Евклид и Николай Иванович Лобачевский Евклид ок

Евклид и Николай Иванович Лобачевский

Евклид (ок. 365 — 300 до н. э. ) — древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.

• Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно, что Евклид жил в Александрии и расцвет его деятельности приходится на время царствования в Египте Птолемея I Сотера. Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427— 347 до н. э. ), но старше Архимеда (ок. 287— 212 до н. э. ), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением т. н. платоновых тел, т. е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны — его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре» . С именем Евклида связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры) как науки.

• Евклид со свойственной ему страстью занялся числительной системой интервальных соотношений. Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино. А первопричиной появления этих музыкальных инструментов стала математика.

• Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства. • Бесконечность пространства характеризуется тремя постулатами: «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию» . «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой» . «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» . • Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат Евклида ( «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых» ) определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

• Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире. • Умер Евклид между 275 и 270 до н. э.

В истории науки часто бывает так, что истинное значение научного открытия выясняется не только через много лет после того, как это открытие было сделано, что особенно интересно, в результате исследований совсем в другой области знаний. Так произошло и с геометрией, предложенной Лобачевским, которая сейчас носит его имя.

Детство Лобачевский родился в 1792 году в Макарьевском уезде Нижегородской губернии. Отец его занимал место уездного архитектора и принадлежал к числу мелких чиновников, получавших скудное содержание. В 1797 году умер отец и мать, в возрасте двадцати пяти лет, осталась одна с детьми без всяких средств.

Детство В 1802 году она привезла троих сыновей в Казань и определила их в Казанскую гимназию, где очень быстро заметили феноменальные способности ее среднего сына.

В 1804 году старший класс Казанской гимназии был преобразован в университет, Лобачевского включили в число студентов по естественнонаучномуотделению.

• в 1811 году получил степень магистра; • в 1814 году получил звание адъюнкта чистой математики; • в 1816 году был удостоен профессорского звания.

«воображаемая геометрия» • Размышляя о постулатах Евклидовой геометрии, Лобачевский пришел к выводу, что по крайней мере один из них может быть пересмотрен. Основываясь на утверждении, что при определенных условиях прямые, которые кажутся нам параллельными, могут пересекаться, Лобачевский пришел к выводу о возможности создания новой, непротиворечивой геометрии, которую назвал «воображаемой геометрией» .

Сегодня различают три основные модели геометрии Лобачевского: Модель Пуанкаре Модель Клейна Модель Бельтрами 17

Последние годы жизни • Не видя вокруг себя людей, проникнутых его идеями, Лобачевский думал, что эти идеи погибнут вместе с ним.

Умирая, он произнес с горечью: «И человек родился, чтобы умереть» .

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.

5 Постулатов 1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 1. Через две точки можно провести одну и только одну прямую. 2. Прямая продолжается бесконечно. 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. 3. Из любого центра можно провести окружность любым радиусом. 4. Все прямые углы равны между собой 4. Все прямые углы равны между собой. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 6

Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°) На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. 7

Доказательство 5 постулата Н. И. Лобачевский пытался рассуждать о доказательстве 5 постулата по методу от противного. Допустив, что пятый постулат Евклида не верен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Тем самым он и будет доказан. Проведем доказательство: Допустим, что пятый постулат не верен: через точку А, не принадлежащую прямой в , можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с прямой в. 8

1. Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать прямую а' по часовой стрелке. В конечном итоге найдется такая прямая с', которая является предельным положением, до которого прямые не пересекают прямую b. 2. Отложим прямую с", симметричную с' относительно перпендикуляра АР, опущенного на b. Все будет аналогично. 3. Лобачевский называет эти прямые параллельными прямой b, причем с' параллельна прямой b вправо. 4. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b, именуются расходящимися с прямой b. Далее Н. И. Лобачевский доказал, что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга 9