ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ Тема 11 Закон

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ Тема 11

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем • Потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил , проделанной ими этой деформации:

Вычисление потенциальной энергии • • • При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними. Условимся называть термином обобщенная сила всякую нагрузку, вызывающую соответствующее нагрузке перемещение, т. е. и сосредоточенную силу, и пару сил, и т. п. ; перемещение же, соответствующее этой силе, будем называть обобщенной координатой. «Соответствие» заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы; для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы — прогиб, удлинение; для пары сил — это угол поворота сечения по направлению действия пары. Тогда: потенциальная энергия деформации численно равна половине произведения обобщенной силы на соответствующую ей координату. где Р—обобщенная сила, δ— обобщенная координата.

Обычно работа касательных усилий оказывается малой по сравнению с работой нормальных, поэтому мы ею будем пренебрегать. Элементарная работа нормальных усилий (как и в случае чистого изгиба) равна: Вся потенциальная энергия изгиба получится суммированием по длине балки Знак предела интегрирования условно указывает, что интегрирование должно охватить всю балку; в тех случаях, когда для М(х) мы имеем несколько участков, то интеграл приходится разбивать на сумму интегралов.

Теорема Кастильяно • Поставим задачу нахождения перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил. • Производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Для случая изгиба прогиб в точке приложения сосредоточенной силы Р 1 равен: • • а угол поворота сечения с парой М 1

Теорема о взаимности работ Пользуясь понятием о потенциальной энергии, можно установить следующую зависимость между деформациями в различных сечениях балки. Работа первой силы (или первой группы сил) на перемещениях, вызванных второй силой (второй группой сил), равна работе второй силы на перемещениях, вызванных первой силой.

Теорема Максвелла—Мора • Для отыскания перемещения δ (прогиба или угла поворота) любого сечения балки, вне зависимости от того, приложена или не приложена в этом сечении соответствующая сила, необходимо найти выражение для изгибающего момента М от заданной нагрузки и момента М 0 от соответствующей единичной нагрузки, приложенной в сечении, где ищем перемещение; тогда это перемещение выразится формулой • Если мы в полученном выражении под перемещением δ разумеваем прогиб, то момент надо вычислять от сосредоточенной единичной силы, приложенной в той точке, где мы отыскиваем прогиб; при вычислении же угла поворота в качестве единичной нагрузки прикладывается пара сил с моментом, равным единице.

Метод Верещагина • Пусть эпюра изгибающего момента от нагрузки М имеет криволинейное очертание, а эпюра момента М 0 от соответствующей единичной нагрузки — прямолинейное. Тогда для определения перемещения надо вычислить площадь S эпюры М, умножить ее на ординату эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести C площади эпюры М и разделить на жесткость балки. S