Финансовая академия при Правительстве РФ Кафедра математики и

Финансовая академия при Правительстве РФ Кафедра математики и финансовых приложений. Попов Виктор Юрьевич Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Линейное программирование. Москва - 2003 г

Лекция 1. Алгебра матриц. Определение 1. Матрицей размерности m x n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n называется ее порядком. Для обозначения матриц приняты прописные латинские буквы, а для обозначения элементов матриц - строчные:

элемент матрицы с номером стоящий в строке и в столбце с номером Определение 2. Две матрицы А и В одинаковой размерности m x n называются равными, если при всех

образуют Элементы главную диагональ квадратной матрицы порядка n, а элементы побочную диагональ.

Матрицы специального вида. 1) Матрица называется положительной (неотрицательной), если все ее элементы положительны (неотрицательны). 2) Матрицу, состоящую из одного столбца, будем называть вектор-столбцом высоты m и обозначать

3) Матрицу, состоящую из одной строки, будем называть вектор-строкой длины n и обозначать 4) Квадратная матрица называется верхней треугольной матрицей, если

5) Квадратная матрица называется нижней треугольной матрицей, если 6) Квадратная матрица называется симметричной матрицей, если

7) Квадратная матрица называется антисимметричной матрицей, если Замечание: 8) Квадратная матрица называется диагональной матрицей, если

9) Диагональная матрица называется скалярной матрицей, если 10) Скалярная матрица называется единичной матрицей, если

11) Матрица называется нулевой, если 12) Матрица называется верхней трапецевидной матрицей, если 13) Матрица называется нижней трапецевидной матрицей, если

Матрицу можно разбить системой вертикальных и горизонтальных прямых на части, которые при этом рассматриваются как матрицы низших порядков и называются блоками или клетками. Сама матрица, элементами которой служат блоки, называется блочной или клеточной матрицей. Общая запись блочной матрицы имеет вид клетка, , где расположенная в i-ой клеточной строке и j-ом клеточном столбце.

Операции над матрицами Определение 3. Суммой матриц и одной и той же размерности m x n называется матрица той же размерности m x n, элементы которой равны Обозначение:

Определение 4. Произведением матрицы А на число k называется матрица D той же размерности , элементы которой равны Обозначение: Определение 5. Произведением m x p на матрицу называется такая матрица матрицы pxn m x n :

Число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй! Правило "строка на столбец".

Строка Х Матрицу = Строка Х Столбец = Число Матрица Х Столбец = Столбец Х Строку = Матрица Вообще говоря, Определение 6. Коммутатором квадратных матриц и двух n x n называется квадратная матрица n x n, равная

Определение 7. Две квадратные матрицы и n x n называются коммутирующими, если Определение 8. Две квадратные матрицы и n x n называются антикоммутирующими, если Определение 9. Матрица n x m называется транспонированной по отношению к матрице m x n, если При транспонировании строки <=> столбцы.

Квадратная матрица будет симметричной матрицей, если Квадратная матрица будет антисимметричной матрицей, если Примеры

, .

матрицы не коммутируют. матрицы коммутируют.

6) Имеется 2 потребителя, 3 производителя, 2 доля продукции, вида продукции. Пусть которую j-ый производитель отправляет i-ому потребителю, объем к-ого товара, производимого j-ым производителем: Найти матрицу С, для которой объем к-ого продукта, который получит i-ый потребитель.

7) m изделий из n видов сырья. A(mxn)–матрица норм расхода сырья: объем j-го сырья, для производства единицы i-ой продукции. Строка C(1 xm)- план выпуска продукции, Столбец B(nx 1)- стоимость единицы сырья. Тогда S(1 xn)=CA- строка затрат сырья. Столбец R(mxn)=AB- стоимость сырья на единицу продукции. Q=SB=(CA)B=CR=C(AB) (CA)B=C(AB). полная стоимость сырья.

Теорема. Любую квадратную матрицу B можно Теорема. единственным образом представить в виде B=S+A, где S- симметричная, A- антисимметричная матрицы. Доказательство. Поскольку Пример

Свойства операций над матрицами Для матриц A, B, C одинаковых размеров: 1) A+B=B+A (коммутативность), 2) (A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативность). Для матриц A, B одинаковых размеров и чисел s, t: 1) (s t) A= s ( t A ); 2) s ( A+B )= s A+ s B; 3) (s +t) A= s A+ t A. Свойства операции умножения матриц: 1) (A B) C= A ( B C ) (ассоциативность), 2) A ( B+C )=A B+ A C, (A+B) C= A C+ B C (дистрибутивность), 3) t(A B)= (t A) B=A (t B).

Докажем ассоциативность умножения 1). Пусть A(mxn), B(nxp), C(pxq).

Свойства операции транспонирования Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). m уравнений, n неизвестных.

матрица системы. столбец правых частей столбец неизвестных

Обратная матрица Определение Квадратная матрица B называется обратной по отношению к квадратной матрице A того же порядка, если AB=BA=I. Обозначение: Пример:

Решение матричных уравнений. 1) A(nxn), B(nxm), X(nxm): AX=B. Если 2) A(nxn), B(mxn), X(mxn): XA=B. Если Пример

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 1 2 конечное потребление 3 i n

Соотношения баланса Линейная модель межотраслевого баланса. Уравнения Леонтьева. Гипотеза линейности: коэффициенты прямых затрат.

матрица прямых затрат. вектор валового выпуска вектор конечного потребления

Уравнения Леонтьева Задача прогнозирования Задача планирования

Модель равновес Заметим, ных цен. Двойственная к модели Леонтьева. Известна матрица прямых затрат A, вектор валового выпуска X. Введем P – вектор цена единицы продукции i-той отрасли. Доход i-той отрасли Затраты на выпуск единицы продукции:

Затраты на выпуск единиц продукции: Доход-Затраты— добавленная стоимость. Баланс: норма добавленной стоимости.

вектор норм добавленной стоимости: модель равновесных цен. прогнозирование планирование

Пример

Продуктивные модели Леонтьева. Продуктивные матрицы. Определение. Квадратная матрица А 0 называется продуктивной, если для Y 0 X 0 – решение уравнения или Модель Леонтьева с продуктивной матрицей А также называется продуктивной. Модель Леонтьева продуктивна, если вектор конечного потребления Y 0 можно получить при подходящем валовом выпуске X 0.

Критерии продуктивности. Теорема 1. Если А 0 и Y*>0: X=AX+Y* имеет 1. решение X* 0, то А продуктивна. Заметим, что на самом деле X*>0, что следует из X* = AX*+Y* и А 0, X* 0, Y*>0. Достаточно, чтобы решение X* 0 хотя бы для одного вектора Y* >0. Теорема 2. (первый критерий продуктивности). 2. Матрица А 0 продуктивна тогда и только тогда, когда (Е-А)-1 0.

Лемма. Если бесконечный ряд (из матриц) . Е+А+А 2 +. . сходится, то его сумма есть матрица (Е-А)-1. Теорема 3. (второй критерий продуктивности). . Матрица А 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд Е+А+А 2 +. . . Теорема 4. Если сумма элементов столбца . (строки) матрицы А 0 меньше 1, то матрица А продуктивна.

Теорема 5. Если сумма элементов столбца . (строки) матрицы А >0 меньше или равна 1, причем хотя бы для одного столбца эта сумма <1, то матрица А продуктивна. Если продуктивна А, то продуктивна и АT. Определение. Число a>0 называется запасом продуктивности матрицы A, если продуктивны матрицы k. A для 1 k<(1+a), а матрица (1+a)A не продуктивна.

Линейная модель обмена. Модель международной торговли. 1 2 n 3 i

национальный доход i-той страны, доля национального дохода, которую j- страна тратит на покупку у i-той страны. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т. е

структурная матрица торговли. Сумма элементов столбца матрицы А равна 1. Для i-той страны выручка от внутренней и внешней торговли равна

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны, т. е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода: Если считать, что pi > хi

Сложим все неравенства системы Выражения в скобках равны единице. => pi > хi невозможно, и условие pi хi принимает вид pi = хi, . С экономической точки зрения это означает, что все страны не могут одновременно получать прибыль.

вектор национальных доходов