцией; 2. Частное двух функций является непрерывной функцией при условии, что делитель отличен от нуля;

Свойства функций, непрерывных в точке: 3. Если функция непрерывна и положительна в некоторой точке, то найдётся такая окрестность этой точки, во всех точках которой функция положительна; 4. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём то сложная функция непрерывна в точке

Свойства функций, непрерывных в точке: Этим 4 -м свойством пользуются при вычислении пределов, когда необходима замена переменной. 5. Если функция непрерывна в некоторой точке, то найдётся такая её окрестность, в которой эта функция ограничена. 6. Если функция в некоторой точке определена и имеет конечный предел, отличный от нуля, то найдётся такая проколотая окрестность упомянутой точки, в которой функция имеет тот же знак, что и предел.

Свойства функций, непрерывных на отрезке: 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке ограничена (1 -я теорема Вейерштрасса) 2. Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений (2 -я теорема Вейерштрасса) 3. Функция обратная к непрерывной и монотонной является непрерывной

Свойства функций, непрерывных на отрезке: 4. Если функция непрерывна на отрезке и значения функции на её концах имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся такая точка, значение функции в которой равно нулю (теорема Больцано - Коши) 5. Функция, непрерывная на отрезке, внутри него хотя бы один раз принимает значение, заключённое между значениями функции на концах отрезка

Классификация точек разрыва функции: 1. Разрыв 2 -го рода (неустранимый): хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Классификация точек разрыва функции: 2. Разрыв 1 -го рода неустранимый: оба односторонних предела конечны, но не равны между собой.

Классификация точек разрыва функции: 3. Устранимый разрыв (1 -го рода): односторонние пределы конечны, равны между собой, но не равны значению функции (в указанной точке).

Асимптотой графика функции называется прямая линия, расстояние от которой до графика функции стремится к нулю.

Вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва второго рода или «по краю» ООФ. Необходимо рассмотреть все возможные односторонние пределы около этих точек. И если хотя бы один односторонний предел около точки бесконечен, то уравнение вертикальной асимптоты. (Вертикальную асимптоту график не пересекает).

Наклонные асимптоты ищутся в виде: При k = 0 имеем горизонтальную асимптоту (если b – конечное число).

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Конец презентации