Фазовые портреты релейных систем Рассмотрим нелинейную систему второго

Фазовые портреты релейных систем Рассмотрим нелинейную систему второго порядка (рисунок 1), с нелинейностью релейного типа общего вида (рисунок 2). x=F(y) c y x -b 2 -b 1 НЗ b 1 b 2 y -c Рисунок 1. Структурная схема САР Рисунок 2. Характеристика нелинейности Математическое описание нелинейности: при dy/dt > 0: при dy/dt < 0: (1) (2) Уравнение линейной части получим из передаточной функции. Учтём, что обратная связь отрицательная, т. е. при увеличении y воздействие х должно уменьшаться: (3) Представим уравнение (3) в виде двух уравнений первого порядка: (4) и (5)

(6) Поделив (5) на (4), получим диф. уравнение фазовых траекторий: В соответствии с (2) и (3) на фазовой плоскости можно выделить три области: х = -с; . х = 0; х = +с. На рисунке 3 области разделены штриховыми линиями переключения. Область I (х = - с). I I Уравнение (6) в этой области III I Решать удобнее, «перевернув» уравнение: kc b 2 Разделим переменные: -b 1 Уравнение фазовых траекторий где С 1 – постоянная (начальные условия). Это кривые, стремящиеся сверху к асимптоте kc. Область II (х = 0): откуда y b 1 -kc IIIʹ I Iʹ Рисунок 3. Фазовый портрет Это наклонные прямые. Область III (х = + с). Проделав то же, что и для области I, получим Эти траектории стремятся сверху к асимптоте -kc. Для областей Iʹ, IIIʹ (z < 0) получим аналогичную картину. Отрезок -b 1 – +b 1 - это особый отрезок равновесных состояний.

Фазовые траектории спиралевидные, что соответствует затухающим колебаниям. Колебания затухают не до нуля, а до произвольного значения внутри зоны нечувствительности реле в интервале -b 1 < y < +b 1 (рисунок 4). y Следовательно, имеет место особый отрезок, а не особая точка. От начальных условий зависит, по какой b 1 фазовой траектории пойдёт переходной процесс. t -b 1 В случае чисто петлевой характеристики (рисунок 5) на фазовом портрете будут отсутство. Рисунок 4. Переходной F(y) вать зоны II и IIʹ (рисунок 6). процесс Линии переключения будут b 1 y -b 1 проходить через значения y = -b 1 и y z I I = b 1. Снаружи фазовые траектории обра. III I Рисунок 5 зуют сходящиеся спирали, а изнутри – расходящиеся. Следовательно, среди фазовых траекторий имеется -b 1 y предельный цикл, к которому стремятся фазовые траекb 1 тории (выделен). Это устойчивый предельный цикл, следовательно, при любых начальных условиях система в конце концов перейдёт в режим ? автоколебаний. IIIʹ I Iʹ Амплитуда и частота автоколебаний не зависят от начальных условий, а зависят только от внутренних Рисунок 6 свойств системы. Колебания будут происходить около петли реле с амплитудой, превышающей половину ширины петли b 1.