Эволюция теории действительного числа Цель Показать как

Эволюция теории действительного числа

Цель: Показать как на протяжение веков развивалось, становилось и изменялось понятия числа Используемая литература: Ø «Начала» Ø «Сочинения Архимеда» Ø «Всеобщая арифметика» Ø «Начала натурфилософии» I глава: Идет речь о становлении математики в Египте и Вавилоне II глава: Посвящена «Теория отношений пифагорейцев, Евдокса и ее дальнейшее развитие» III глава: Теория действительного числа в 19 веке

Древняя Греция (590 г до н. э. ) ØПифагор Самосский дал определение числа: Число – это собрание единиц, т. е. только целое положительное число ØОперировали с дробями вида ØЕ- неделима => греки говорили не о долях единицы а об отношении целых чисел , ØВсе пары чисел разбивались на непересекающиеся классы пар, имеющих одно и то же отношение:

ØВыбирали из множества пар, имеющих одинаковое отношение, наименьшую пару А, В, относительно которой доказывали: Ø 1)Если А, В, то 20); и СD, EI являются наименьшими из всяких , где m целое число. (предложение VII, 2) Числа, первые между собой, являются наименьшими из имеющих то же отношение (предложение VII, 21); 3) Наименьшие из имеющих то же отношение чисел будут первыми между собой (предложение VII, 22);

ØПонятие наименьшей пары в точности соответствует нашему понятию несократимой дроби. ØОткрытие несоизмеримых отрезков явилось поворотным пунктом в развитии математики (несоизмеримость диагонали и стороны квадрата) ØОткрытие несоизмеримости означало, что целых чисел и их отношений недостаточно для выражения отношений любых двух отрезков ØВывод: возникновение геометрической алгебры

Евдокс Книдский (408 – 355 г. до н. э. ) Развил теорию пропорций, которая принимала во внимание рациональные и иррациональные отношения Ø ØВеличина – обозначение сущностей: отрезки, углы, площади, объемы ØЧисло – есть отношение двух однородных величин ØЧисла составляются из наименьшей, неделимой величины, величины можно уменьшать бесконечно

ØЕвдокс охватил соизмеримые и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей ØУбрав из уравнений числа, он избежал необходимости назвать иррациональную величину числом ØЕвдокс работал только с положительными, целыми числами ØДал аксиоматику для сравнения величин ØДля однородных величин определены две операции: отделение части и соединение (взятие ратного)

ØДалее строит отношения и определяет на этом множестве равенство: Величины a, b имеют то же отношение, что и c, d, если для любых целых m и n: 1) либо ma > nb и mc > nd, 2) либо ma = nb и mc = nd, 3) либо ma< nd и mc < nd. Ø Вводит определение равенства отношений ØОтношения упорядочивает по величине (предложение 10, 13, 14) ØВводит понятия транзитивности отношений (предложения 11)

ØВводит понятия симметричности пропорциональности отношений a: b пропорциональность отношений c: d и a: b отношений: Из и c: d следует ØРассматривает пропорции: производные пропорции (предложениея 16, 17, 18, 19), теория сложных пропорций (предложения 20, 21, 22, 23) ØТеория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами.

Омар Хайам – комментарии к трудностям во введениях книги Евклида (12 век) ØХайям задачу сближения теории отношений чисел, изложенной в VII книге «Начал» , с общей теорией отношений V книги. Ø вводит новое определение пропорции, в котором равенство отношений сводится к совпадению их разложения в непрерывные дроби. тогда в том случае, если при выполнение равенства

Øвысказывается за введение делимой единицы и нового рода чисел, с помощью которых можно было бы выразить любые отношения величин ØХайям не только не противопоставляет числа непрерывным величинам, геометрию — арифметике, а намечает конкретные пути к выявлению единства противоположностей, к ликвидации пропасти между дискретностью и непрерывностью.

Теория действительного числа Дедекинда (19 век ) Ø Операция извлечения корня приводит к введению нового рода чисел, чисел иррациональных. Метод построения которых изложил Дедекинд. Ø Пусть мы каким-нибудь способом разбили все рациональные числа на два класса А и В, обладающие тем свойством, что каждое число а класса А менее каждого числа b класса В. Ø Будем говорить, что мы между ними установили в области рациональных чисел некоторое сечение. При котором могут представиться три случая. Ø 1

Ø 1. Среди чисел класса А есть некоторое число L, большее всех остальных чисел того же класса. Ø 2. Среди чисел класса В есть некоторое число L, меньшее всех остальных чисел того же класса. Ø 3. В классе А нет ни одного числа, большего всех остальных чисел того же класса, и в классе В нет ни одного числа, меньшего всех остальных чисел того же класса.

Основные отличия теории Дедекинда от теории Евдокса 1. У Евдокса отсутствовала аксиома непрерывности, которую ввёл Дедекинд. По Евдоксу, если задано отношение А : В, то оно определяет сечение, однако, не следует, что всякое сечение определяет одно отношение А : В. 2. Дедекинд оперирует с областью рациональных чисел, а Евдокс – с парами целых, не определены ни арифметические операции, ни отношения порядка. 3. Рассматриваемые Евдоксом отношения, являются группой и построенная группа коммутативна рассматриваемые Дедекиндом сечения образуют поле