Faculty of Electrical Engineering Technology טכנולוגי לישראל

Faculty of Electrical Engineering Technology טכנולוגי לישראל הטכניון – מכון Technion – Israel Institute of הפקולטה להנדסת חשמל המעבדה לבקרה פרויקט ב' קורס מס': 961440 אופטימיזציה של מסלול טיסה מבצע: יקותיאל אברג'ל מנחה: ד"ר אהרון בר-גיל מרץ 4002 1 313966160

הצגת הבעיה • צורך עיקרי בטיסה במטוס קל ) (GA או מסוק בתנאי אל-ראות, כאשר קיים צורך בטיסה בטיחותית. • שימוש בטכנולוגיות חדישות: 1. (Digital Terrain Mapping) DTM 2. (Global Positioning System) GPS • יצירת מסלולי טיסה אופטימליים תלת-מימדיים, תוך הגדרה ופתרון של בעיית אופטימיזציה. 2

מטרות המחקר • עצוב המסלולים - מינימיזציה לפונקצית מחיר המשקפת פשרה בין מספר קריטריונים. • דרישות עיקריות: מחיר מסלול מינימלי. קבלת עדכון מסלול בריצה של עשרות שניות בודדות. • בחינת אלגוריתמים למציאת מסלול טיסה אופטימלי. 3 • בניית User Interface להפעלת מודול אופטימיזציה:

סקר ספרות • Rippel E. , “Real-Time Digital-Map- Based Algorithms For General Aviation Flight Trajectory Generation”, Dept. of Electrical Engineering, Technion, Haifa, October 2003. • Tsitsiklis J. N. , “Efficient Algorithms for Globally Optimal Trajectories”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 40, No. 9, September 1995. • Kimmel R. and Sethian J. A. , “Computing Geodesic Path on Manifolds”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 95, pp. 8431 -8435, July 1998. • Cormen T. H. , Leiserson C. E. , and Rivest R. L. , Introduction to Algorithms, The MIT Press/Mc. Graw-Hill, 1990. 4

ניסוח מודל הטיסה • וקטור המצב של המטוס: • בקרות הטיסה: • משוואות המצב: 5

פונקצית המחיר • הגדרת פונקצית מחיר - השוואה בין מסלולים שונים. • רכיבי פונקצית המחיר: 1. זמן 2. גובה 3. איכויות טיסה 4. עומס על הטיס • פונקצית המחיר הכוללת: 6 } זמן, גובה, איכויות טיסה, עומס על הטיס {

דיסקרטיזציה • סכמת דיסקרטיזציה מבוססת שריג תלת-מימדי - הפיכת הבעיה לחיפוש אופטימלי בגרף סופי. • הגדרת נקודה במרחב הדגום: הינם מרווחי הדגימה. כאשר, • הגדרת זוויות במרחב הדגום: 2 נקודות במרחב 7

פונקצית המחיר הדיסקרטית • הגדרת קודקוד לפי שתי נקודות במרחב לשם התחשבות בזוויות. • הגדרת קודקוד : • רכיבי פונקצית המחיר: 1. זמן 2. גובה 3. איכויות טיסה 8 4. עומס על הטיס .

אלגוריתמי חיפוש גראפיים )1( • שימוש בדיסקרטיזציה להפיכת הבעיה לחיפוש אופטימלי בגרף סופי. • גרף מכוון משוקלל : - סט הקודקודים בגרף. - סט הקשתות בגרף. כל משקלות הקשתות הינם אי-שליליים. • חישוב המחיר בקודקוד נוכחי מתבצע לפי המחיר בקודקוד הקודם לו: 9

אלגוריתמי חיפוש גראפיים )2( • קיימים שני סוגי אלגוריתמים: 1. אלגוריתמים לא עקביים – לא בהכרח מתכנסים במדויק לפתרון הרציף. לדוגמא: . Dynamic Programming , Dijkstra 2. אלגוריתמים עקביים – מתכנסים לפתרון הרציף עבור שריג צפוף מספיק. לדוגמא: . Tsitsiklis , Fast Marching 01

אלגוריתם Dynamic Programming • טכניקת ה- : DP פירוק הבעיה לרצף של בעיות מינימיזציה פשוטות יותר. ל- • מחיר אופטימלי למעבר מ- ב כאשר, מחיר הקשת מ- קודקוד היעד. • סיבוכיות האלגוריתם: 11 . ל- . צעדים:

אלגוריתם Dijkstra • התחל מקודקוד המקור - . • חשב את המחיר של כל שכני המקור. • בצע תהליך ) Relaxation הקלה(. • תור קדימויות – סדר את הקודקודים בתור, בהתאם לערך מחירם. • בחר את הקודקוד בעל המחיר המינימלי )ראש התור(. • חשב את מחיר שכניו וחזור על התהליך. 21 • סיבוכיות האלגוריתם: .

אלגוריתם (1) Fast Marching • האלגוריתם בנוי משני חלקים עיקריים: ע"י פתירת חלק 1: בניית משטח המחיר המשוואה האיקונלית ) : (Eikonal Equation כאשר - מחיר הקודקוד. חלק 2: מציאת מסלול מינימלי לפי ירידה בכיוון השלילי של הגרדיאנט. 31

אלגוריתם (2) Fast Marching • בעבודה זו- ייחוס פונקצית המחיר לנקודת שריג נוכחית בלבד • אי-התייחסות לרכיבי פונקצית המחיר המתחשבים ברכיבי תאוצת המטוס: עומס על הטיס. - איכויות טיסה. 41 • סיבוכיות האלגוריתם: .

אלגוריתם (1) Tsitsiklis • פתרון משוואת המילטון-ג'קובי הדיסקרטית לחישוב המחיר האופטימלי: • סכמת דיסקרטיזציה: מרווח הדיסקרטיזציה. אלמנט מ- - וקטורי יחידה ב- . . - סקלרים אי-שליליים המקיימים: 51

אלגוריתם (2) Tsitsiklis • פונקצית המחיר של קודקוד )טיסה בגובה קבוע(: • מציאת מסלול מינימלי לפי ירידה בכיוון השלילי של הגרדיאנט. • סיבוכיות האלגוריתם: 61 .

ממשק טיס למודול אופטימיזצית מסלול - GUI מטרות: • בחינת השפעת שינויים ברכיבי פונקצית המחיר. • חקר השוואתי בין ביצועי אלגוריתמים שונים. • הפעלה נוחה ופשוטה של התוכנה )לשימוש בטיסה(. 71

תוצאות וחקר ביצועים • סביבת הרצה: * מעבד: Intel, Pentium 3, 1000 MHZ, 384 MB RAM * מערכת הפעלה: 0002 Microsoft Windows * תוכנת עבודה: 5. 6 MATLAB • השוואה בין Tsitsiklis לבין – Dijkstra בדיקת עקביות. • השוואה בין Tsitsiklis לבין – Fast Marching בדיקת יעילות. 81

השוואת Tsitsiklis ל- Dijkstra • זמן ריצה: - Tsitsiklis - Dijkstra 11. 9 sec 9. 4 sec נובע מהבדלים בסיבוכיות חישוב פונקצית המחיר • מחיר המסלול ב- Tsitsiklis גדול בכ- %41 ממחיר המסלול ב-. Dijkstra 91 • Tsitsiklis מניב מסלול חלק ללא תנועות חדות, לעומת מסלול חד וגס ב- . Dijkstra

השוואת Tsitsiklis ל- (1) Fast Marching ירידה בכיוון הגרדיאנט • זמן ריצה: 27. 1 sec - Tsitsiklis 19. 4 sec - Fast Marching 02 • מסלולים זהים בשני האלגוריתמים. נובע מהבדלים בסיבוכיות חישוב פונקצית המחיר.

השוואת Tsitsiklis ל- (2) Fast Marching ירידה בכיוון הגרדיאנט • זמן ריצה: 12. 2 sec - Tsitsiklis 8. 7 sec - Fast Marching 12 • מסלולים זהים בשני האלגוריתמים.

(3) Fast Marching - ל Tsitsiklis השוואת 22

סיכום ומסקנות • טופלה בעיית אופטימיזציה: יצירת מסלולי טיסה אופטימליים. עיצוב וסיווג מסלולים בהתאם לפונקצית מחיר המשקפת פשרה בין מספר קריטריונים. • חיפוש אופטימלי בגרף סופי: אלגוריתמים לא עקביים. אלגוריתמים עקביים. • חק"ב בעזרת User Interface משופר: המסלול האופטימלי המתקבל ב- Tsitsiklis זהה לזה המתקבל ב- ) Fast Marching לא מפתיע(. זמן הריצה של Fast Marching מהיר יותר בכ- %52 )בממוצע( 32 מזמן הריצה של . Tsitsiklis