Если где то число w называется логарифмом числа z и обозначается
Поскольку В рассматриваемом случае
Где -число действительное положительное. и -известный из курса математики логарифм действительной величины.
Ввиду многозначности аргумента логарифм является многозначной функцией, действительная часть которого определяется однозначно, а мнимая содержит неопределенное слагаемой, кратное 2 П. Главным значением логарифма называется то значение, которое соответствует главному значению аргумента числа z.
В полученной формуле главное значение логарифма будет при к=0. Если z=x – действительное число, то Поэтому главное значение логарифма действительного положительного числа является числом действительным и совпадает со значением которое приводится в таблице логарифмов.
Будем обозначать
Вычислить 1 2 3 4 5 6
1 2 3
4 5
6
Обобщим свойства логарифма комплексного аргумента: 1 на случай
2
3
4
По определению логарифмической функции для любого комплексного числа Тогда Поскольку логарифм функция, то функция тоже будет многозначной. – многозначная
Вычислить 1 2
1 Главное значение 2
Определим обратные тригонометрические функции. Если то число w называется арксинусом числа z и обозначается Аналогично:
Если то число w называется арккосинусом числа z и обозначается Если то число w называется арктангенсом числа z и обозначается
Если то число w называется арккотангенсом числа z и обозначается
Если то Обозначим
Решаем это квадратное уравнение:
Т. к. логарифм многозначен, а корень – двухзначен, то арксинус тоже будет многозначной функцией. Если z – действительное число, то -тоже действительная величина и
Но поскольку то все значения логарифма числа, модуль которого равен 1, являются чисто мнимыми, а так как в выражении для арксинуса в правой части стоит –i, то в этом случае арксинус будет действительной величиной. В остальных случаях он будет мнимым. Аналогично можно получить:
Если то
Если z – действительное число, то числа будут сопряженными модулями. с одинаковыми
Тогда все значения логарифма будут чисто мнимыми. Поскольку стоит множитель То значения арктангенса будут действительными. В остальных случаях они будут мнимыми. Аналогично можно получить:
Вычислить 1 2
1
2