FINANSIJSKA MATEMATIKA Prof dr Jelena Kočović Ekonomski fakultet

FINANSIJSKA MATEMATIKA Prof. dr Jelena Kočović Ekonomski fakultet Beograd

• • • U uslovima ograničenih finansijskih sredstava postavlja se pitanje: Da li kupiti ovo ili ono dobro, danas ili sutra; Da li uložiti novac u banku ili ga čuvati kući; Da li zaradu u dinarima promeniti u evre; Da li kupiti kola za gotovinu, kredit ili ih uzeti na lizing; Da li ulagati novac u kratkoročne hartije od vrednosti ili u dugoročne; Kod koje banke uzeti kredit.

ZNAČAJ FINANSIJSKO MATEMATIČKIH OBRAČUNA 1. Za privredne subjekte i građane - Banke 2. Zakonska regulativa 3. Sudski sporovi 4. Edukacija kadrova i građana

• Da bi se razumele bankarske procedure neophodna su znanja iz finansijske matem. • Osnovne funkcije banke: • -prikupljanje depozita • -vodjenje računa • -odobravanje kredita • Sve to podrazumeva obračun kamate na kapital

• Većina obračuna pomoću računara • Tačnost rezultata zavisi od ispravnosti unetih vrednosti • Razviti osećaj za procenu tačnosti dobijenih rezultata

Zašto efektivna kamatna stopa? • Realna- stvarna kamatna stopa koju plaća zajmoprimac • Realno izražava ukupnu cenu kredita (sve troškove u vezi kredita) Od ključnog značaja za poredjenje bankarskih proizvoda • Isključuje obmanu klijenata • Uređenje tržišta bankarskih usluga • Sprečavanje nelojalne konkurencije

PRIMENE PROCENTNOG RAČUNA

PROCENTNI RAČUN G : P = 100 : p gde je: G - osnovna veličina ili glavnica P - prihod ili prinos koji se ostvaruje p – procenat (G+P): (100+p)=G: 100 (G-P): (100 -p)=G: 100

1 procent nekog broja=stoti deo tog broja Primer: 15% od 150= 150 · 0, 15 =22, 5 Primer: Broj 15 izraziti kao procenat broja 40 15/40= 0, 375 =37, 5%

Primer: Broj 110 je za 10% veći od broja 100 Uopšteno: Broj koji je za p procenata veći od broja S jednak je: S+i. S=(1+i)S Gde je

Broj za q procenata manji od broja S: (1 -d) S Gde je: Primer: Broj za 10% manji od 110.

Primer: Broj 100 je uvećan za 10%. Za koliko procenata treba smanjiti tako uvećani broj da bi dobili prvobitni broj 100.

Primer: U Srbiji za većinu roba PDV iznosi 18%. PDV ulazi u prodajnu cenu robe. Koliko je procentualno učešće PDV u prodajnoj ceni robe. Rešenje: Cena robe bez PDV neka je 100 din. Prodajna cena iznosi 100+18= 118 din 118. . . . 100% 18. . X 118: 100=18: x

Primer: Neki proizvod je poskupeo u januaru 10%, a u februaru još 10% za koliko je procenata poskupeo proizvod za 2 meseca. Prvobitna cena =100 Cena robe je uvećana za 21% u odnosu na prvobitnu.

Primer: Cena robe u iznosu od 800 din je smanjena, kao rezultat dva sniženja za istu procentnu stopu. Sada iznosi 512 dinara. Za koliko se procenata snižavala cena svaki put.

Primer: Plata radnika za godinu dana porasla je 1, 5 put. Za koliko procenata se uvećala njegova plata u tom periodu.

Primer: U jednoj godini inflacija je iznosila 150%. Izračunati koliko puta su porasle cene.

Primer: Cena robe povećana je 2, 5 puta. Za koliko je % uvećana cena te robe.

Rast za p% rast puta smanjenje za p% smanjenje puta Primer: Cena akcija se smanjila za godinu dana 20%. Čemu je jedak koeficijent promene cena. X-0, 2 X=(-0, 2+1)X=0, 8 X

Rast k puta rast (k-1)· 100% smanjenje k puta smanjenje za puta Primer: Cena knjige povećana je 2, 5 puta. Za koliko je % povećana cena knjige. X· 2, 5 (2, 5 -1) · 100 =150 % Primer: Cena knjige smanjena je 2, 5 puta. Za koliko je % smanjena cena knjige. 2, 5 ·X =60 %

Procentni poeni • Ako je kamatna stopa uvećana za p procentnih poena, novi iznos kamatne stope je (i+p)%. • Ako je i=3% i uveća se za 0, 5 procentnih poena Novi iznos kamatne stope je 3, 5%. • Ako je i=10%, a procentna stopa se smanji za 6 procentnih poena. Novi iznos kamatne stope je 4%. Ako bi stopa bila smanjenja za 6%, novi iznos kamatne stope bi bio 0, 1 -0, 1∙ 0, 06=0, 094=9, 4%

Uticaj inflacije na kamatnu stopu Fišerova formula p=(1+p 1)(1+i)-1 p- nominalna godišnja kamatna stopa p 1 -realna godišnja stopa i- stopa inflacije Primer: Očekuje se da će u tekućoj godini očekivana stopa inflacije iznositi 10%. Odrediti nominalnu godišnju kamatnu stopu na uloge u banci da bi realna godišnja stopa bila 5%. p=(1+p 1)(1+i)-1=(1+0, 05)(1+0, 1)-1=15, 5%

Ako se glavnica G 0 poveća ili smanji za iznos p%, onda je njen novi iznos: G = G 0 (1 ± p) Primer 1. Kolika je cena nekog proizvoda od 100 dinara ako se ona: a)poveća za 18%, b) smanji za 18% ? G = G 0 (1 + p) = 100 (1 + 0, 18) = 100∙ 1, 18 = 118 G = G 0 (1 - p) = 100 (1 - 0, 18) = 100∙ 0, 82 = 82

Ako je glavnica G u toku nekog perioda n više puta povećana (smanjena), redom za stope p 1, p 2 , . . . , pn, onda će iznos te glavnice na kraju perioda n porasti na: Gn = G (1 + p 1) (1 + p 2). . . (1 + pn), odnosno, opasti na: Gn = G (1 - p 1) (1 - p 2). . . (1 - pn). Kada je p 1 = p 2 =. . . = pn, krajnja vrednost glavnice je: Gn = G (1 + p 1)n, odnosno Gn = G (1 - p 1)n. Primer 2. Ako je u toku jednog perioda cena nekog proizvoda od 65 dinara povećana zaredom četiri puta, uz stope 10%, 20%, 40% i 50%, kolika će biti krajnja cena tog proizvoda posle svih povećanja? Gn = 65 (1 + 0, 1) (1 + 0, 2) (1 + 0, 4) (1 + 0, 5) = 180, 18

Ako je glavnica G više puta u toku jednog perioda povećana (smanjena) redom za procentne stope p 1, p 2 , . . . , pn, onda je stopa p njenog ukupnog rasta: p = ( 1 + p 1) (1 + p 2). . . (1 + pn) – 1, a stopa p njenog ukupnog pada: p = 1 - ( 1 - p 1) (1 - p 2). . . (1 - pn). Ako su stope jednake, odnosno, p 1 = p 2 =. . . = pn, stopa ukupnog rasta glavnice je: p = (1 + p 1)n – 1, odnosno, stopa ukupnog pada glavnice je: p = 1 - (1 - p 1)n

Primer 3. Ako je u nekom vremenskom periodu vrednost novčane jedinice imala redom tri devalvacije, za stope 12%, 15%, 13%, koliki je procenat ukupnog obezvređenja? p = 1 - ( 1 – 0, 12) (1 – 0, 15) (1 – 0, 13) = 0, 34924∙ 100 = 34, 924% Vrednost novčane jedinice posle devalvacije će biti: Gn = 1 (1 – 0, 12) (1 – 0, 15) (1 – 0, 13) = 0, 65076. Primer 4. Ako je u toku godine cena nekog proizvoda od 23 dinara četiri puta povećana za istu stopu od 20%, kolika će biti krajnja cena te usluge, a koliki je ukupni godišnji procenat povećanja te cene? Gn = 23 (1 + 0, 20)4 = 47, 6928 p = (1 + 0, 20)4 – 1 = 1, 0736∙ 100 = 107, 36%.

Primer 5. Kolika je stopa inflacije za jednu godinu, ako je mesečni rast cena u toj godini iznosio 7, 2%? p = (1 + p 1)n – 1 = (1 + 0, 072)12 – 1 = 1, 30323∙ 100 = 130, 323%.

Ako se glavnica poveća ili smanji za stope prinosa p 1, p 2 , . . . , pn, gde se svi prinosi izračunavaju na istu glavnicu G, krajnji iznos glavnice u slučaju povećanja iznosi: Gn = G [1 + (p 1 + p 2 +. . . + pn)], a za slučaj smanjenja: Gn = G [1 - (p 1 + p 2 +. . . + pn)], gde je za slučaj smanjenja p 1 + p 2 +. . . + pn < 1. Primer 7. Bruto zarada radnika iznosi 16540 dinara. Kolika će biti njegova neto zarada, ako je bruto zarada opterećena doprinosima čije su stope 16%, 3%, 2, 8% i 11, 5%? Gn = G [1 - (p 1 + p 2 +p 3 + p 4)] Gn = 16540 [1 - (0, 16 + 0, 03 + 0, 028 + 0, 115)] = 11032, 18.

PROST INTERESNI RAČUN

Interesni račun uključuje - vreme (t). K : I = 100 : pg gde je: K - kapital ili glavnica I - interes ili kamata p – kamatna stopa g - vreme dato u godinama

K : I = 100 : pg (1) = 1200 : pm (2) K : I = 36000 : pd (3) K : I Računanje broja dana

Primer: Uloženo je 100 € uz godišnju stopu 12% na devet meseci. Izračunati interes. I=K∙i∙t €

BUDUĆA VREDNOST (Kn) Kn=K+K∙i∙t= K(1+i∙t) Gde je: Kn- buduća vrednost, uvećana vrednost K- osnovna veličina, sadašnja vrednost (glavnica) i- godišnja kamatna stopa t- vreme u godinama Primer: Na koji iznos će se uvećati 800 € uz 9% prostog interesa za 4 meseca. Kt= K(1+i∙t)= €

K=1000 € i=0, 04 t=10 Kt= K(1+i∙t)=1000 (1+0, 04∙ 10)=1000 ∙ 1, 4=1400 €

4) Kt=5000 € i=0, 1 K=?

5) K=9893, 78 Kt=10000 t=180/360=0, 5 godina i=? Kt= K(1+i∙t) I=Kt-K=10000 -9893, 78=106, 22 I=K∙i∙t i=2, 147%

6) K=3500 € i=0, 10% t=270 d Kt=? Kt= K(1+i∙t)

7) Kt=2539, 62 € K=2443, 02 t=200/360=5/9 _________ i=? Kt= K(1+i∙t) i=0, 07117 i=7, 117%

Ukoliko je iznos od K novčanih jedinica uložen za vremenski period t uz prost interes po stopi prinosa i, njegova krajnja vrednost će iznositi: Kt = K (1 + i·t) Izraz 1 + i·t predstavlja faktor akumulacije ili faktor rasta kod prostog interesnog računa. Ako imamo Kt (uvećanu vrednost kapitala za prost interes), i data nam je diskontna stopa d, početnu vrednost kapitala utvrđujemo na sledeći način: K = Kt (1 – d·t) Izraz 1 – d·t predstavlja diskontni faktor kod prostog interesnog računa.

Primer: Banka daje kredit od 5000 € na 3 godine sa prostom diskontnom stopom 5% godišnje. Odrediti koji će iznos dobiti klijent u momentu dobijanja kredita. P=5000(1 -0, 05∙ 3)=5000 ∙ 0, 85=4250 €

Primer: Preduzeće uzima kredit od banke u iznosu od 10. 000 € na 3 mjeseca. Koliko treba da vrati za 3 meseca ako uzme kredit sa 8% diskonta. 10. 000=Kn(1 -0, 8∙ 0, 25) Kn= 10. 204, 08 €

Primer: Izračunajmo koliko treba da vrati firma banci iz prethodnog primera ako uzme kredit sa kamatnom stopom 8%. Kn=10. 000(1+0, 08∙ 0, 25)=10. 200 €

Primer: Firma treba da plati za mašinu 1. 000 € za 5 godina i još 500. 000 € za 10 godina od danas. Firma želi da brže reguliše obavezu, da uplati 600. 000 € za 3 godine, a ostatak duga da plati za 7 godina od danas. Koji iznos treba da bude plaćen za 7 godina, ako je kamatna stopa 8%.

STOPA PRINOSA I DISKONTNA STOPA Stopa prinosa it definiše se kao prirast kapitala kroz početnu vrednost kapitala: Diskontna stopa dt definiše se kao prirast kapitala kroz krajnju vrednost kapitala:

Stopa prinosa i diskontna stopa su medjusobno ekvivaletne ako primena obe stope daje istu sadašnju vrednost iznosa raspoloživog u budućnosti: IZRAŽAVANJE DISKONTNE STOPE IZRAŽAVANJE STOPE PRINOSA PREKO STOPE PRINOSA: PREKO DISKONTNE STOPE:

Efektivna kamatna stopa za prost interes ie Primer: Odrediti efektivnu stopu za 5% prostog interesa za 1, 2, 3 i 4 godine.

Efektivna diskontna stopa za prost interes ie • Koristeći formulu izračunati efektivnu diskontnu stopu za 6% godišnje za 1, 2 i 3 godine.

Primer 1. Na koji iznos će se uvećati kapital od 800 evra uz kamatnu stopu 9% za četiri meseca? Primer 2. Neki kapital je bio uložen 9 meseci, uz stopu prinosa 10% i narastao na iznos od 5000 evra. Odrediti taj kapital? Primer 3. Godišnja diskontna stopa je d = 5, 66%. Odrediti stopu prinosa?

TABLICE ZA STOPU PRINOSA I ZA DISKONTNU STOPA/RAČUNANJE direktno obrnuto akumulacija diskontovanje akumulacija diskontni faktor akumulacije Stopa prinosa i Diskontna stopa d STOPA/FAKTOR Stopa prinosa i Diskontna stopa d

Primer 4. Za stopu prinosa od 20% i diskontnu stopu od 20% odrediti diskontni faktor i faktor akumulacije za mesec, tromesečje, pola godine i godinu. stopa diskontni faktor i 0, 9836 0, 9524 0, 9091 0, 8333 d 0, 9833 0, 95 0, 9 0, 8 i 1, 0166 1, 05 1, 1 1, 2 d 1, 0169 1, 0526 1, 1111 1, 25 stopa faktor akumulacije

FINANSIJSKO-MATEMATIČKI OBRAČUNI NA TRŽIŠTU NOVCA

ODREĐIVANJE CENA I PRINOSA KRATKOROČNIH FINANSIJSKIH INSTRUMENATA

• U pogledu obima trgovine, tržišta novca predstavljaju najveći i najaktivniji segment razvijenih finansijskih tržišta. Instrumenti tržišta novca su dužničke hartije od vrednosti sa rokovima dospeća do jedne godine. • Putem tržišta novca, emitenti ovih hartija zadovoljavaju kratkoročne potrebe za finansijskim sredstvima. Istovremeno, investitori u ove hartije obezbeđuju upošljavanje trenutno raspoloživih sredstava.

• Funkcionisanje tržišta novca i osnovne karakteristike njegovih instrumenata svakako treba posmatrati u kontekstu tekovina i dostignuća razvijenih zemalja. • Sa druge strane, neophodno je da isti aspekti budu analizirani i u kontekstu domaće regulative i prakse poslovanja. Samo na taj način, iskustva razvijenih zemalja mogu biti adekvatno iskorišćena za unapređenje rešenja koja se primenjuju u našoj zemlji. • Značajnu potporu funkcionisanju domaćeg tržišta novca pruža višak likvidnosti bankarskog sektora. • Faktori koji opredeljuju kretanja na ovom tržištu su mere Narodne Banke Srbije i politika zaduživanja Ministarstva finansija Republike Srbije. Kao takvi, ovi faktori svakako zaslužuju odgovarajući prostor u razmatranju tretirane problematike.

TRŽIŠTE NOVCA I NJEGOVI INSTRUMENTI • Širi koncept definisanja tržišta novca (money market) obuhvata sve transakcije kreiranja i prometa finansijskih instrumenata sa rokom dospeća kraćim od jedne godine. • Uže posmatrano, tržište novca podrazumeva organizovano suočavanje ponude i tražnje kratkoročnih finansijskih instrumenata.

Glavni učesnici na tržištu novca • Kao glavni učesnici na tržištu novca javljaju se država (trezor ministarstva finansija i centralna banka), banke i druge finansijske institucije, preduzeća i individualni investitori. • Dominantnu ulogu na strani tražnje za kratkoročnim finansijskim instrumentima imaju institucionalni investitori. Ipak, u ekonomski razvijenim zemljama, obezbeđen je i pristup individualnih investitora ovom tržištu.

Kratkoročne hartije od vrednostipojam • Kratkoročne hartije od vrednosti su dugovni finansijski instrumenti čiji je rok dospeća do jedne godine. Zajednička karakteristika svih kratkoročnih instrumenata je visoka likvidnost i nizak rizik, usled čega se oni smatraju supstitutima novca. • Prinos u obliku kamate je, po pravilu, nizak, što emitentima ovih hartija pruža mogućnost jeftinog i brzog dolaska do potrebnih sredstava.

Klasifikacija instrumenata tržišta novca • Klasifikacija instrumenata tržišta novca se najčešće vrši prema tipu izdavaoca. • Finansijski instrumenti države i centralne banke obuhvataju kratkoročne državne obveznice, obveznice državnih agencija i mehanizam reotkupa kratkoročnih hartija od vrednosti. • Korporativni kratkoročni finansijski instrumenti su komercijalni zapisi. • Bankarski instrumenti su depozitni certifikati, blagajnički zapisi i bankarski akcepti. Konačno, u posebne oblike instrumenata svrstavaju se kratkoročne polise osiguravajućih organizacija i udeli investicionih fondova tržišta novca.

OSNOVE PRIMENE FINANSIJSKE MATEMATIKE NA TRŽIŠTU NOVCA • Polazište razmatranja primene finansijskomatematičkih metoda na tržištu novca predstavlja objašnjenje stope prinosa i diskontne stope, kao i njihovog međusobnog odnosa. • Stopa prinosa i diskontna stopa dovode u vezu dve iste veličine: početnu i krajnju vrednost kapitala. Razlika među njima ogleda se u bazi u odnosu na koju se konkretna stopa primenjuje.

Stopa prinosa • Stopa prinosa se definiše kao prirast kapitala, tj. interes, u odnosu na početnu vrednost kapitala. Ukoliko je iznos od K novčanih jedinica uložen za vremenski period t uz prost interes po interesnoj stopi i, njegova krajnja vrednost će iznositi: • iz čega proizilazi sledeći izraz za utvrđivanje stope prinosa

Diskontna stopa • Diskontna stopa se definiše kao prirast kapitala, tj. diskont, u odnosu na krajnju vrednost kapitala. Početna vrednost kapitala iz čega je diskontna stopa:

• Određivanjem početne vrednosti kapitala na osnovu jednakosti (1) i (2), dolazi se do izraza: odakle se sređivanjem dobija izraz za diskontnu stopu (d) i stopu prinosa (i):

IZRAČUNAVANJE CENA I PRINOSA KRATKOROČNIH HARTIJA OD VREDNOSTI • Cena koju je investitor spreman da plati za bilo koji finansijski instrument predstavlja sadašnju vrednost očekivanog budućeg neto novčanog toka po osnovu posedovanja datog instrumenta. • Vrednovanje finansijskih instrumenata tržišta novca se, s obzirom na njihovu kratkoročnu prirodu, najčešće vrši pomoću prostog interesnog računa.

Kratkoročne hartije od vrednosti su dugovni finansijski instrumenti koje svojim emitentima pružaju mogućnost brzog i jeftinog dolaska do potrebnih sredstava. Prema načinu formiranja cene i izračunavanja prinosa, kratkoročne hartije od vrednosti mogu biti: – Diskontne • Kratkoročne državne obveznice • Komercijalni zapisi • Bankarski akcepti – Kamatonosne • Depozitni certifikati • Kratkoročne obveznice državnih agencija, itd.

Diskontne hartije od vrednosti • Diskontne hartije od vrednosti se prodaju po ceni koja je niža od njihove nominalne vrednosti za diskont, odnosno za visinu prinosa obećanog investitoru. Prinos se realizuje isplatom instrumenta po nominalnoj vrednosti na dan dospeća. • Obračun prinosa D vrši se primenom diskontne stope d na nominalnu vrednost NV, uvažavajući broj dana n do roka dospeća hartije:

• U opštem slučaju, cena diskontne hartije od vrednosti koja se kupuje pre roka dospeća predstavlja razliku nominalne vrednosti i diskonta: • Uočljivo je da između cene instrumenta sa diskontnom, sa jedne, i diskontne stope i perioda posedovanja instrumenta, sa druge strane, postoji obrnuta srazmera. • Veća diskontna stopa, kao mera zahtevanog prinosa na ulaganje, podrazumeva manju cenu koju investitor plaća za dati instrument. • Kraći period posedovanja hartije podrazumeva manje odstupanje od nominalne vrednosti, i samim tim, veću cenu instrumenta.

• Izražavanjem cene diskontnog instrumenta pomoću ekvivalentne stope prinosa, umesto diskontne stope, dolazi se do izraza:

• Stopa prinosa do dospeća (yield to maturity) koju ostvaruje investitor u finansijski instrument sa diskontom utvrđuje se primenom sledećeg obrasca: • gde je n broj dana do dospeća hartije.

Kratkoročne državne obveznice • Država emituje kratkoročne obveznice radi finansiranja kratkoročnog budžetskog deficita ili refinansiranja ranije izdatih obveznica. • Visoka likvidnost i efikasnost tržišta, kao i država u ulozi garanta, uslovljavaju nerizičan tretman ove vrste hartija. • Usled navedenih investicionih kvaliteta, stopa prinosa kratkoročnih državnih obveznica je najniža u odnosu na stope drugih kratkoročnih hartija od vrednosti.

• Investitori mogu zadržati kupljene obveznice do roka dospeća, ili ih prodati po tržišnim cenama pre roka dospeća, posredstvom brokera i dilera na tržištu. • Razvijena tržišta novca karakteriše dominantno učešće kratkoročnih državnih obveznica u ukupnom obimu finansijskih instrumenata. Takav je slučaj i u Sjedinjenim Američkim Državama, gde je sekundarna trgovina kratkoročnim obveznicama državne blagajne veoma aktivna. Zapisi glase na nominalnu vrednost od 10. 000 USD do 1. 000 USD. Njihovi rokovi dospeća iznose 13, 26 ili 52 nedelje, tj. 91, 182 ili 364 dana. Od američkog naziva ove vrste hartija – Treasury bills, potiče i globalno prihvaćeni skraćeni naziv Tbills.

• Trezor Ministarstva finansija Republike Srbije emituje kratkoročne obveznice (zapise) putem javnih aukcija, počev od 2003. godine. Aukcije se izvode više puta u toku meseca, prema utvrđenom kalendaru aukcija za datu budžetsku godinu. • Zapisi mogu biti tromesečni, šestomesečni ili dvanaestomesečni. • Nominalna vrednost zapisa iznosi 10. 000 RSD. • Zapise mogu kupovati sva domaća pravna i fizička lica, preko ovlašćenih učesnika. Zapisi trezora se, po pravilu, emituju kao diskontne hartije od vrednosti, tj. po ceni koja je niža od nominalne vrednosti za iznos prinosa koji će biti realizovan o roku dospeća hartije. • Usled kratkog roka dospeća, obračun cene ove vrste obveznica se zasniva na diskontovanju novčanog toka primenom prostog interesa. • Shodno članu 3. Uredbe o opštim uslovima za emisiju i prodaju kratkoročnih državnih hartija od vrednosti na primarnom tržištu, diskontovana cena državnih hartija utvrđuje se prema obrascu:

• Izračunavanje cene kratkoročne državne obveznice može biti ilustrovano na primeru koji se odnosi na državne zapise Republike Srbije. Na dan 22. 10. 2009. godine prodato je 200. 000 državnih zapisa, ukupne nominalne vrednosti 2. 000 RSD. Zapisi dospevaju na naplatu 22. 04. 2010. godine. Aukcija je izvedena po metodu jedinstvene cene, uz postignutu izvršnu stopu od 11, 65%. Ostvarena prodajna cena po komadu iznosi: • Ukoliko bi stopa od 11, 65% zaista bila diskontna stopa, ostvarena prodajna cena po komadu bila bi niža od izvršne: • Moguće je izračunati da je stvarna diskontna stopa u konkretnom slučaju iznosila:

• Nasuprot domaćoj praksi, kotacija kratkoročnih državnih obveznica koje emituje Trezor SAD obično se vrši po diskontnoj stopi. • Pri tome, specifično je da se korišćeni broj dana razlikuje u zavisnosti od toga da li se obračunava diskontna stopa ili stopa prinosa za investitora. • U prvom slučaju, primenjuje se 360, a u drugom 365 dana za kalkulaciju odgovarajuće stope. Na taj način, prinos diskontne hartije od vrednosti se dodatno umanjuje ako se meri na diskontnoj bazi u odnosu na situaciju kada se meri na bazi ekvivalentnog prinosa obveznice. • Obračun cene i prinosa za investitora u slučaju ulaganja u američke zapise Trezora može biti prikazan na praktičnom primeru.

• Zapis nominalne vrednosti 100. 000 USD i roka dospeća 91 dan emitovan je na dan 03. 09. 2009. godine, uz diskontnu stopu od 0, 150%. Cena datog zapisa iznosi: • Diskont, tj. razlika između nominalne i prodajne cene zapisa od 37, 917 USD predstavlja prinos za investitora, pod pretpostavkom držanja instrumenta do dospeća. U relativnom smislu, odgovarajući pokazatelj prinosa za investitora je stopa prinosa do dospeća (na godišnjem nivou): • Pretpostavimo da investitor odlučuje da proda kupljeni zapis na dan 01. 10. 2009. godine, kada je diskontna stopa na zapise iste ročnosti iznosila 0, 115%. Ostvarena prodajna cena zapisa će iznositi: • Ostvarena stopa prinosa u periodu posedovanja instrumenta može se izračunati kao: Naravno, investitoru je u konkretnom slučaju pogodovao pad diskontne stope u odnosu na dan emitovanja instrumenta. Da je diskontna stopa bila nepromenjena, ostvarena prodajna cena, a samim tim i stopa prinosa, bi bile niže.

Komercijalni zapisi • Komercijalni zapisi ili papiri (Commercial papers) su kratkoročne dugovne hartije koje izdaju nefinansijske institucije, prvenstveno velika preduzeća visokog boniteta. Cilj emisije je prikupljanje gotovine ili finansiranje obrtnog kapitala. • Sa aspekta njihovih emitenata, ove hartije predstavljaju relativno jeftinu zamenu za kratkoročne kredite banaka. Istovemeno, troškovi emisije komercijalnih zapisa su niži u odnosu na druge načine pribavljanja sredstava na finansijskom tržištu (tj. emisiju akcija i dugoročnih obveznica). • Mogućnost prilagođavanja veličine, ročnosti i dinamike emisije konkretnim potrebama preduzeća povećava fleksibilnost finansiranja. Pošto nisu garantovani zalogom, komercijalni zapisi omogućuju oslobađanje imovine od hipoteke. Emisijom ove vrste hartija preduzeća izgrađuju sopstveni tržišni rejting i obezbeđuju efikasniji pristup tržištu dugoročnog duga.

• Investitori u komercijalne zapise ostvaruju prinos u obliku diskonta, odnosno razlike između niže kupovne cene i više nominalne vrednosti po kojoj se vrši otkup zapisa o dospeću. Relativno veći kreditni rizik za investitore nadoknađuje se većim prinosom u odnosu na kratkoročne državne obveznice. Prinos na komercijalne zapise je približno na nivou prinosa na certifikate o depozitu. • Kreditni rejting emitenta ima ulogu garanta za investitore u komercijalne zapise. • Između kreditnog rejtinga zapisa i njegove stope prinosa postoji obrnuta srazmera. • Kreditni rizik može biti dodatno smanjen garancijom banke. Naime, moguće je da emitentu zapisa bude automatski odobren bankarski kredit u slučaju njegove nesposobnosti da izmiri dospele obaveze po osnovu emitovanog komercijalnog zapisa. U tom slučaju, cena finasiranja za emitenta će biti uvećana premijom koja mora biti plaćena banci na ime preuzetog kreditnog rizika. Istovremeno, cena finansiranja emitenta će biti umanjena usled smanjenja zahtevane stope prinosa za investitora.

• Kupci komercijalnih zapisa su obično banke, osiguravajuće kompanije, penzijski fondovi, investicioni fondovi i preduzeća. Emisija se najčešće ostvaruje posredstvom brokersko-dilerskih kuća, a ređe putem direktnih plasmana. • Rokovi dospeća komercijalnih zapisa u SAD iznose od 7 do 270 dana. S obzirom na vrlo kratke rokove dospeća u praksi, sekundarna trgovina zapisima nije značajnije razvijena. • Komercijalni zapisi se vrlo često emituju sa rokovima koji su prethodno ugovoreni sa investitorima, kako bi ih oni držali do dospeća. Na tržištu novca Srbije komercijalni zapisi nisu prisutni u prometu od 2004. godine.

• Pretpostavimo da investitor želi da kupi dana 11. 09. 2008. godine komercijalni zapis koji je izdao L’Oreal i koji dospeva na naplatu 11. 12. 2009. godine. Prilikom izdavanja zapisa aktuelna kamatna stopa na tržištu novca je 2, 42%, a njegova nominalna vrednost je 100. 000 EUR. Tržišna cena zapisa utvrđuje se primenom diskontnog faktora za datu stopu prinosa: Dakle, cena finansiranja za emitenta komercijalnog zapisa u konkretnom slučaju iznosi 2, 42%, što odgovara stopi prinosa do dospeća za investitora (na godišnjem nivou).

Blagajnički zapisi • Blagajnički zapisi predstavljaju kratkoročne dužničke hartije od vrednosti koje emituju poslovne banke radi prevazilaženja trenutnih problema nedovoljne likvidnosti. Kupci zapisa mogu biti preduzeća, druga pravna i fizička lica. Pored poslovnih, blagajničke zapise može emitovati i centralna banka, u cilju apsorpcije viškova likvidnosti iz monetarnog sistema. U tom slučaju, zapise mogu kupovati isključivo banke. • Po svojoj prirodi, blagajnički zapisi su analogni zapisima trezora, odnosno komercijalnim zapisima, uz razliku u pogledu subjekta koji se nalazi u ulozi emitenta. Relativno nizak rizik ulaganja u blagajničke zapise praćen je relativno niskim prinosom za investitore.

• Nakon perioda veoma aktivnog prometa na Beogradskoj berzi, od jula 2002. godine prestala je trgovina blagajničkim zapisima poslovnih banaka u Srbiji. Kada su u pitanju blagajnički zapisi Narodne banke Srbije, njihovo emitovanje je ponovo započelo od 21. septembra 2005. godine, nakon više od četiri godine izostanka sa tržišta. Zapisi NBS se izdaju sa nultom kamatnom stopom i rokom dospeća od 360 dana, u funkciji obavljanja REPO transakcija NBS. • Pored toga, u periodu od novembra 2006. godine do februara 2009. godine, NBS je emitovala blagajničke zapise sa rokom dospeća od 6 meseci, koje je koristila za obavljanje trajnih transakcija HOV. Prodaja blagajničkih zapisa NBS ostvaruje se na primarnom tržištu van organizovanog tržišta hartija od vrednosti u vidu redovnih aukcija. Zapisi se emituju kao diskontne hartije od vrednosti, pri čemu se prodajna cena utvrđuje prema unapredviđenom obrascu, uzimajući u obzir stopu prinosa.

• Na primer, 22. 09. 2008. godine NBS je organizovala aukciju blagajničkih zapisa pojedinačne nominalne vrednosti 100. 000 RSD, sa rokom dospeća 23. 03. 2009. godine. Prosečna ponderisana kamatna stopa na aukciji je iznosila 14, 95%. Pojedinačna prodajna cena zapisa pri datoj stopi iznosi: • Sekundarna trgovina blagajničkim zapisima NBS između banaka se takođe ostvaruje vanberzanski. Zapisi mogu biti podneti na naplatu NBS pre isteka njihovog roka dospeća samo u izuzetnim okolnostima. U svim ostalim slučajevima, vlasniku zapisa se o roku dospeća isplaćuje nominalna vrednost na koju zapisi glase.

Bankarski akcepti • Bankarski akcept (Banker’s acceptance-BA) je trasirana menica na banku i akceptirana od banke, kojom se neopozivo naređuje isplata menične sume imaocu menice po naredbi izdavaoca menice na određeni dan. • Akcepti su najstarije hartije od vrednosti na tržištu novca. • Prilikom prodaje bankarskog akcepta, vrši se eskontovanje primenom eskontne (diskontne) stope. • O roku dospeća akcepta, banka donosiocu isplaćuje ukupnu nominalnu vrednost instrumenta.

• Rok dospeća akcepta je od 30 do 270, a najčešće 90 dana. Najznačajniji investitori u bankarske akcepte kao komercijalne hartije od vrednosti su investicioni fondovi tržišta novca, preduzeća i lokalne zajednice. Sekundarno tržište bankarskih akcepata organizovano je kao dilersko i obično je vrlo aktivno. • Pretpostavimo da investitor kupuje 21. 06. 2000. godine bankarski akcept nominalne vrednosti 100. 000 USD, čiji je rok dospeća 20. 09. 2000. godine. Diskontna stopa na akcept je 6, 60%. Cena koju investitor plaća u konretnom slučaju je: Kupovinom datog instrumenta i njegovim držanjem do roka dospeća moguće je ostvariti prinos od 1. 668, 33 USD u apsolutnom, odnosno 6, 71% u relativnom smislu.

Kamatonosne hartije od vrednosti • Hartije od vrednosti sa kamatonosnim prinosom se emituju po ceni koja je jednaka njihovoj nominalnoj vrednosti i imaju određeni rok dospeća. Kupac ostvaruje kamatu I, koju emitent obećava da plati na nominalnu vrednost o roku dospeća: Dakle, cena o roku dospeća kamatonosne hartije od vrednosti se izračunava kao zbir nominalne vrednosti i pripadajuće kamate:

• Cena kamatonosne hartije u izabranom trenutku nakon njenog emitovanja predstavlja sadašnju vrednost iznosa koji će biti primljen po dospeću, diskontovanog primenom aktuelne kamatne stope na tržištu novca: gde su: P’ - tržišna cena hartije u određenom trenutku između dana emitovanja i roka dospeća, ic - kamatna stopa pri izdavanju instrumenta, im - kamatna stopa na tržištu na dan izračunavanja cene, nc - broj dana od dana emitovanja do roka dospeća hartije, nm - preostali broj dana od dana kada se izračunava cena do roka dospeća.

• Ukoliko je hartija prethodno kupljena na dan emitovanja, i zatim prodata pre roka dospeća po ceni Pʹ, investitor bi ostvario prinos u iznosu: • gde je n broj dana posedovanja hartije.

• Moguće je da investitor kupi kamatonosnu hartiju nakon dana emitovanja, i zatim je proda pre dana dospeća. Ostvareni prinos u periodu posedovanja hartije može biti utvrđen prema obrascu: gde su: i-ostvareni prinos u periodu posedovanja hartije, im-kamatna stopa pri kupovini instrumenta, is-kamatna stopa pri prodaji instrumenta, nm-broj dana od kupovine do roka dospeća, ns-broj dana od prodaje do roka dospeća, n-broj dana posedovanja instrumenta

Depozitni certifikati • Depozitni certifikat (Certificate of deposit-CD) je potvrda koja glasi na određenu sumu novca deponovanog u banci, na određeni rok i uz određenu kamatnu stopu. Zbog svoje likvidnosti i činjenice da su depoziti kod poslovnih banaka osigurani, depozitni certifikati se smatraju sigurnim finansijskim instrumentom. Ipak, postoje i certifikati o depozitu koji nisu osigurani. U pitanju su tzv. „džambo“ (jumbo) CDs, koji se izdaju sa nominalnom vrednošću većom od 100. 000 USD. Za banke kao njihove emitente, depozitni certifikati predstavljaju alternativu pribavljanju sredstava putem klasičnog depozita, i instrument za upravljanje rizikom kamatne stope.

• U cilju ilustracije obračuna cene CD, pretpostavimo da je banka izdala depozitni certifikat 28. 08. 2008. godine sa rokom dospeća 25. 05. 2009. godine, na nominalni iznos od 80. 000 EUR i sa kuponskom kamatnom stopom 4, 27% na dan izdavanja. Donosilac ovog instrumenta bi na dan dospeća dobio iznos od:

Na dan 20. 10. 2008. godine kamatna stopa na tržištu novca je iznosila 4, 19%. Cenu ovog depozitnog certifikata na sekundarnom tržištu moguće je izračunati na sledeći način:

• Prinos za investitora u slučaju prodaje instrumenta pre roka dospeća bi bio jednak razlici nominalne vrednosti i kupovne cene instrumenta, tj. iznosio bi 528, 149 EUR. Odgovarajuća stopa prinosa, uvažavajući vremenski period posedovanja instrumenta, bila bi jednaka:

• Na dan 19. 11. 2008. godine kamatna stopa na tržištu novca je smanjena na 4%. Moguće je da investitor koji je kupio depozitni certifikat 20. 10. 2008. godine na sekundarnom tržištu, odluči da proda instrument na dan 19. 11. 2008. godine. Ostvarena stopa prinosa za 30 dana posedovanja instrumenta iznosila bi:

• U SAD, u zavisnosti od politike finansijske institucije emitenta, moguće je da interes na CD bude obračunat primenom složenog, umesto prostog interesnog računa, čak i ako je rok dospeća instrumenta kraći od jedne godine. U tom slučaju, kapitalisanje može biti godišnje, polugodišnje, tromesečno, mesečno ili dnevno. • Na primer, NOVA Bank iz Filadelfije je na dan 30. 10. 2009. godine emitovala CD minimalne nominalne vrednosti od 500 USD, uz stopu prinosa od 1, 64%, rok dospeća od jedne godine i dnevno kapitalisanje. Za CD čija je nominalna vrednost 1. 000 USD, cena o roku dospeća bila bi:

Za utvrđivanje prinosa koji bi ostvario investitor u konkretnom slučaju, potrebno je obračunati efektivnu kamatnu stopu. Za dati jednogodišnji certifikat o depozitu, efektivna kamatna stopa bi iznosila:

Ugovori o rekupovini • Ugovori o rekupovini na tržištu novca iziskuju primenu odgovarajućih finansijsko-matematičkih obračuna. • Ugovori o rekupovini (Repurchase agreements – REPO) podrazumevaju prodaju hartija od vrednosti, koje služe kao zaloga, uz obavezu njihovog otkupa po ugovorenoj višoj ceni i u ugovoreno vreme. • Kupoprodaja hartija od vrednosti se vrši radi prevazilaženja kratkoročnog novčanog deficita. Razlika između kupovne i prodajne cene predstavlja kamatu koju plaća vlasnik hartija, kao zajmoprimac. • Ona je, istovremeno, i prinos koji ostvaruje kupac hartija, kao zajmodavac. Založene hartije garantuju izmirenje potraživanja zajmodavca, na koga se prenose u slučaju neizvršenja reotkupa. • Obično se u zalogu uzimaju visokokvalitetne hartije od vrednosti.

• Primer. • NBS je na dan 30. 10. 2009. godine organizovala aukciju za repo prodaju svojih blagajničkih zapisa. Aukcija je realizovana po fiksnoj kamatnoj stopi, koja odgovara referentnoj kamatnoj stopi NBS od 11%, i sa ročnošću od 14 dana. Poslovna banka koja je kupila zapise po ceni od 1. 000 RSD će biti u obavezi da ih proda nazad o roku dospeća po ceni: • Imajući u vidu prikazanu formulu, može se zaključiti da su, prema domaćoj regulativi, REPO poslovi u pogledu načina utvrđivanja cene o roku dospeća, analogni kamatonosnim finansijskim instrumentima.

• Znanja o primeni razmotrenih modela su od interesa kako za investitore, tako i za emitente kratkoročnih finansijskih instrumenata. • U cilju donošenja adekvatnih investicionih odluka, subjekti na strani ponude kratkoročnih finansijskih sredstava vrše poređenje prinosa po osnovu različitih alternativa ulaganja. Istovremeno, subjekti na strani tražnje za kratkoročnim finansijskim sredstvima vrše poređenje troškova različitih alternativa za finansiranje trenutnih potreba, radi što racionalnijeg poslovanja. • Kvalitetno obavljanje ovakvih aktivnosti zasniva se na metodološkim osnovama tržišta novca koje pruža finansijska matematika. • Konačno, upravo analizirani modeli se, pored uspostavljanja neophodnih makroekonomskih i institucionalnih uslova, javljaju kao veoma važan faktor razvoja tržišta novca u celini.

SLOŽENI INTERES • Osnovni elementi finansijskih modela su vreme i novac. • Vremenska vredost novca je osnova finansijske matematike: Ista suma novca u različiti vremenskim trenucima različitu vrednost. Početak obračuna -2 prošlost -1 0 sadašnjost 1 2 budućnost

Na kraju 1. godine Na kraju 2. godine Na kraju treće godine. . . Na kraju n-te godine

• FAKTOR AKUMULACIJE

Primer: Štediša uloži 100 € u banku koja plaća 6% godišnje. Koji će iznos kamata ostvariti štediša nakon 4 -te godine. 100*1, 06=106 106*1, 06=112, 36 ili 100*1, 062=112, 36 100*1, 063=100*1, 19101=119, 10 100*1, 064=100*1, 2624=126, 24

Primer Kolika je uvećana vrednost 300€ uloženih uz 5% godišnje: a)Nakon 6 godina b)Nakon 12 ½ godina a) 300*(1+0, 05)6=402, 03 € b) 300*(1+0, 05)12+1∙ 1/2=552, 06 €

Primer: Kolika je uvećana vrednost 200 € uloženih za 8 ¼ godina ako je kamatna stopa: a)3% (ps) b)2% (pq) a) n=8, 25*2=16, 5 Kn=200*(1+0, 03)16, 5= 325, 72 €

b) n=8, 25*4=33 Kn=200*(1+0, 02)33= 384, 45 €

Primer Ukoliko danas uložimo 1000 dinara u banku koja računa interes po stopi 5% (pa)d, koliko ćemo imati na računu na kraju pete godine: a) ako je kapitalisanje godišnje b) tromesečno

Primer: Dužnik treba da uplati 15. 400 posle 4 godine i 17. 350 posle 6 godina. Umesto ovih uplata on bi hteo da uplati 1 iznos posle 7 godina uz 5% (pa)d interesa. Izračunati ovaj iznos 15. 400 0 1 7 2 3 4 17. 350 5 6 X

NOMINALNA, RELATIVNA, KONFORMNA I EEKTIVNA KAMATNA STOPA Primer Godišnjoj stopi od 20% za 85 dana u običnoj godini odredite relativnu stopa.

Konformna kamatna stopa l + i = (l + ik)m ik = pk /100

Primer 1. Odredi polugodišnju komformnu kamatnu stopu ako nominalna godišnja kamatna stopa iznosi 6%. Primer 2. Odrediti kvartalnu komformnu kamatnu stopu ako je godišnja stopa 54%.

Primer 3. Naći komformnu kamatnu stopu za 32 dana ako godišnja kamatna stopa iznosi 86%.

EFEKTIVNA KAMATNA STOPA Ako je kapitalisanje dnevno:

Kod kontinuelnog ukamaćenja stopa je: Primer: i=7, 2%, kolika je efektivna stopa?

Primer: Nominalna kamatna stopa je 8% na jednogodišnji depozit sa kvartalnim obračunavanjem kamate. Kolika je efektivna stopa?

Primer: Interesna stopa za 153 dana investiranja iznosi 10, 2%. Kolika je efektivna stopa?

Primer: Nominalnoj stopi sa mesečnim obračunom interesa odgovara efektivna godišnja stopa od 7, 5%. Kolika je nominalna kamatna stopa.

DISKONTNI FAKTOR

Koji će kapital za 7 godina uz 4% (pa)d interesa da poraste na 50000 dinara kapitalisanje godišnje. K 0 50000 0 7

FAKTOR DODAJNIH ULOGA (III tablice) A) Anticipativni ulozi u u 0 1 u 2 u 3 u u Sn 4 n-1 n u ·rn-1 u ·rn-2 u · r Sn = u ·rn+ u ·rn-1+ u ·rn-2+. . . + u ·r 2+ u ·r

Dekurzivni ulozi u 0 u u S’n u 1 2 3 4 n-1 n u · r n-1 u · r n-2. . . u. S'n = u ·rn-1+ u ·rn-2+ u ·rn-3+. . . + u ·r 2+ u ·r+ u S'n = u (l + r 2 +. . . + rn-2 + r n-1)

Primer: Ukoliko u banku koja plaća interes po stopi od 6% (pa)d, kapitališe jedanput godišnje ulažemo 10 puta uzastopno početkom godine po 1000 dinara, koliko će iznositi suma ovih uloga na kraju 10 -te godine? Koliko iznosi suma ovih uloga ulokiko se uplaćuju krajem svake godine? a) b)

ULAGANJE ČEŠĆE OD OBRAČUNAVANJA INTERESA gde je: - broj uloga u obračunskom periodu; n- broj godina; m- broj kapitalisanja godišnje.

Primer: Ulagano je u banku početkom svakog tromesečja po 1000 dinara. Koliki je zbir ovih uloga krajem dvadesete godine, ako je interes računat po stopi 16% uz godišnje kapitalisanje?

FAKTOR AKTUALIZACIJE IV tablice A) Dekurzivni ulozi C 0 a 1 a 2 0 1 2 an 3 n

b) Anticipativni ulozi C 0 a 1 a 2 a n-1 n

• Koliko je neto sadašnja vrednost investicije od 25. 000 € uz diskontnu stopu 5%, ako se od investicije očekuju jednaki godišnji neto novčani tokovi od 9000 u toku 4 godine. • Odrediti internu stopu prinosa.

SADAŠNJA VREDNOST ODLOŽENIH DEKURZIVNIH ULOGA C 0 -d 0 a d a a d+1 d+2 d+3 a d+n

SADAŠNJA VREDNOST ODLOŽENIH ANTICIPATIVNIH ULOGA C 0 -d’ 0 a a a d d+1 d+2 a d+n-1 d+n

Primer: Ulaže se krajem svake godine posle 7 -me godine 14 puta po 4900 dinara. Odrediti sadašnju vrednost ovih uloga u momentu t=0, ako je interesna stopa 8% (pa)d, a kapitalisanje je godišnje.

FAKTOR POVRAĆAJA (AMORTIZACIJA ZAJMA) K a a 0 1 2 3 n Gde je: K- zajam a- anuitet

Anuitet plaćen na kraju k-tog perioda: ak = Rk-1 · i + bk Gde su: Rk-1 - ostatak duga nakon k-1 plaćenih anuiteta i- kamatna stopa bk- otplata u k-tom periodu Anuitet plaćen na kraju (k+1)-og perioda: ak+1 = (Rk-1 –bk)· i + bk+1 Posto su anuiteti jednaki, sledi da je: Rk-1 · i + bk = (Rk-1 –bk)· i + bk+1 Odavde je: bk+1=bk(1+i)

Posto je: Na osnovu zakona otplata, svaku otplatu mozemo izraziti preko prve otplate: odakle sledi da je: bk = a (1 + i)-n+k-1 Interes u k-tom periodu je: Ik = a - b k

Računanje prve otplate K = b 1 + b 2 +. . + bn Pošto je po zakonu otplate bk+1=bk(1+i), imaćemo na kraju prve, druge i n-te godine sledeće otplate: b 1 b 2=b 1(1+i) b 3=b 2(1+i)=b 1(1+i) … K = b 1 [ 1 + (1 + i)2 +. . . + (1 + i)n-1]

Otplaćeni deo duga sa prvih c- plaćenih anuiteta Oc = b 1 + b 2 +. . . + bc Ostatak duga posle prvih c- plaćenih anuiteta Rc = K - Oc

Anuiteti jednaki i češći od kapitalisanja Gde je - broj anuiteta u toku kapitalisanja m- broj kapitalisanja n- broj godina amortizacije zajma

Primer: Zajam od 300. 000 € amortizuje se jednakim godišnjim anuitetima toku 6 godina i uz interes 4% (pa)d i godišnje kapitalisanje. Izraditi plan amortizacije.

Period Kredit Kamata Otplata Anuitet 1 300000, 00 12000, 00 45228, 57 57228, 57 2 254771, 43 10190, 86 47037, 71 57228, 57 3 207733, 72 8309, 35 48919, 22 57228, 57 4 158814, 50 6352, 58 50875, 99 57228, 57 5 107938, 51 4317, 54 52911, 03 57228, 57 6 55027, 48 2201, 09 55027, 48 57228, 57 43371, 42 300000, 00 343371, 42 Ukupno

Primer: Zajam od 300. 000 € amortizuje se 8 godina jednakim anuitetima uz 8% interesa i godišnje kapitalisanje. Odrediti: anuitet, otplaćeni deo duga sa 6 plaćenih anuiteta, prvu otplatu, petu otplatu i peti interes, ostatak duga posle 6 plaćenih anuiteta.

• Primer: Odobren je kredit od 40000 €. Godišnja nominalna kamatna stopa je 8, 5%, godišnji obračun kamate. Odrediti mesečni anuitet koristeći konformnu kamatnu stopu.

• Primer: Odobren je kredit od 40000 €. Godišnja nominalna kamatna stopa je 8, 5%, godišnji obračun kamate. Odrediti mesečni anuitet koristeći relativnu kamatnu stopu. Korišćenjen konformne kamatne stope u prethodnom primeru ukupan interes je 29. 581, 43. Razlika je 1319, 82 €