Факультет высоких технологий ЮФУ Вычислительная математика Муратова Галина

Факультет высоких технологий ЮФУ Вычислительная математика Муратова Галина Викторовна muratova@sfedu. ru

Лекция 6 Вычислительный алгоритм Вычислительный метод, доведенный до степени детализации, позволяющий реализовать его на ЭВМ, принимает форму вычислительного алгоритма. Определим вычислительный алгоритм как точное предписание действий над входными данными, задающее вычислительный процесс, направленный на преобразование произвольных входных данных (из множества допустимых для данного алгоритма входных данных ) в полностью определяемый этими входными результат. 2 данными

Определение корректности алгоритма К вычислительным алгоритмам, предназначенными для широкого использования, предъявляется ряд весьма жестких требований. Первое из них – корректность алгоритма. Будем называть вычислительный алгоритм корректным, если выполнены три условия: 1) он позволяет после выполнения конечного числа элементарных для вычислительной машины операций преобразовать любое входное данное в результат ; 2) результат устойчив по отношению к малым возмущениям входных данных; 3) результат обладает вычислительной устойчивостью. Если хотя бы одно из перечисленных условий не выполнено, то будем называть алгоритм некорректным. 3

Примеры Пример 6. 1. Известный алгоритм деления чисел «углом» некорректен, так как он может продолжаться бесконечно, если не определен критерий окончания вычислений. Пример 6. 2. Отсутствие критерия окончания делает некорректным и алгоритм Ньютона вычисления (см. пример). Пример 6. 3. 4 Алгоритм вычисления корней квадратного уравнения по формулам некорректен, если он предназначен для использования на вычислительной машине, на которой не реализована операция извлечения квадратного корня.

Устойчивость по входным данным Устойчивость результата к малым возмущениям входных данных (устойчивость по входным данным) означает, что результат непрерывным образом зависит от входных данных при условии, что отсутствует вычислительная погрешность. 5

Пример 6. 4. Пусть алгоритм предназначен для вычисления корней квадратного уравнения с коэффициентами, удовлетворяющими условию Если в нем используются формулы корней, то этот алгоритм некорректен. В самом деле, значение приближенно заданным коэффициентам , отвечающее и может оказаться отрицательным, если Тогда вычисления завершатся аварийным остановом при попытке извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Если же в формуле (3. 2) заменить 6 становится корректным. на , то алгоритм

Вычислительная устойчивость Из-за наличия ошибок округления при вводе входных данных в ЭВМ и при выполнении арифметических операций неизбежно появление вычислительной погрешности. Ее величина на разных ЭВМ различна из-за различий в разрядности и способах округления, но для фиксированного алгоритма, в основном, величина погрешности определяется машинной точностью Назовем алгоритм вычислительно устойчивым, если вычислительная погрешность результата стремится к нулю при Обычно вычислительный алгоритм называют устойчивым, если он устойчив по входным данным и вычислительно устойчив, и неустойчивым, если хотя бы одно из этих условий не выполнено. 7 Вычислительная неустойчивость алгоритма часто может быть выявлена благодаря анализу устойчивости по входным данным, т. к. неустойчивость к малым ошибкам округления входных данных автоматически свидетельствует о вычислительной неустойчивости алгоритма.

Пример 6. 5 Предположим, что величины для вычисляются по рекуррентной формуле (3. 19) а величина Пусть задана. - заданное приближенное значение величины . Тогда (если вычисления ведутся абсолютно точно) определяемые по формуле (3. 19) приближенные значения содержат ошибки, связанные равенством 8

Пример 6. 5 Следовательно, и при выполнении условия алгоритм устойчив по входным данным, поскольку для всех Если же то и абсолютная погрешность неограниченно возрастает при В этом случае алгоритм неустойчив по входным данным, а потому и вычислительно неустойчив. 9

Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам Корректность Хорошая обусловленность (чувствительность результата работы алгоритма к ошибкам округления) Экономичность (кол-во элементарных операций) Точность Экономия памяти Простота 10

Благодарю за внимание muratova@sfedu. ru Вопрос для размышлений: Какие методы сложнее- для решения линейных или нелинейных уравнений? 11