Евкли д или Эвкли д (ок. 300 г. до н. э. ) Аксиоматика Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей. В «Началах» Евклида была дана следующая аксиоматика: - От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. - Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. - Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. - Все прямые углы равны между собой. - Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту.
Наглядное представление геометрии Лобачевского: через точку M проходят две прямые, параллельные прямой D Никола й Ива нович Лобаче вский — русский математик, создатель неевклидовой геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения.
Сферический треугольник Геометрия Римана — одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана — реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной. В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д. , но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В частности, в этой геометрии имеется теорема: сумма углов треугольника больше двух прямых. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г. ). Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость.