Евразийский открытый институт Кафедра естественнонаучных математических и общетехнических

Евразийский открытый институт Кафедра естественнонаучных, математических и общетехнических дисциплин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Проф. ВЕДЕНЯПИН Евгений Николаевич © Веденяпин Е. Н. 2013 1

Основная литература Красс М. С. , Чупрынов Б. П. «Математика для экономистов» , СПб. , Питер, 2007 Романников А. Н. «Линейная алгебра» , МЭСИ, 2003 © Веденяпин Е. Н. 2013 2

Виды учебных действий • лекции; • практические занятия; • выполнение практических заданий; • сдача рубежных контролей; • сдача итогового контроля. © Веденяпин Е. Н. 2013 3

Балльно-рейтинговая система • академическая активность (max 14 баллов) (посещаемость занятий max 7 баллов; выступления на практических занятиях max 7 баллов); • практические задания (4 ПЗ) (max 36 баллов); max • рубежные контроли ( 4 РК) (max 40 баллов); max • итоговый контроль (max 10 баллов). max Максимальное количество баллов – 100 © Веденяпин Е. Н. 2013 4

Правила выставления оценки Зачет Q<65 – «не зачтено» 65<Q – «зачтено» © Веденяпин Е. Н. 2013 5

ВВЕДЕНИЕ Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего мира. Цели изучения математики: • повышение общего кругозора культуры мышления, формирование научного мировоззрения; • получение навыков решения практических задач. © Веденяпин Е. Н. 2013 6

Периоды развития математики • зарождение математики; • элементарная математика; • математика переменных величин; • современная математика. © Веденяпин Е. Н. 2013 7

Методы математики Основа математики – аксиоматический (дедуктивный) метод. Дедуктивная система изложения сводится: • к перечислению основных понятий; • к изложению определений; • к изложению аксиом; • к изложению теорем; • к доказательству этих теорем. © Веденяпин Е. Н. 2013 8

Аксиомы и теоремы Аксиома – это утверждение, принимаемое без доказательств. Теорема – это утверждение, вытекающее из аксиом. Доказательство – это рассуждение, показывающее, что истинность утверждения вытекает из истинности предыдущих теорем и аксиом. © Веденяпин Е. Н. 2013 9

О пользе математики «… Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства. …» Леонардо да Винчи Леонардо Да ВИНЧИ (1452 – 1519) © Веденяпин Е. Н. 2013 10

Кванторы Квантор – это логический оператор. Квантор - квантор всеобщности ( х «для любого х …» ) - квантор существования ( х «найдется х …» ) - логическое отрицание ( х «не х …» ) - логическое умножение (х у «х и у …» ) - логическое сложение (х у «или х, или у …» ) - знак включения ( х «х принадлежит …» ) - знак невключения ( х «х не принадлежит …» ) © Веденяпин Е. Н. 2013 11

1. Алгебра матриц Рассматриваемые вопросы: 1. 1. Определение матрицы 1. 2. Линейные операции над матрицами 1. 3. Транспонирование матриц 1. 4. Произведение матриц © Веденяпин Е. Н. 2013 12

1. 1. Определение матрицы 1. 1. 1. Матрица и ее элементы Матрица А размера mхn – это таблица из mхn чисел Сокращенная запись Элементы матрицы – это числа аij, из которых состоит матрица. © Веденяпин Е. Н. 2013 13

1. 1. 2. Положение элемента матрицы в таблице Индексы у элементов матрицы указывают положение этого положение элемента в таблице: • первый индекс – это номер строки, в которой находится индекс элемент; • второй индекс – это номер столбца. индекс © Веденяпин Е. Н. 2013 14

Примеры Пример 1 Найти элемент а 32 =2 Пример 2 Найти элемент а 23 =9 © Веденяпин Е. Н. 2013 15

1. 1. 3. Квадратная матрица – это матрица, у которой число строк равно числу столбцов, то есть m=n. Примечание: Для квадратной матрице число n называется порядком матрицы. © Веденяпин Е. Н. 2013 16

Примеры квадратных матриц Пример 1 Данная матрица является квадратной третьего порядка. Пример 2 Данная матрица является квадратной четвертого порядка. © Веденяпин Е. Н. 2013 17

1. 1. 4. Главная диагональ матрицы Главная диагональ квадратной матрицы – это упорядоченная совокупность элементов матрицы у которых номера строк и столбцов совпадают. Пример © Веденяпин Е. Н. 2013 18

Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой ненулевыми являются только элементы главной диагонали. Пример © Веденяпин Е. Н. 2013 19

1. 1. 5. Нулевая и единичная матрицы Нулевая матрица – это матрица, все элементы которой равны нулю. Пример © Веденяпин Е. Н. 2013 20

Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а внедиагональные элементы равны 0. Пример © Веденяпин Е. Н. 2013 21

1. 1. 6. Равенство матриц Две матрицы одинакового размера А=||aij|| и В =||bij|| называются равными другу (А=В), если их соответствующие элементы равными равны © Веденяпин Е. Н. 2013 22

1. 2. Линейные операции над матрицами 1. 2. 1. Сумма матриц А и В одинакового размера mxn – это матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц. Если то © Веденяпин Е. Н. 2013 23

Пример Пусть даны две матрицы Тогда © Веденяпин Е. Н. 2013 24

Свойства сложения матриц Коммутативность Ассоциативность Сложение с нулевой матрицей © Веденяпин Е. Н. 2013 25

1. 2. 2. Умножение матрицы на число Произведение матрицы А=||aij|| размера mxn на число - это Произведение матрица того же размера С=||сij||, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число © Веденяпин Е. Н. 2013 26

Пример Пусть дана матрица А и число =3 Элементами матрицы С, являющейся произведением матрицы А на число =3, являются Окончательно © Веденяпин Е. Н. 2013 27

Свойства произведения матрицы на число 1. 2. 3. 4. © Веденяпин Е. Н. 2013 28

1. 3. Транспонирование матриц 1. 3. 1. Определение операции транспонирования матрицы Транспонирование матрицы – это замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). © Веденяпин Е. Н. 2013 29

Краткая запись операции транспонирования © Веденяпин Е. Н. 2013 30

Пример 1. Пусть дана матрица А © Веденяпин Е. Н. 2013 31

Пример 2. Пусть дана матрица В © Веденяпин Е. Н. 2013 32

Свойства операции транспонирования 1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице 2. Главная диагональ квадратной матрицы не изменяется при транспонировании. © Веденяпин Е. Н. 2013 33

1. 3. 2. Симметричные матрицы Симметричная матрица – это квадратная матрица, у которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны другу © Веденяпин Е. Н. 2013 34

Пример Пусть А – симметричная матрица © Веденяпин Е. Н. 2013 35

Свойство симметричных матриц При транспонировании симметричная матрица не изменяется © Веденяпин Е. Н. 2013

1. 4. Произведение матриц 1. 4. 1. Определение произведения матриц Произведение матриц АВ – это матрица С = ||сij|| размера mхk, элементы которой определяются по формуле или кратко ВЫВОД. Элемент матрицы cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В. © Веденяпин Е. Н. 2013 37

Пример Для матриц А и В найдем их произведение АВ. (С) Веденяпин Е. Н.

Знак суммы Свойства знака суммы © Веденяпин Е. Н. 2013 39

Замечание Умножение матрицы А=||aij|| размера mхn на матрицу В=||bij|| размера lхk определено лишь для случая, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, то есть когда n=l. © Веденяпин Е. Н. 2013 40

Пример Найдем произведение матриц А и В © Веденяпин Е. Н. 2013 41

1. 4. 2. Некоммутативность произведения матриц Произведение матриц некоммутативно, то есть в общем случае некоммутативно произведение АВ не равно ВА © Веденяпин Е. Н. 2013 42