Этапы развития логики Первые учения о формах и

Скачать презентацию Этапы развития логики Первые учения о формах и

Логика.ppt

Количество слайдов: 27

Этапы развития логики Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Дальнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель (384– 322 гг. до н. э. ), который впервые отделил логические формы речи от ее содержания.

В XVII веке немецкий ученый и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) попытался построить первые логические исчисления, усовершенствовал и уточнил логические символы. На фундаменте, заложенном Лейбницем, другой великий математик, англичанин Джордж Буль (1815 -1864) воздвиг здание новой области науки – математической логики. Начальный раздел математической логики называют алгеброй логики или Булевой алгеброй.

Логические основы компьютеров Тема 1. Логические выражения и операции © К. Ю. Поляков, 2007

Булева алгебра Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1. Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных. Джордж Буль разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1 (алгебра логики, булева алгебра). Почему "логика"? Результат выполнения операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания.

Логические высказывания Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Высказывание или нет? q Сейчас идет дождь. q Жирафы летят на север. q История – интересный предмет. q У квадрата – 10 сторон и все разные. q Красиво! q В городе N живут 2 миллиона человек. q Который час?

Операция НЕ (инверсия) Если высказывание A истинно, то "не А" ложно, и наоборот. также: , not A (Паскаль), А не А ! A (Си) 0 1 1 0 таблица истинности операции НЕ Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

Операция И (логическое умножение, конъюнкция) Высказывание "A и B" истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно. также: A·B, A and B (Паскаль), A B Аи. B A && B (Си) 0 1 2 3 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 A B конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) Высказывание "A или B" истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе. также: A+B, A or B (Паскаль), A B А или B A || B (Си) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение

Операция "исключающее ИЛИ" Высказывание "A B" истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно. также: A xor B (Паскаль), A B А B A ^ B (Си) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 арифметическое сложение, 1+1=2 остаток сложение по модулю 2: А B = (A + B) mod 2

Свойства операции "исключающее ИЛИ" A A=0 (A B) B = ? A 0= A A 1= Ā A 0 0 1 1 B 0 1 А B 0 0 1 0 0 0 1 1 0

Импликация ("если …, то …") Высказывание "A B" истинно, если не исключено, что из А следует B. A – "Работник хорошо работает". B – "У работника хорошая зарплата". A 0 0 1 1 B 0 1 А B 1 1 0 1

Эквиваленция ("тогда и только тогда, …") Высказывание "A B" истинно тогда, когда А и B равны. A 0 0 1 1 B 0 1 А B 1 0 0 1

Базовый набор операций С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию. И ИЛИ НЕ базовый набор операций

Логические выражения и таблицы истинности Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных) Количество строк в таблице истинности зависит от количества логических переменных (N): 1. Определяем количество строк в таблице истинности: Количество строк = 2 N 2. Определяем количество столбцов в таблице истинности: Количество столбцов =N+ количество операций Порядок выполнения логических операций: Действия в скобках, инверсия, конъюнкция, дизъюнкция 14

Логические выражения и таблицы истинности Логические выражения, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными Задание 1 1. Составить таблицу истинности выражения ¯А& ¯В 2. Составить таблицу истинности выражения ¯(А В) Задание 2 1. Составить таблицу истинности выражения ¯А ¯В 2. Составить таблицу истинности выражения ¯(А & В) 15

Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 B A·B 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 X 0 1 0 1 0 1 1 Логические выражения могут быть: q тождественно истинными (всегда 1, тавтология) q тождественно ложными (всегда 0, противоречие) q вычислимыми (зависят от исходных данных)

Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 4 5 6 7 B C AB AC BC X 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1

Законы алгебры логики Закон Для «ИЛИ» Для «И» Переместительный A+B=B+A A∙B = B∙A Сочетательный A+(B+C) = (A+B)+C (A∙B)∙C=A∙(B∙C) Распределительный A∙(B+C) = A∙B+A∙C A+B∙C = (A+B)∙(A+C) Правила де Моргана A+B = A ∙ B A∙B = A + B Идемпотенции A+A=A A∙A=A Поглощения A+A∙B = A A∙(A+B)= A Склеивания (A∙B)+(A∙B)=B (A+B)∙(A+B)=B Операции переменной с ее инверсией A+A=1 A∙A=0 Операция с константами A+0=A; A+1=1 A∙ 1=A; A∙ 0=0 A=A Двойного отрицания A B = A+B A B =( A+B)*(B+A)

Упрощение логических выражений Шаг 1. Заменить операции на их выражения через И, ИЛИ и НЕ: Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана: Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего.

Упрощение логических выражений раскрыли формула де Моргана распределительный исключения третьего повторения поглощения

Логические элементы компьютера значок инверсии 1 & НЕ И & И-НЕ ИЛИ 1 ИЛИ-НЕ

Метод рассуждений Задача 1. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты договора, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят? ", министры дали такие ответы: Россия — "Проект не наш (1), проект не США (2)"; США — "Проект не России (1), проект Китая (2)"; Китай — "Проект не наш (1), проект России (2)". Один из них оба раза говорил правду; второй – оба раза говорил неправду, третий один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Кто что сказал? проект США (? ) проект Китая (? ) (1) (2) проект России (? ) (1) (2) Россия + – Россия + + Россия – + США + – США + + США – Китай + – + Китай

Табличный метод Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса и Лариса. У них разные профессии и они живут в разных городах: одна в Ростове, вторая – в Париже и третья – в Москве. Известно, что • Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове, • парижанка – не актриса, • Много вариантов. • в Ростове живет певица, • Есть точные данные. • Лариса – не балерина. Париж Ростов Москва 0 1 0 0 1 ! Певица Даша Анфиса Лариса 1 0 0 Балерина Актриса 0 1 0 0 0 1 В каждой строке и в каждом столбце может быть только одна единица!

Задача Эйнштейна Условие: Есть 5 домов разного цвета, стоящие в ряд. В каждом доме живет по одному человеку отличной от другого национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, любит определенную еду и держит животное. Никто из пяти человек не пьет одинаковые напитки, не ест одинаковые продукты и не держит одинаковых животных. Известно, что: 1. Англичанин живет в красном доме. 2. Швед держит собаку. 3. Датчанин пьет чай. 4. Зеленой дом стоит слева от белого. 5. Жилец зеленого дома пьет кофе. 6. Человек, который любит помидоры, держит птицу. 7. Жилец среднего дома пьет молоко. 8. Жилец из желтого дома любит дыню. 9. Норвежец живет в первом доме. 10. Любитель макарон живет около того, кто держит кошку. 11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто любит дыню. 12. Любитель винограда пьет лимонад. 13. Норвежец живет около голубого дома. 14. Немец любит редис. 15. Любитель макарон живет по соседству с человеком, который пьет воду. Вопрос: У кого живет рыба?