ФГОУ ДПО «Институт дополнительного профессионального образования» Моделирование социально-экономических процессов Поленин В. И. E-mail: polenin@mail. ru
Основа и место в учебном плане Раздел 9 Основы экономической безопасности РФ Концептуальные основы моделирования систем и процессов управления. Оценка эффективности управления социально экономическими системами. В результате изучения этой главы должны: знать: Ø понятия «метод» , «модель» , «методика» ; Ø понятия «эффективность» , «показатель» и «критерий» эффективности; Ø виды моделей и моделирования, их современное состояние и характеристики; Ø возможности и ограничения моделирования социально экономических систем; Ø основы и примеры моделирования социально экономических систем; уметь: Ø формулировать такие понятия, как «метод» , «модель» , «методика» , «эффективность» , «показатель» и «критерий» эффективности; Ø различать типы социально экономических моделей по основным признакам классификации; владеть: Ø пониманием возможностей моделирования социально экономических процессов; Ø общими понятиями математического моделирования социально экономических процессов. 1
2 Понятия «метод» , «способ» , «методика» , «методология» МЕТОД (от греч. methodos путь исследования, теория, учение), способ достижения какой либо цели, решения конкретной теоретической задачи; совокупность приемов или операций, которые нацелены на решение определённой задачи теоретического освоения (познания) действительности. Примеры: метод алгебраических преобразований, метод наименьших квадратов, логико вероятностный метод, экспертный метод, статистический метод, метод нечетких множеств, метод теории игр. СПОСОБ – порядок, образ действий, метод в исполнении какой либо цели, решения конкретной практической задачи. МЕТОДИКА – некий готовый «рецепт» , алгоритм, процедура для проведения каких либо нацеленных действий. Как правило, порядок действий, расчета для получения результата при заданных исходных данных. МЕТОДОЛОГИЯ – общий подход к выбору методов решения задач того или иного класса.
Понятия «задачи решаются» , «задачи выполняются» 3 Решаются теоретические, научные, учебные, математические задачи. Задачи практической деятельности выполняются.
Математическое моделирование 4 Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).
Методы, модели, методики Технические, экологические, социальные, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в «единственном экземпляре» . Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое (шире — информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса. Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого либо объекта порождает четкий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель — алгоритм — программа. 5
Методы, модели, методики 6 Создав триаду «модель—алгоритм—программа» , исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. После того как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные «опыты» , дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет собой математику, физику, биологию и другие научные дисциплины, не конкурирует с ними. Его роль – синтезирующая. Моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных «специальностей» — исследователей и предпринимателей, политиков и военачальников.
О соотношении целей, задач и критериев. Варианты постановки задачи принятия решения 7 • Цель − желаемое будущее состояние, желаемая будущая обстановка, желаемый конечный результат деятельности. • Задача − формулировка цели в форме заданных действий по ее достижению. • Говорят, что цели достигаются выполнением задач. • Удачное определение задачи: «деятельностная формулировка цели» . • Таким образом, если цель − желаемое будущее, то задача − действия по ее достижению.
О соотношении целей, задач и критериев. Варианты постановки задачи принятия решения Лицо, принимающее решение (ЛПР): • с помощью аппарата, персонала поддержки его деятельности, содержательно анализирует поставленную перед ним задачу как проблему и формирует варианты действий по универсальной системе деятельностных категорий: кто, что, где, когда и как; • осуществляет выбор наилучшего варианта с помощью критерия или системы критериев, заданных старшим руководителем в постановке задачи или выдвинутых самим ЛПР. 8
Понятия «показатель» и «критерий» Показатель − шкала со стрелкой Критерий − красная или зеленая отметка на шкале 9
Основные общие черты уникального выбора при решении социально-экономических задач: - уникальность, неповторяемость ситуации; - нехватка и недостоверность части информации; - наличие разнородных факторов влияния; - трудности определения полного списка вариантов; - сложный для оценки, многоаспектный характер вариантов; - субъективный характер многих оценок качества вариантов; - недостаточная определенность последствий того или иного варианта решения, выбора. 10
Пример инженерно-технической задачи Однокритериальная (скалярная) задача принятия решений 11
Задачи принятия решений в социальноэкономических системах: 12 1. Охватывают большое количество параметров (многопараметрические задачи). 2. Связаны с поиском решения не с одним критерием (скалярного решения), а векторного решения с максимизацией или минимизацией сразу нескольких показателей. 3. Связаны с учетом качественных факторов. 4. Связаны с учетом случайных факторов: стохастических (вероятностных, статистических) факторов; неопределенных факторов. 5. Связаны с учетом коллективных мнений экспертов. Следствие: модели и задачи относятся к категории слабо структурированных и плохо формализуемых систем.
Теория и практика принятия решений Нобелевский лауреат в области экономики Маурицио Элайс : «Остается только сожалеть о вторжении математиков, которые больше интересуются развитием чисто математических моделей, чем анализом их отношений с реальным миром. . . Печально, что никому не нужные математические упражнения ценятся больше, чем подходящие методики анализа фактов. Таковыми являются основы теории вероятностей Колмогорова и теория игр Неймана—Моргенштерна, которые представляют собой два блестящих примера из многих» . 13
Обобщенная постановка задачи в социальноэкономической области Выбор наилучшего, наиболее предпочтительного варианта (способа, альтернативы) х* из множества возможных вариантов осуществляется по критериальному правилу, принципу оптимальности Ф, отражающему попарное сравнение вариантов , и систему предпочтений ЛПР ( лучше, предпочтительнее, чем ) 14
Вариант постановки задачи принятия решения с указа- 15 нием формализованного критерия оптимальности Выбор наилучшего, наиболее предпочтительного варианта (альтернативы) х* из множества возможных вариантов осуществляется по формализованному критериальному правилу ФР: наилучшему варианту х* соответствует экстремум Р* (по смыслу задачи максимальное или минимальное значение) показателя качества или эффективности Р.
Случай множественного (векторного) критерия оптимальности Многокритериальная (здесь – двухкритериальная), векторная задача принятия решений (пример выбора одного из 9 автомобилей по двум показателям) Эффективное множество по Парето 16
Определение понятия «модель» 17 Модель – это упрощенное подобие реального объекта, явления, процесса: – макет; – схема, изображение или описание явления или процесса; – физический аналог объекта (игрушка, испытательный маломасштабный образец), функционирование которого по определённым параметрам подобно функционированию реального объекта; – информационный аналог объекта (математическая, программная, алгоритмическая модель), функционирование которого по определённым параметрам подобно функционированию реального объекта.
Назначение моделирования и моделей Аспектами моделирования могут быть внешний вид, структура, поведение объекта, а также все их возможные комбинации. Внешний вид, поведение объекта интуитивно понятны. Моделирование внешнего вида используется для: – идентификации (узнавания) объекта (штрих-код, дактилоскопия); – долговременного хранения образа (фото, чертежи). Структурой объекта называют совокупность его элементов, а также существующих между ними связей. Моделирование структуры объекта используется для: – наглядного представления (структура атома кислорода, молекулы воды, производства, правительства); – изучения свойств объекта (слабые, ненадежные элементы, требующие дублирования, ролевая значимость элементов). Моделирование поведения применяется при: – планировании, прогнозировании (экономика определенного типа); – выявления причинно-следственных связей (прогноз погоды); – управлении (станки с ЧПУ, транспорт, производство); – конструировании технических устройств (шасси автомобиля). 18
Свойства моделей В процессе моделирования каждый аспект моделирования раскрывается через совокупность свойств, которые оцениваются, анализируются. В моделях отражаются не все свойства, это и не нужно, а только существенные с точки зрения целей моделирования. Чем меньше попадает в модель ненужных свойств, тем полезнее модель. Бритва О ккама – методологический принцип «Не следует множить , привлекать новые сущности без надобности, без крайней на то необходимости» . Свойства: – качественные (дальний ближний, быстро медленно, горячий холодный); – количественные – параметры модели. 19
Информационные модели 20 Основной тип моделей в науке – информационные модели – описания моделируемых объектов и процессов на одном из языков кодирования информации программирования, информационных технологий. Входы x 1 … F(x) Y 1 Выходы … xn Ym В информационных моделях свойства, имеющие количественную природу, выражаются значениями функции отклика (Yi). Виды информационных моделей: Описательные (дескриптивные) – применяются для описания свойств и параметров процесса принятия решений в целях прогнозирования его хода в будущем: на естественном языке, словесное описание, на специальном языке, математические формулы, алгоритмы, программы, таблицы, графы, деревья, сети, блок схемы, карты. Нормативные (прескриптивные) – применяются для принятия решений, для оптимизации процессов.
Виды моделей – некоторые примеры 21 Прогностические – моделью изменения температуры на улице будет являться график, на котором будет показано изменение температуры с течением времени на будущее. Имитационные. Оптимизационные. Неформализованные (качественное описание) – формализованные (математические, компьютерные). Статические – динамические. Детерминированные – стохастические (вероятностные).
Средства и системы моделирования v v v v 22 Пакет MATLAB Современный самый мощный пакет прикладных программ. Создатель и правообладатель – фирма "The Math Works Inc" (USA). Система MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory» ) предназначена для выполнения инженерных и научных расчетов и высококачественной визуализации получаемых результатов. Применяется практически в любой области науки и техники, в математике, вычислительном эксперименте, имитационном моделировании, финансовых расчетах, при математическом моделировании гидро. аэродинамики, акустики, энергетики и т. д. Отличительной особенностью MATLAB является матричное представление данных. Ядро интегрированной системы MATLAB позволяет назвать программу MATLAB симфонией алгоритмов. MATLAB содержит ряд профессиональных инструментальных приложений (toolboxes), т. е. наборы инструментов для создания, анализа и оптимизации различных систем в таких областях, как управление, обработка сигналов, идентификация систем и многих др. Освоив и применяя в MATLAB тулбоксы, можно достичь уровня разработчиков (исследователей) мирового класса.
Средства и системы моделирования Пакет MATLAB – фрагмент программы и результатов 23
Средства и системы моделирования Пакет MATLAB – примеры результатов 24
Средства и системы моделирования v v v 25 Пакет Mathcad Другая сторона развития программного обеспечения ориентирована на "непрограммирующего пользователя". Создатель и правообладатель – фирма "The Math Works Inc" (USA). Mathcad – универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Замечательное свойство и основное преимущество пакета перед типичными языками программирования : операторы вычислений записываются привычным, естественным языком математики. В чем то напоминает калькулятор. От калькулятора пакет Mathcad отличает работа с различными типами данных (комплексные, векторы, матрицы), использование библиотеки математических функций. Пакет Mathcad относится к интегрированным пакетам, т. е. позволяет не только произвести вычисления, но и получить итоговый отчет с комментариями, формулами, таблицами и графиками.
Пакет Mathcad – палитры инструментов 26
Пакет Mathcad – пример вычислений 27
Пакет Mathcad – пример вычислений и результатов 28
Пакет Mathcad – пример вычислений и результатов 29
Средства и системы моделирования 30 Any. Logic — программное обеспечение для имитационного моделирования сложных систем и процессов. Разработчик и правообладатель – российская компания «Экс Джей Текнолоджис» (англ. XJ Technologies), зарегистрированная за рубежом как XJ Technologies Company Ltd North America Руководитель Андрей Борщëв, . Any. Logic. ТМ инструмент имитационного моделирования нового поколения. Основными строительными блоками модели являются активные объекты – виртуальные модели объектов реального мира. Используются технологии объектно ориентированного моделирования: наследование, полиморфизм и т. д. Наследование – позволяет значительно упростить процесс разработки моделей. Например, создав базовый объект класс – автомобиль, можно легко моделировать различные подклассы автомобилей (спортивные, грузовики и т. п. ). Основные характеристики будут унаследованы от базового объекта класса, а особенные будут заданы в подклассах. Полиморфизм – способность системы программирования автоматически различать общее и различное.
Средства и системы моделирования 31 – система имитационного моделирования (ИМ) Области применения: – экономика и производство (логистика, цепочки поставок, сфера услуг, потребительский рынок, управление активами и проектами); – социальная сфера (демографические процессы, здравоохранение и т. п. ). Есть два рынка, связанных с системами моделирования: – рынок самих инструментов ИМ, которые выставляются на продажу вендорами (создателями и правообладателями); – рынок – консалтинг, когда вендоры оказывают консультационные услуги клиенту с целью оптимизировать его бизнес. Консалтинговые услуги очень дорогие: один проект с применением ИМ для крупного металлургического комбината в настоящее время выполняется за 2 млн долларов. Сами инструменты ИМ стоят намного дешевле: Any. Logic осенью 2015 г. стоил около 4 (для ВУЗов) – 10 (для фирм) тыс. $. Any. Logic устойчиво занимает самое высокое место на рынке технологий ИМ, в который входят десятки различных систем.
Разделы 32 Агентное (имитационно-статистическое) моделирован Низкий уровень абстракции Дискретно-событийное моделирование (аналог Марковских цепей) – средний уровень абстракции Системная динамика (аналог Марковских процессов и систем дифференциальных уравнений Колмогорова) высокий уровень абстракции Возможно составление моделей с использованием всех разделов одновременно
Раздел «Агентное моделирование» 33
Раздел «Агентное моделирование» , собственно имитационно-статистическое 34 Сеть агентов, стейтчарт, диаграмма обмена сообщениями, выбор, кто и что будет агентом. Стейтчарты (карты состояний) – графический язык диаграмм, строятся из состояний и переходов между ними. Применяются для моделирования коммуникаций: обслуживание клиента банкоматом, пациента – врачом, операции изготовления детали станком, дорожного регулируемого и нерегулируемого движения через перекрестки и по трассе, операций погрузки доставки разгрузки и т. п.
Раздел «Агентное моделирование» 35 Логика работы и анимация имитационной модели пассажирского маршрута в Нижнем Новгороде
Раздел «Агентное моделирование» Результаты моделирования работы и анимация имитационной модели пассажирского маршрута в Нижнем Новгороде 36
Раздел «Агентное моделирование» , собственно имитационно-статистическое Имитационная агентная модель является виртуальным аналогом моделируемой действительности с отражением влияния основных факторов. 37
Раздел «Агентное моделирование» , собственно имитационно-статистическое Моделирование пассажиропотоков в пересадочном узле Малого кольца Московской железной дороги 38
Разделы «Дискретно-событийные системы» и «Системная динамика» 39 Эффективность мер по ограничению скорости Модель Басса (Bass Diffusion) влияния рекламы на объем продаж Системно-динамическая диаграмма добычи нефти
Раздел «Системная динамика» 40 Системно-динамическая диаграмма добычи нефти
Общий логико-вероятностный метод 41 • Задачи, которыми занимается наука и которые она умеет решать − в основном задачи на детерминированных системах с двумя или тремя переменными. • Подобные задачи, имеющие в своей основе малое число переменных, решение которых ищется в аналитической форме, называют задачами организованной простоты. • Методы решения − информационные технологии организованной простоты. • Задачи анализа больших (сложных), или трудно формализуемых, или плохо организованных систем представляют собой задачи неорганизованной сложности. • Методы решения этих задач, имеющие в своей основе большое число переменных и статистическую основу динамики средних, называют информационными технологиями неорганизованной сложности. • Задачи, связанные со средней частью спектра сложностей, имеющие в своей основе отображение структурных взаимосвязей всех или основных элементов, называют задачами организованной сложности, а методы их решения – информационными технологиями организованной сложности.
Общий логико-вероятностный метод • Логико вероятностный метод (ЛВМ) представляет собой информационную технологию организованной сложности, позволяющую отслеживать одновременно и поэлементно все взаимосвязи и взаимодействия в структурно сложных технических системах. • Общий логико вероятностный метод (ОЛВМ) является высшей формой и практической реализацией ЛВМ в области так называемых немонотонных систем, отражающих противоборство, конкурентную и вооруженную борьбу, т. е. представляет собой информационную технологию анализа экономического и вооруженного противоборства. 42
Общий логико-вероятностный метод • Отечественные ученые – создатели информационной технологии ЛВМ, ОЛВМ и автоматизированной методики их применения ЛВМ ОЛВМ и ПК АСМ Александр Сергеевич Можаев, доктор технических наук, профессор, капитан 1 ранга 43
Место ОЛВМ среди информационных технологий Зарубежные аналогичные системы: «И» − Risk Spectrum (Швеция) «ИЛИ» − Relax (США) и др. Вероятностный подход Анализ надежности (безотказности) технических систем ОЛВМ «И» «ИЛИ» «НЕ» Вероятностный подход + детерминизм + сети + потоки Анализ надежности (безотказности), устойчивости (надежности, стойкости, живучести), риска, безопасности технических систем, экономического и вооруженного противоборства, гидравлических (водопроводных) и электрических сетей, сетевых технологий сопровождения проектов, поддержки принятия решений в АСУ. 44
Пример модели космического аппарата «Горизонт» 45
Пример модели вооруженного противоборства 46
Пример модели вооруженного противоборства 47
Результат моделирования вооруженного противоборства 48
Форсайт-технология 49 Форсайт (от англ. Foresight – взгляд в будущее, предвидение) – это технология оценивания долгосрочных перспектив любой области деятельности высшей сферы руководства, масштаба региона, отрасли, страны, чтобы определить стратегические направления принимаемых решений, способные принести наибольший успех с наименьшим риском. Место и роль Форсайта определяются следующими его особенностями: – это обязательно экспертиза (коллективный опрос специалистов, публикации, научные результаты); – это ориентация не на попытку угадать самый вероятный вариант развития событий, а на поиск компромиссных решений для всех возможных вариантов будущего; – это высокая степень неопределенности внешних условий и факторов, свойственная высшей сфере политической, социальной, экономической, военно технической деятельности; это совокупность современных разнообразных технологических (методических) средств для прогноза стратегического масштаба: метода Дельфи (экспертного опроса), метода сценариев, дорожных карт, мозгового штурма и др.
Технологическая схема Форсайта 50
Аналитический этап Форсайта 51 Задачей аналитического этапа является формирование информационной базы для всей системы и проведение анализа сформировавшихся трендов (тенденций), сильных и слабых позиций, новых угроз и возможностей по кругу социальных, экономических, экологических, а также научных и технологических факторов. Необходимо размежевывать сканирование и мониторинг. Сканирование имеет задачей главным образом обзор предметной сферы и внешних условий, состояния процесса, отрасли. Мониторинг направлен на выявление тенденций, трендов изменения внешних условий и состояния процесса, отрасли. Информационной базой для мониторинга изменений служат результа ты периодического сканирования.
Аналитический этап Форсайта 52 Бенчмаркинг (от англ. Benchmark – отметка уровня) – процесс оценивания и сопоставления характеристик предприятия, продукции с характеристиками конкурентов. Главная идея бенчмаркинга заключается в поиске приме ров передовых технологий, стратегий развития, а также в выяв лении, таким образом, слабых сторон, проблем, рисков. Бенчмаркинг посвящен поиску ответов на вопросы: «как они этого добились? » , «можем ли мы исполь зовать этот подход ? » , «почему на ша эффективность ниже? » , «почему мы не используем эти воз можности ? » . SWOT — это аббревиатура английских тер минов, обозначающих «сильные стороны» , «слабые стороны» , «возможности» и «угрозы» .
Исследовательский этап Форсайта 53 Дельфи занимает центральные позиции в исследовании перспектив развития, он позволяет выделить те направления, которые внесут существенный вклад в достижение цели, решение проблем. Метод Дельфи базируется на опросе экспертов или респон дентов. Цель опросов – не только предоста вить аналитикам информацию для последующей обработки, но и обеспечить обратную связь с респондентами. Дельфи подразумевает не разовый опрос, а как минимум две итерации опроса одной и той же группы респондентов (от трех до восьми). В последующих турах, помимо того же набо ра вопросов, респондентам предоставляются обобщенные ре зультаты опросов, полученные на предыдущих этапах. Дорожная карта – графическое отображение путей и этапов развития. Базируется на хо рошо известном методе оценки и анализа программ – PERT, который в виде схемы (графа) изображает шаги, которые необходимо сделать на пути к достижению цели. Сценарий – дорожная карта, вписанная в прогнозируемые геополитические, экономиче ские социальные условия. и
Научная и технологическая платформа Форсайта 54 Научная и технологическая платформа должна вклю чать следующие блоки. – долгосрочные стратегические цели; – краткую характеристику стартовых условий, включая сильные и слабые стороны, открывающиеся новые возможности и угрозы: – стратегические направления для достижения поставлен ных елей; ц – приоритетные направления развития ; – план действий и комплекс механизмов и мер для поддержки приоритетных технологий.
Научная и технологическая платформа Форсайта – общий взгляд 55
Литература 56 1. Бейтсон. Г. Экология разума, СМЫСЛ, М. , 2000. 2. Берж. К. Теория графов и ее применение, ИЛ, М. , 1962. 3. Дубовский С. В. Объект моделирования - цикл Кондратьева, Математическое моделирование, т. 7, N 6. / 1995. 4. Калужанин Л. А. , В. И. Сущанский. Преобразования и перестановки, М. , Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 5. Оре О. Графы и их применения, “Мир”, М. , 1965. 6. Плотинский Ю. М. Модели социальных процессов. - М. : Логос, 2001. 7. Робертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным биологическим и экологическим задачам, Наука-Физматлит, 1986. 8. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование (Идеи, методы и примеры), Наука-Физматлит, 1997. 9. Толстова Ю. Н. Концептуальное моделирование предметной области исследования при изучении социальной напряженности//Традиции и современность в социологии. – М. : МАКС Пресс, 2001 – 324 с. 10. Шведовский В. А. Детерминизм и статистичность в динамических моделях, Соц. Ис, 1985, 1. 11. Шведовский В. А. , Шведовская Т. Л. Информационно-потоковый подход к формированию информационно культурного кода, Российский монитор, 8, 1997. 12. Шведовский В. А. Социальные коды России и проблема выбора направления ее стратегического развития, II Всероссийская научная конференция "Россия XXI век" (тезисы докладов), Совет Федерации Федерального Собрания РФ, Министерство науки и технологий РФ, Российская Академия Наук, Министерство образования РФ, М. , 1999. 13. Ядов В. А. Социологическое исследование: методология, программы, методы, М. , Наука, 1987. 14. Яковец Ю. В. Циклы Кризисы Прогнозы, Наука, М. , 1999.
Литература 57 15. Шведовский В. А. О языке сопровождения вычислительного эксперимента для математических моделей социальных процессов // Математическое моделирование социальных процессов. – М. , 1989 16. Плотинский Ю. М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов, Логос, М. , 1998 г. 17. Лебедев В. В. Математическое моделирование социальных процессов, 1998 18. Математические методы в современной буржуазной социологии (под ред. Э. П. Андреева и Г. В. Осипова), 1966. 19. Моделирование социальных процессов (под ред. Э. П. Андреева и Ю. Н. Гаврильца) 1970. 20. Найдыш В. М. Концепции современного естествознания, Гардарики, М. , 1999, стр 395 418. 21. Чайковский Ю. В. О познавательных моделях // Исследования по математической биологии. – Пущино, 1996 22. Шикин Е. В. , Шикина Г. Е. Математика: Пути знакомства; Основные понятия; Методы; Модели: Учебник для вузов. Изд. 2 е, испр. , доп. Серия: Гуманитариям о математике, 2001, 272 с. Гуманитариям о математике/ Центр естественно научного образования гуманитариев – М. : Агар, 1999 – 332 с. 23. Гребнев Л. С. Философия экономики, Луч, 1991. 24. Кочетов Э. Г. Геоэкономика, 1999. 25. Яблоков А. В. , Юсуфов А. Г. Эволюционное учение, “Высшая школа’, М. , 1998, стр. 235. 26. Мешкова и др. Введение в психогенетику человека, М. , 1999. 27. А. Кофман, Р. Фор. Займемся исследованием операций, «МИР» , М. , 1966. 28. Гоппа В. Д. Введение в алгебраическую теорию информации, Физмат. , М. , 1995. 29. Бехтерев В. М. Когнитивная рефлексология, Колос, Петроград, 1921. 30. Каракозова Э. В. Моделирование в общественных науках, ВШ, М. , 1986.
Скачать презентацию ФГОУ ДПО Институт дополнительного профессионального образования Моделирование
Моделирование соц.-эконом. процессов.pptx