Естествознание и математика Лекция 7

Естествознание и математика. Лекция № 7

«Математика – это орудие познания» А. Александров Развитие современного естествознания тесно связано с использованием математики, которая, исследуя формы и отношения, встречающиеся не только в природе, но и обществе, и мышлении, исключает из допустимых внутри нее аргументов наблюдение и эксперимент. Результатом научного познания окружающего мира становится открытие закономерностей, выраженное языком математики. Использование математики позволяет рассчитывать последствия физических, химических, биологических, геологических и других природных процессов.

Краткая справка истории развития математического знания. Первые данные о счете относят ко времени палеолита. Позднее, в эпоху неолита, на керамике отображались сложные геометрические фигуры и существовали мистические представления о числах 3, 4, 7. В египетских папирусах XIX века до н. э. , а также более поздних, содержатся математические примеры. Несмотря на многие века существования и практического применения, перед математикой изначально не ставилось задачи систематизировать знания на общей основе для решения многочисленных частных случаев.

Этапы развития математики 1. Древние представления до VI века до н. э. 2. С VI века до н. э. до эпохи Нового времени (XVII век). 3. XVII – первая треть XIX вв. 4. Вторая половина XIX – середина ХХ вв. 5. Середина ХХ в. по настоящее время

Математический труд Евклида «Начала» , где впервые применялись доказательства, занимает второе место после Библии по числу изданий. До работ Д. Гилберта (18621945) вся геометрия на протяжении более двух тысяч лет преподавалась в соответствии с работой Евклида.

Формирование математики как самостоятельной отрасли научного знания относят обычно к античности и связывают с именами великих ученых древности. Мыслитель и математик Пифагор первым в истории культуры указал на математическую сущность окружающего мира, осознав, что с помощью математического кодирования явлений природы можно понимать, управлять и предсказывать ход физических процессов.

Именно с именем Пифагора связан первый кризис, поразивший основы математического знания – открытие несоразмеримости отрезков. (Пифагор утверждал, что в основе мира лежит число, однако в произвольном прямоугольном треугольнике невозможно найти отрезок, целое число раз укладывающийся в длину катетов и гипотенузы. ) Следствием подобных рассуждений стал вывод о том, что в основе мира лежит не число, а отрезок – построить треугольник можно, а измерить нельзя. Началось развитие геометрических представлений, которые лидировали более тысячи лет среди математических дисциплин.

В эпоху средневековья центр научных знаний перемещается в Индию, а несколько позже – арабские страны. Вводится в употребление десятичная позиционная система счисления, зарождается алгебра, получила развитие тригонометрия. Крупнейшим математиком арабского Востока VIII-IX веков был Аль-Хорезми. XV век отмечен деятельностью Улугбека, объединившего усилия известных ученых того времени для проведения высокоточных астрономических наблюдений, осуществления вычислений при составлении математических таблиц и т п. Развитие математики получило новый толчок после объединения алгебры и геометрии П. Ферма и Р. Декартом в новую аналитическую геометрию. С XVII века уже многие отрасли естествознания начинают широко использовать экспериментально-математические методы. В результате складывается устойчивое научное мнение, что достоверность знания определяется степенью его математизации. Г. Галилей впервые успешно использовал язык количественных понятий наряду с экспериментальным методом исследования, утвердив этим новую методологию научного знания. Создание интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем открыло новые перспективы, как в развитии самой математики, так и в ее применении в научной и инженерно-технической деятельности. В ХVIII веке среди ученых утверждается мнение И. Канта о том, что «зрелость науки обычно измеряется тем, насколько она использует математику» .

В конце ХIХ века стало ясно, что математика является актуальной дисциплиной по своему соответствию окружающей реальности. Однако с резкой критикой экспериментального изучения природы выступил А. Шопенгауэр. Он полностью отрицал пользу от применения математического языка к изучению природы, поддерживая этим точку зрения И. Гете, который воспринимал природу (живую и неживую) как единое целое, которое может быть познано только непосредственным опытом и интуицией (а не экспериментом или количественным анализом). В настоящее время сохранилось критическое отношение к количественным математическим методам, свойственное многим ученым, занимающимся исследованием сложных психических, биологических и социальных процессов. Понимание в данном аспекте рассматривается как чисто интуитивная деятельность мышления, опирающаяся на опыт и не требующая для своего анализа логикорациональных средств исследования.

Первые научные представления о пространстве выражены в евклидовой геометрии, согласно представлениям которой оно характеризуется трехмерностью и изотропностью. В основу геометрии Евклида положено несколько постулатов, которые служили долгое время надежным фундаментом для развития математики, сомнения вызывал лишь пятый постулат. Поэтому на протяжении веков предпринимались попытки доказать этот постулат как теорему или сформулировать утверждение Евклида более простым способом. В начале XIX века Гаусс признал, что если этот постулат заменить другими аксиомами, то можно построить новую геометрию.

Решить проблему удалось двум математикам, которые работали независимо друг от друга: Н. И. Лобачевскому (1829 г. ) и Я. Больяйи(1831 г. ). Они заменили пятый постулат утверждением прямо противоположным и создали новые гиперболические геометрии, в которых не было противоречий.

Дальнейшее развитие этих идей нашло отражение геометрических представлениях Б. Римана, которые легли в основание общей теории относительности Эйнштейна. С А В Прямая выглядит как отрезок дуги большого круга, центр которого совпадает с центром сферы. Все большие круги пересекаются друг с другом, следовательно, невозможно, чтобы большие круги были параллельны. Кривизна пространства в эллиптической геометрии Римана положительна. Следовательно, через точку, лежащую вне данной прямой, нельзя провести ни одной параллельной – все они будут пересекаться с данной.

Усложнение математики и усиление ее специализации приводят к коренным изменениям в путях ее развития. В ХХ веке можно отметить три ключевых, кризисных момента, которые принципиально изменяли характер получаемых математических результатов: Кризис связан с теоремой Геделя о неполноте (1931 г. ), которая утверждает, что в любой формальной системе аксиом есть неразрешимые предположения, которые в ее рамках нельзя ни доказать, ни опровергнуть, т. е. система аксиом либо неполна, либо противоречива. Рождение и бурное развитие вычислительной техники повлекло за собой широкое применение компьютеров для решения самых разнообразных задач, в том числе и математических. Естественно напрашивается вопрос: «Насколько можно доверять доказательствам, которые никогда не были проверены человеком от начала до конца? » . Одна из серьезных проблем современной математики связана с практически непреодолимой сложностью новых доказательств. Современная математическая задача может иметь формулировку в несколько слов или строк, а ее решение может занимать несколько книжных томов в сотни и тысячи страниц, что фактически делает невозможным его полную запись, понимание и проверку.

Математика и естественнонаучная картина мира Одной из важнейших особенностей современной цивилизации является математизация всех разделов естествознания как попытка описания закономерностей существования окружающего мира и самого человека. Универсальный язык математики для всей науки определяет ее исключительную роль в формировании нового знания, является способом придать как известным, так и вновь открываемым законам всеобщий характер. Этому способствует процесс введения новых абстрактных математических дисциплин и создания новых математических теорий и соответствующего аппарата. Достижения математиков часто шли впереди открытий физиков, и в истории развития естествознания неоднократно наблюдалась тенденция глубоких концептуальных конфликтов, которые удавалось разрешить посредством использования соответствующего математического аппарата.

Концептуальные конфликты в естествознании, разрешенные использованием соответствующего математического аппарата Конфронтация классической механики и электродинамики в обл. оптики быстродвижущихся сред и гравитационных явлений разрешилась формированием понятий ТО, которая использовала тензорную алгебру и анализ, разработанные за 30 лет до их применения Эйнштейном в физике Динамика механического движения опиралась на новый математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений. Конфронтация классической механики, электродинамики, статистической физики в обл. изучения строения атома разрешена в форме создания новых квантовых понятий. Эти понятия основывались на теории бесконечных гилбертовых пространств, которая была разработана за 20 лет до создания квантовой механики Конфронтация классической механики и новых экспериментальных данных по электромагнитным явлениям завершилось выявлением новых понятий физики поля, которые опирались на разработанный незадолго до этого векторный анализ и теорию уравнений в частных производных.

«Математический формализм оказывает совершенно удивительную услугу в деле описания сложных вещей, но нисколько не помогает в деле понимания реальных процессов» Макс Борн

Математика в естествознании: 1. Играет роль универсального языка, специально предназначенного для лаконичной записи утверждений. Используя количественные (метрические) понятия, математический язык обеспечивает краткость и точность в установлении количественных зависимостей между свойствами и отношениями, которые характеризуют изучаемые процессы (напр. , методы дифференциального и интегрального исчислений, современный функциональный анализ). В процессе научного познания всегда существует тесная связь естественного языка качественного описания и количественного математического языка. 1. Служит источником моделей и алгоритмических схем для отображения связей, отношений и процессов, составляющих предмет исследования и правил его преобразования. Если физический объект правильно выражен формулой, а математические правила преобразований согласуются с физическим процессом, то эти физические преобразования могут быть заменены на математические для исходных формул. В этом случае результат математических преобразований будет автоматически соответствовать данным эксперимента. Математические формулы сами по себе абстрактны, и только физические исследования м огут наполнить их содержанием и сделать средством выражения научной мысли для получения объективной достоверности и количественной точности знания.

Роль математических абстракций в теории познания. Задача математиков XVII-XIX вв. состояла в том, чтобы открыть математические принципы существования мира и познать законы, управляющие Вселенной. Дальнейшее развитие математики и применение ее в естествознании (в частности, появление неевклидовых геометрий) показало, что в природе, возможно, отсутствуют математические принципы и правила, а сама математика – лишь ограниченный рациональный план. Несмотря на тот факт, что сами по себе математические структуры не отражают реальности физического мира, но являются ключом к ее познанию, методом исследования, описания и открытия физических явлений. Математика и физическая реальность оказываются нераздельно связанными. Замечательные достижения физики опираются на математические идеи и рассуждения: Механика Галилея, Ньютона, Гамильтона, Лагранжа, Эйлера. Теория электромагнетизма Максвелла. Теория относительности Эйнштейна.

Истинность математических утверждений определяется непротиворечивостью соответствующей физической теории. Постепенно были определены косвенные доводы подтверждения непротиворечивости и истинности математических теорий: Интуитивная ясность, убедительность и простота математических построений. Возможность эффективного использования теории на практике. Однако в силу абстрактного характера математических понятий (которые не имеют конкретных прообразов в реальном мире) практика принимается как критерий полезности этих теорий в качестве орудия познания.

Если понимать истину вообще как адекватное отражение в сознании человека явлений и процессов реальной объективной действительности, то математическая реальность – это созданный интуицией виртуальный мир, являющийся всего лишь естественнонаучной гипотезой. В силу того, что познание объективной реальности идет от абстрактного к конкретному, оказалось возможным сформулировать принципы, которым должна отвечать непротиворечивая и эффективная математическая теория: 1. Развитие математики невозможно без исследования ею самой себя. 2. При математических исследованиях необходимо учитывать конструктивные и вычислительные возможности логикоматематических языков. 3. Математическая реальность не существует априорно, а создается интуицией. 4. Математика является языком естествознания, т. к. она является орудием познания и используется в прикладных науках. 5. Методологическим и философским фундаментом современной математики может быть только теория познания – гносеология.

Используя метрические (количественные) понятия, математический язык обеспечивает краткость и точность в установлении количественных зависимостей между разнообразными свойствами и отношениями, характеризующими изучаемые процессы. С этой целью используются методы математики, начиная от дифференциального и интегрального исчисления и заканчивая современным функциональным анализом, теорией бесконечных гилбертовых пространств квантового мира. Можно условно выделить несколько направлений математизации естествознания: 1. Количественный анализ и количественная формулировка качественно установленных фактов, обобщений и законов конкретных наук. 2. Построение математических моделей и правил их преобразований. 3. Построение и анализ конкретных научных теорий.

Особенностью современного математического знания является все большая его формализация, что наглядно проявляется в развитии таких ее направлений, как например: • Теория множеств изучает общие свойства множеств на частных примерах. • Теория групп, математический аппарат которой использует современная физика высоких энергий (элементарных частиц, квантовая хромодинамика). Группа обозначает множество элементов, над которыми можно производить действия (операцию), подчиняющуюся определенным законам. Законы образуют исходные посылки (постулаты или аксиомы), на базе которых строится теория, т. е. формализуются не только объекты, но и действия, которые над ними производятся. • Теория инвариантов. • Теории многомерных пространств. • Теория вероятности, изучающая случайные величины и процессы, а также те закономерности, которые связаны со случайными событиями и проявляются в ходе их осуществления.

В качестве примера можно привести адекватное описание по своей пространственной сути объектов окружающей нас внешней и внутренней природы посредством нового раздела математики, созданного Бенуа Мандельбротом, - фрактальной геометрии (геометрии дробных размерностей) в 1975 г.

Фрактал (от лат. «fractus» ) – дробный, фрагментарный. Мандельброт определяет фрактал как структуру, состоящую из частей, которые в каком-либо смысле подобны целой структуре, т. е. самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба

Математика как язык естествознания.