ФГБОУ ВПО Кемеровский государственный университет Гейдаров Назим Абульфат оглы Решение задач о течении однородной вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданном перепаде давления Научный руководитель: д. ф. -м. н. , профессор Захаров Ю. Н. Специальность 05. 13. 18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Кемерово - 2011
Актуальность задачи Для стационарной системы Навье-Стокса: классическая постановка «в скоростях» , постановка «в давлениях» Постановка задачи «в давлениях» применяется в тех случаях, когда • источником движения является перепад давления • В ходе численного эксперимента нет возможности изменять размеры области течения • Сложно или невозможно задать вектор скорости на границах протекания Такова, например, задача о течении в затопленной шахте 2
История вопроса Существование и единственность решения задачи «в давлениях» обсуждаются в работах Рагулина, Ананьева, Волкова, Переверзева. Показаны существование и единственность решения нестационарной задачи «в давлениях» , существование обобщенного решения стационарной задачи «в давлениях» . Известны • Теорема о существовании и единственности решения нестационарной задачи «в давлениях» . Рагулин В. В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора / В. В. Рагулин // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. – Новосибирск, 1976. – Вып 27. – С. 78 -92 • Теорема о существовании и единственности решения стационарной задачи «в скоростях» , если параметр вязкости достаточно велик. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. / Р. Темам // М. : Мир. – 1981. 3
История вопроса • Расчеты течений, вызванных перепадом давлений, в каналах с прямолинейными стенками, параллельными осям координат проведены в работах Дорфмана А. Л. , Кузнецова Б. Г. , Мошкина Н. П. , Смагулова Ш. , Карякина В. Е. , Карякина Ю. Е. Авторами, исходя из предполагаемого решения, фиксируются компоненты вектора скорости на участках протекания границы, что не всегда возможно. Данное обстоятельство не позволяет исследовать течения в более сложных областях. • Приведены примеры практических задач, требующих решения в постановке «в давлениях» Conca C. , Murat F. , Pironneau O. The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions involving the pressure // Japan. J. Math. 1994. V. 20. P 279 -318 4
Цель работы Построить технологию решения стационарной задачи о течении вязкой однородной несжимаемой жидкости в канале при заданном перепаде давления и продемонстрировать ее применение при решении ряда задач. Задачи • • • Адаптировать метод неполной аппроксимации для решения стационарной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости, вызванном заданным перепадом давления. Найти способ замыкания системы нелинейных алгебраических уравнений, к решению которой сводится задача о течении жидкости. Провести численные эксперименты для обоснования методики решения исследуемой задачи. 5
Основные результаты • Предложена оригинальная технология решения задачи о течении вязкой однородной несжимаемой жидкости в канале при заданном перепаде давления. • Впервые построено градиентное обобщение метода последовательной верхней релаксации решения систем линейных алгебраических уравнений. • Построен оригинальный метод последовательной верхней релаксации для решения систем билинейных алгебраических уравнений. • Разработан и зарегистрирован программный комплекс для решения задачи о течении вязкой однородной несжимаемой жидкости, вызванном заданным перепадом давления. • Решены двух- и трехмерные задачи о течении, вызванном заданным перепадом давления. Показано, что в случае, когда постановка условий на компоненты вектора скорости затруднена на участках протекания границы, предлагаемая в работе технология позволяет найти решения, для которых выполнены базовые физические принципы и допущения. 6
Глава I Моделирование течений вязкой однородной несжимаемой жидкости в канале • • Описание математической модели. Аппроксимация на разностной сетке. Применяемые методы решения. Обзор разработанного программного комплекса. 7
Дифференциальная постановка - Вектор скорости - Кинематическая вязкость - Вектор единичной касательной Краевые условия (1) (2) На KL (3) На MN (4) 8
Аппроксимация Введем в области На сетку с сеточной границей аппроксимируем краевые условия Т. о. получена прямоугольная система билинейных алгебраических уравнений размерности – вектор неизвестных, – известный вектор правой части - числовая матрица, элементы которой линейно зависят от - числовая матрица 9
Замыкание системы Для замыкания системы аппроксимируем уравнения внутрь области течения. Для компоненты на правой стенке MN Также аппроксимируется уравнение неразрывности. На верхней границе LM 10
Метод решения Для решения использовался метод неполной аппроксимации (5) – произвольный вектор начального приближения для метода - вектор, -й элемент которого равен 1, а остальные равны 0 - числовые итерационные параметры - числовой параметр либо диагональная матрица Итерационный параметр выбирается из условия минимума нормы невязки по явным формулам Кардано Итерационные параметры выбираются из условия минимума норм промежуточных невязок 11
Метод решения Пусть параметр является диагональной матрицей Первый шаг схемы (5) записывается в виде (6) где - вектор, -й элемент которого равен , а остальные равны 0, Итерационный параметр выбирается из условия минимума нормы (6) является методом ПВР решения систем билинейных уравнений с покомпонентной вариационной оптимизацией параметров – диагональная, – нижнетреугольная часть матрицы 12
Метод решения • Оптимальные итерационные параметры метода находятся по явным формулам Кардано как решения кубического уравнения • В случае линейности матрицы системы метод является градиентным обобщением метода ПВР • Для метода доказано убывание функционала невязки • Возможна многопараметрическая минимизация функционалов невязки • Второй шаг метода позволяет находить итерационные параметры, учитывая структуру матрицы системы • Возможно использование асимптотического свойства 13
Итоги главы I • Используемая аппроксимация позволяет замкнуть разностную задачу. • Используемый итерационный метод является методом последовательной верхней релаксации решения систем билинейных алгебраических уравнений с покомпонентной вариационной оптимизацией параметров. Итерационные параметры метода находятся по явным формулам. • Предложено градиентное обобщение метода ПВР решения систем линейных алгебраических уравнений. • Применяемые алгоритмы реализованы в зарегистрированном программном комлпексе. 14
Глава II Технология решения исследуемой задачи • Технология численного решения • Тестовые расчеты 15
Проблемы численного решения стационарной задачи «в давлениях» • Для стационарной задачи «в давлениях» нет доказанных теорем о единственности решения. • Отсутствуют условия на нормальную компоненту вектора скорости на участках протекания. • Краевые условия на давление заданы лишь на части границы. При этом необходимо согласование заданных функций и замыкающих уравнений. • При решении системы нелинейных уравнений возникают проблема сходимости, выбор начального приближения, возникновение побочных решений. • Функция давления не определяет направление вектора скорости на границе. 16
Технология решения стационарной задачи «в давлениях» 1. На разностной сетке методом контрольного объема аппроксимируем исходную систему уравнений. На тех участках границы где отсутствуют краевые условия замыкаем разностную схему, аппроксимируя исходные уравнения внутрь области решения. В итоге получаем систему билинейных уравнений. 2. Полученная система может иметь не одно решение, поэтому для полученной системы используем метод решения систем нелинейных уравнений, минимизирующий функционал невязки и сходящийся к какому -либо из этих решений. 3. В силу нелинейности разностной задачи могут возникнуть побочные решения, не являющиеся решениями исходной дифференциальной задачи. Решаем разностную задачу на сетках со все более мелким шагом. 4. Проверяем, соответствует ли полученное решение задаче «в скоростях» . Для этого решаем новую задачу «в скоростях» задавая на границах рассчитанные значения скорости. 5. Для отсева неустойчивых решений решаем задачи с возмущенными краевыми условиями. 17
Тестовые расчеты Moshkin N. Steady viscous incompressible flow driven by a pressure difference in a planar T-junction channel. / Moshkin N. , Yambangwi D. // Intern. J. of Comput. Fluid Dyn. – 2009. – Vol. 23. – N 3. – P 259 -270. Захаров, Ю. Н. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики / Ю. Н. Захаров // Новосибирск: Наука, 2004. – 239 с. Исаев С. А. Численное исследование интегральных характеристик течения в прямоугольной выемке / С. А. Исаев // Численные методы механики сплошных сред. – Новосибирск, 1983. – Т. 14, № 5. – С. 70 -78. Течения не зависят от наличия/отсутствия условия (4) о нулевой касательной составляющей 18
Разветвляющийся канал До проведения расчета нет информации о поле скоростей вблизи границы , постановка краевых условий на скорость затруднена. Предлагаемая технология позволяет найти решение. Выполнен закон сохранения массы, уравнение неразрывности. 19
Итоги главы II • Как показали тестовые расчеты, предложенная в работе технология успешно применяется при решении двух- и трехмерных стационарных задач о течении, вызванном заданным перепадом давления. • Предложенная технология позволяет найти решение в тех случаях, когда постановка условий на вектор скорости на входе и выходе из канала может быть затруднена (т. к. при различных перепадах давления течение может быть направлено как внутрь канала, так и вовне, что не всегда возможно определить до проведения расчета). 20
Глава III Применение технологии при решении задачи о свободном истечении • Решение задачи о свободном истечении • Примеры решения задач о свободном истечении • Решение задачи о течении в каналах с внутренними источниками 21
Свободное истечение К используемой технологии добавляем следующий пункт 2. 1: На выходной границе для определения всех компонент вектора скорости используется аппроксимация внутрь области течения всей системы уравнений. 22
Течение с фильтрацией через нижнюю стенку На (нижняя стенка канала): 23
Течение при наличии внутренних источников/стоков 24
Течение в трубах с закрученным на входе потоком На входной стенке задается поле скоростей 25
Итоги главы III • с помощью предложенной технологии решены стационарные задачи о течениях, вызванных заданным перепадом давления: задача о течении в канале с фильтрацией, о течении при наличии внутренних источников, о течении с закрученным на входе потоком. • При решении задачи о свободном истечении предлагаемая в работе технология позволяет найти решения, для которых выполнены базовые физические принципы и допущения. 26
Заключение • В работе приведена технология решения стационарной задачи о течении вязкой однородной несжимаемой жидкости в канале при заданном перепаде давления, применяемая при решении двух- и трехмерных задач. Данная технология позволяет разрешить основные трудности, возникающие при решении указанных задач. • Метод решения системы билинейных уравнений, являющийся вариантом метода ПВР для нелинейного случая, успешно применяется для решения возникающих в результате аппроксимации систем нелинейных уравнений. • Предложенное в работе градиентное обобщение метода ПВР позволяет находить решения систем линейных алгебраических уравнений. • Разработанный программный комплекс может применяться при решении задач о течениях жидкости, вызванных заданным перепадом давления. • С помощью предложенной технологии решены двух- и трехмерные задачи о течении вязкой однородной несжимаемой жидкости в каналах при заданном перепаде давления. 27
Список основных публикаций по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК • Гейдаров Н. А. Решение стационарной задачи о течении вязкой жидкости в канале, вызванном заданным перепадом давлений, при наличии внутренних источников / Н. А. Гейдаров, Ю. Н. Захаров, Ю. И. Шокин // Вычислительные технологии. – 2010. – Т. 15, № 5. – С. 14– 23. • Geidarov, N. A. Solution of the problem of a viscous fluid flow with a given pressure differential / N. A. Geidarov, Yu. N. Zakharov, Yu. I. Shokin // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. – 2011. – Vol. 26, No. 1. – P. 39– 48. Публикации в рецензируемых журналах • Гейдаров Н. А. О треугольных методах решения систем линейных и нелинейных уравнений с вариационной оптимизацией параметров / Н. А. Гейдаров, Ю. Н. Захаров // Вестник Кем. ГУ. – 2009. – № 2 (38). – С. 34– 39. Публикации в трудах международных и всероссийских конференций • Гейдаров Н. А. Течение вязкой жидкости при заданном перепаде давления и наличии проницаемой стенки. / Н. А. Гейдаров, Ю. Н. Захаров // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-20: сб. трудов XX Международной научной конференции. В 10 т. – Т. 1. , Секция 1. – Ярославль: Изд-во Яросл. Гос. Техн. Ун-та. – 2007. – С. 225 -226 28
• • • Гейдаров Н. А. Об одной краевой задаче для системы уравнений Навье-Стокса / Н. А. Гейдаров, Ю. Н. Захаров // Совместный выпуск по материалам Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» 10 -14 сентября 2008 г. «Вычислительные технологии» . «Вестник Каз. НУ им. Аль-Фараби» . Серия: математика, механика, информатика – Т. 13. – № 3(58). Часть II. – Алматы - Новосибирск: Изд-во Казахского национального университета им. Аль-Фараби. – 2008. – С. 147 -151. Гейдаров Н. А. Метод решения задачи о течении в канале вязкой несжимаемой жидкости при заданном перепаде давления / Н. А. Гейдаров, Ю. Н. Захаров // Инновационные недра Кузбасса. IT-технологии: сборник научных трудов. – Кемерово, 2008. – С. 303 -308. Гейдаров Н. А. Решение задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в канале, вызванном заданным перепадом давления / Н. А. Гейдаров, Ю. Н. Захаров // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: труды XXI Всероссийской конференции, Кемерово – Новосибирск, 2009. – С. 66– 72. Geidarov N. A. About gradient extension over relation method of solution of system of linear and nonlinear algebraic equations / N. A. Geidarov, Yu. N. Zakharov // Proceedings of International Conference “Mathematical and Informational Technoklogies MIT-2009” (Kopaonik, Serbia, Budva, Montenegro). – Kosovska Mitrovica. – 2009. – P. 135 -139. Geidarov N. A. Stability of solution of stationary viscous incompressible fluid flow produced by a given pressure drop problem / N. A. Geidarov, Yu. N. Zakharov // Proceedings of International Conference “Mathematical and Informational Technoklogies MIT-2009” (Kopaonik, Serbia, Budva, Montenegro). – Kosovska Mitrovica. – 2009. – P. 140 -143. 29
30
БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ! 31
Нестационарная задача «в давлениях» : теорема о существовании и единственности решения Рассмотрим систему уравнений (*) - непроницаемые твердые стенки, - участки протекания Если норма эквивалентна норме , то существует единственное сильное решение задачи (*) в Рагулин В. В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора / В. В. Рагулин // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. – Новосибирск, 1976. – 32 Вып 27. – С. 78 -92
Стационарная задача «в скоростях» : теорема о существовании и единственности решения Рассмотрим следующую систему уравнений (*) Пусть Норма настолько мала, что настолько велико, что где такое, что Тогда задача (*) имеет единственное решение Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. / Р. Темам // М. : Мир. – 1981. 33
Приведение к безразмерному виду Задача: медленное течение воздуха в трубах системы вентиляции Характерная скорость: 0. 01 м/сек Кинематическая вязкость воздуха: Диаметр вентиляционной трубы: 0. 4 м. м 2/с – максимальная скорость на входе в канал, характерная скорость задачи – ширина канала, характерная длина задачи При м. значение перепада давления Па. Переход к безразмерным величинам: 34
Скачать презентацию ФГБОУ ВПО Кемеровский государственный университет Гейдаров Назим Абульфат
!Гейдаров Н.А.ppt