Этюды об инварианте Авторы Адилжанов Талап Сапаргалиев

Этюды об инварианте.

Авторы: Адилжанов Талап Сапаргалиев Азат

Цель работы: Изучить понятие «инварианты » ; Изучить методы решения нестандартных задач, уравнений через инварианты; Найти общие подходы при решении задач с использованием инвариантов; Обогатить математические знания; Выявить практическую значимость исследуемой темы.

Для выполнения поставленных целей потребовалось изучить литературные источники по теме исследования, а также ознакомиться с решением задач с применением инвариантов.

І. Введение. Многие любят математику, и мы входим в их число. Особенное удовольствие нам доставляет решение трудных и замысловатых головоломок. Наверное, по этой причине мы увлеклись олимпиадными задачами. Пытаясь разобраться в секретах их решения, мы натолкнулись на понятие «инвариант» . Возникло множество вопросов. На чем основано решение задач с помощью инварианта? Каким образом можно его найти? Какие существуют виды инварианта? Одним словом, что же это такое – инвариант? Для начала рассмотрим понятие инварианта. Инвариант значит "неизменный". Важность понятия инварианта обусловлена тем, что с его помощью можно выделить величины, не зависящие от выбора системы отсчёта, т. е. характеризующие внутренние свойства исследуемого объекта. Понятие инварианта — одно из самых общих понятий современной физики и современной математики. Однако произошло распространение его на иные области науки в каждом из научных направлений можно выделить то, что представляется для них инвариантным.

Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании. Полуинвариант – величина (свойство), изменяющаяся только в одну сторону (которая может только увеличиваться или только уменьшаться). Используется при доказательстве остановки процессов. Большинство задач требуют специальных знаний и подготовки, опыта в решении, умения думать, догадываться. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед, должно учить ориентироваться в различных ситуациях. К таким относятся задачи на раски, четность и нечетность, задачи на применение инварианта. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению нестандартных задач. Поэтому мы решили разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие идеи. Выяснили, что инвариант бывает в задачах, где мы имеем дело с какими-то операциями, с каким-то процессом, который изменяет данный в условии объект. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность), остаток от деления, знак произведения (встречаются и другие инварианты, например, перестановки, раски). Главная трудность при решении задач на инварианты состоит в его поиске. Нахождение инварианта является самым важным шагом на пути к решению задачи.

II. Поиск инварианта. 1. Инвариант - четность. Сформулируем наиболее важное утверждение, на котором основано применение идеи четности и нечетности. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых. Это утверждение используется при решении задач, где инвариантом является четность суммы. Приведем примеры: 1. Число 1+2+. . . +10 - нечетное, так как в сумме 5 нечетных слагаемых. 2. Число 3+5+7+9+11+13 - четное, так как в сумме 6 нечетных слагаемых. Важно понимать, число х+2 имеет ту же четность, что и число х (эти числа или оба четные, или оба нечетные), а числа а и а+1 имеют разную четность (если а – четное число, то а + 1 – нечетное, а если а – нечетно, то а + 1 – четно). Используя эти утверждения, можем приступить к решению следующих задач.

Задачи:

2. Инвариант – остаток от деления. Если в задаче, при делении данных чисел на какое-то число, остаток не изменяется, то, возможно, он является инвариантом. Для того, чтобы понимать, будет ли тот или иной остаток от деления инвариантом, решим следующие задачи.

Задачи:

3. Инвариант – знак произведения. Сформулируем наиболее важное утверждение, которое используется при решении задач, где в качестве инварианта выступает знак произведения: Знак произведения нескольких (отличных от нуля) чисел определяется четностью количества отрицательных множителей. Приведем примеры: 1. Число (-1) × (-2) × (-3) × (-4) положительно, так как в произведении четное число отрицательных множителей. 2. Число (-1) × 2 × (-3) × 4 × (-5) отрицательно, так как в произведении нечетное число отрицательных множителей. Применяя это утверждение, решим следующие задачи.

Задачи:

III. «Свои» задачи. Составление задач - непростое, но увлекательное занятие, которое дает возможность глубже понять идею решения задачи, а значит, - научиться решать более сложные задачи.

Заключение: Как нами отмечено, первоначально теория инвариантов имела приложение только при исследовании свойств чисел, но по мере своего развития эта теория получила большое значение в новейшей геометрии. Вследствие частого приложения к различным математическим исследованиям, учение об инвариантах получило большое развитие и в настоящее время составляет самостоятельную отрасль математики. Знание инвариантов служит опорой для правильного диалога с природой, для грамотного управления экономикой, государством, для построения искусственных объектов и т. д.

Выполнив данную работу, мы думаем, нам удалось раскрыть понятие инвариантов; изучить методы решения нестандартных задач, уравнений через инварианты; найти общие подходы при решении задач с использованием инвариантов. Благодаря исследовательской работе мы научились ориентироваться в различных ситуациях при решении задач, используя метод инвариантов. Работа над темой исследования помогла понять, увлекает ли нас поиск ответов на необычные математические вопросы, определиться с выбором профиля обучения в 10 -11 классах и сформулировать на перспективу некоторые направления для углубления и расширения темы нашей научно – исследовательской работы.

Назарларыңызға рахмет!!! Спасибо за внимание!!! Thank you for your attention!!!