ЭММ В ЭКОНОМИКЕ История человеческой мысли игнорирующая в

ЭММ В ЭКОНОМИКЕ «История человеческой мысли, игнорирующая в ней роль математики, есть постановка на сцене «Гамлета» , если не без самого Гамлета, то по меньшей мере без Офелии» А. Н. Уайтхед 1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Маркин Ю. П. Математические методы и модели в экономике: Учебное пособие. – М. : Высш. Шк. , 2007. – 422 с. 2. Попов А. М. Экономико – математические методы и модели: учебник для бакалавров / А. М. Попов, В. Н. Сотников; под ред. Проф. А. М. Попова. – М. : Издательство Юрайт, 2011. – 479 с. – Серия: Бакалавр. 3. Гетманчук А. В. экономико – математические методы и модели: Учебное пособие для бакалавров / А. В. гетманчук, М. М. Ермилов. – М. : Издательско – торговая корпорация «Дашков и К» , 2012. – 1188 с. 4. Стрикалов А. И. Экономико – математические методы и модели: пособие к решению задач / А. И. Стрикалов, И. А. Печенежская. – Ростов н/Д: Феникс, 2008. – 348 с. 2

5. Грицюк С. Н. Математические методы и модели в экономике: Учебник / С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В. В. Лысенко – ростов н/Д: Феникс, 2007. – 348 с. 6. Лугинин О. Е. Экономико – математические методы и модели: теория и практика с решением задач: учебное пособие / О. Е. Лугинин, В. Н. Фомишина. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 440 с. 7. Красс М. С. , Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – 5 -е изд. , испр. И доп. – М. : Дело, 2006. – 720 с. 3

МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ Термин «модель» в переводе с латинского означает образец, норма и мера. Примеры моделей: -Макет дома, торгового центра, расположение оборудования в торговом зале; -Функциональные зависимости, выраженные математическими символами: графики, формулы, уравнения, неравенства. Моделью называют образ реального объекта в материальной или идеальной форме, отражающий основные свойства моделируемого объекта и заменяющий его в ходе изучения. Процесс разработки модели реального объекта или явления и изучение этих объектов на их моделях называется моделированием. 4

МОДЕЛИ Материальные модели (предметные) Отражают физические, геометрические, динамические, функциональные характеристики изучаемого объекта или явления Идеальные модели (мысленные, абстрактные) Являются продуктом человеческого мышления Физические модели Знаковые модели Представляют собой материальные объекты той же природы, что и объект - оригинал. Например, путем физического моделирования определяются технико - экономические характеристики экспериментального образца, затем результаты испытаний распространяются на все другие экземпляры данного типа Предметно математические модели – это модели – аналоги (предметная, математическая или абстрактная система, отображающая принципы внутренней организации, функционирования, особенностей исследуемого объекта (оригинала), непосредственное изучение которого, по разным причинам, невозможно или усложнено) Являются основным видом идеальных моделей, основаны они на использовании некоторого формализованно го языка (алгоритмы, программы для ПК) Логико математические модели - Система математических отношений и логических выражений, отражающих существенные свойства исследуемого объекта 5

Материальные модели – модели уменьшенных размеров реальных объектов: макеты магазинов, предприятий общественного питания, рынков. Эти модели используются в экспериментальных исследованиях. Для решения экономических задач их возможности ограничены. Исследования в экономике на основе идеальных моделей носят теоретический характер. В экономических задачах и в области управления различными процессами применяются математические модели. 6

все значения из некоторого интервала) Непрерывные (величины, входящие в модель, принимают «оторванные» друг от друга значения) по присутствию временного параметра Дискретные (величины, входящие в модель, принимают Статические по целям построения Динамические Нормативные (отвечают на вопрос: как это должно быть ) по типу используемых шкал Дескриптивные (отвечают на вопрос: как это происходит или как это может развиваться ) Не метрические (отображают структурные характеристики и отношения между изучаемыми явлениями) с точки зрения аппарата моделирования Метрические(математический алгоритм, связывающий между собой значения ненаблюдаемой переменной и определяющих ее наблюдаемых параметров) Игровые Имитационные По способам выражения соотношений между внешними условиями, внутренними параметрами и искомыми характеристиками Аналитические обеспечивают познание его сущности через важнейшие проявления этой сущности: деятельность, функционирование, поведение) Функциональные (отражают поведение объекта и Структурные (отражают внутреннюю организацию объекта: его составные части, внутренние параметры и их связи с «входом» и «выходом» ) ПРИЗНАКИ КЛАССИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ по способу принятия значений еличинами, в входящими в модель 7

Общая схема процесса моделирования: 1 -ый этап: Конструируем или находим в реальном мире объект, который будет моделью исходного объекта - оригинала. Необходимы определённые сведения об объекте-оригинале. Модель отображает только некоторые существенные черты исходного объекта, поэтому любая модель замещает оригинал в строго ограниченном смысле, т. е. для одного объекта может быть построено несколько моделей, отражающих определённые стороны исследуемого объекта или характеризующих его с разной степенью детализации. 2 -ой этап: Определяем модель как самостоятельный объект исследования. Например, одну из форм такого исследования составляет проведение модельных экспериментов, при которых целенаправленно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о её "поведении". Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала, которые отражены в данной модели. 3 -ий этап: Переносим знания с модели на оригинал, в результате чего формируется множество знаний об исходном объекте и при этом осуществляется переход с языка модели на язык оригинала. Полученный результат можно переносить с модели на оригинал, если он соответствует признакам адекватности. 4 -ый этап: Проводим практическую проверку полученных с помощью модели знаний и используем их как для построения обобщающей теории реального объекта, так и для его целенаправленного преобразования или управления им. В итоге происходит возврат к проблематике объекта - оригинала. 8

Моделирование – это циклический процесс, т. е. за первым четырёхстадийным циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте будут расширяться и уточняться, а первоначально построенная модель – совершенствоваться. Недостатки, которые не удаётся исправить на тех или иных этапах моделирования, могут быть устранены в последующих циклах. Однако результаты каждого цикла имеют и самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в себя новые условия и более точные математические зависимости. 9

Экономико – математическое моделирование -описание знаковыми математическими средствами социально – экономических систем. Социально – экономические системы – сложные динамические системы, охватывающие процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ. Практические задачи экономико – математического моделирования: -анализ экономических объектов и процессов; -экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов; -выработка управленческих решений. 10

Данные, полученные в результате экономико – математического моделирования не во всех случаях могут использоваться как готовые управленческие решения. Они рассматриваются как «консультирующие средства» . Принятие управленческих решений остается за человеком. Адекватность модели – важнейшее понятие при экономико – математическом моделировании. Это соответствие моделируемому объекту или процессу. Адекватность модели – в какой – то мере условное понятие, т. к. полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно и для экономико – математического моделирования. При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие модели тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. 11

ЭТАПЫ ЭКОНОМИКО – МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Название этапа Содержание этапа Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ Сформулировать сущность проблемы, выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта. Построение математической модели Экономическая проблема выражается в виде конкретных математических зависимостей. Определяется тип модели, перечень переменных и форма связей. Математический анализ модели Доказывается существование решения сформулированной задачи. Выясняется, единственное ли решение, какие переменные могут в него входить, в каких пределах они изменяются. Подготовка исходной информации Осуществляется с помощью методов теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных. Численное решение Разработка алгоритмов численного решения задачи, подготовка программ на ЭВМ, проведение расчетов. Численное решение дополняет результаты аналитического исследования, для многих моделей – единственно возможно. Анализ численных результатов и их применение Проверка адекватности модели по тем свойствам, которые были выбраны в качестве основных. 12

Этапы экономико – математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели, тогда нужно скорректировать исходную постановку задачи. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы приспособиться к доступной исследователю информации. Моделирование – это циклический процесс, поэтому недостатки, которые не удалось исправить на каких – то этапах моделирования можно устранить в последующих циклах. Кроме того, результаты каждого цикла имеют и самостоятельное значение. 13

Экономико – математические методы – комплекс экономико – математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики. Классификация экономико – математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав. Общепринятой классификации этих дисциплин ещё не выработано. 14

Экономико – математические методы Раздел Дисциплины и методы Экономическая Системный анализ экономики, теория экономической кибернетика информации, теория управляющих систем Математическая Выборочный метод, дисперсионный анализ, статистика корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, теория индексов Математическая Теория экономического роста, теория производственных экономика функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование Методы Оптимальное (математическое) программирование, принятия сетевые методы планирования и управления, оптимальных программно-целевые методы планирования и решений управления, теория и методы управления запасами, теория массового обслуживания, теория игр, теория и методы принятия решений, теория расписаний 15

Методы Математические методы анализа и экспериментальн планирования экономических экспериментов, ого изучения методы машинной имитации (имитационное экономических моделирование), деловые игры, методы явлений экспертных оценок Методы, К первым относится теория оптимального специфичные функционирования экономики, оптимальное отдельно как для планирование, теория оптимального централизованно ценообразования, модели материально - планируемой технического снабжения. экономики, так и Ко вторым – методы, позволяющие для рыночной разработать модели свободной конкуренции, (конкурентной) модели капиталистического цикла, модели экономики монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы. 16

Экономико-математические методы – это инструмент, а экономико – математические модели – это продукт процесса экономико-математического моделирования. 17

Классификация экономико – математических моделей Признак Виды моделей Назначение, использование экономико – математических моделей Общее Теоретико - При изучении общих свойств и целевое аналитические закономерностей экономических назначение процессов В решении конкретных экономических Прикладные задач анализа, прогнозирования и управления. Дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений. Например, эконометрические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений. 18

Степень агрегирования объектов Конкретное предназначение Макроэкономические Описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег. Микроэко. Описывают взаимодействие структурных и номические функциональных составляющих экономики или поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. Балансовые Выражают требование соответствия наличия модели ресурсов и их использования. Трендовые Развитие моделируемой экономической системы модели отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей. Оптимизацио Предназначены для выбора наилучшего нные модели варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления. Имитацион- Используются в процессе машинной имитации ные модели изучаемых систем или процессов. 19

Тип Аналитические Построены на априорной информации (предварительные данные, представления исследователя, их источником могут быть, вопервых, теоретические соображения (напр. , представление об отрицательной зависимости спроса от цены продукта в функции спроса), во-вторых, предшествующие статистические исследования, в которых уже оценивались некоторые элементы, в том числе параметры будущей модели Идентифициру- Построены на апостериорной информации емые (информация, полученная в результате проведенного эксперимента. Апостериорная отличается от априорной информации наличием сведений, полученных во время проведения эксперимента). Учет Динамические Описывают экономические системы в фактора развитии. времени Статические Все зависимости отнесены к одному моменту времени. 20

Учет фактора неопределенности Детерминирован Жесткие функциональные связи между переменными модели. ные Стохастические Допускают наличие случайных воздействий на исследуемые (вероятностные) показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания. Тип Матричные Представляют собой прямоугольные таблицы, элементы математи- модели которых отражают взаимосвязи экономических объектов и ческого обладают определённым экономическим смыслом, значение аппарата которого вычисляется по установленным в теории матриц правилам. В таких моделях отражается структура затрат на производство и распределение продукции. Модели Линейное программирование - линейное преобразование линейного и переменных в системах линейных уравнений. Сюда можно нелинейного отнести: симплекс-метод, распределительный метод. программирован Нелинейное программирование наименее изучено ия применительно к экономическим явлениям и процессам. Корреляционно Корреляционный анализ применяется для установления регресионные тесноты связи между двумя или более независимыми модели процессами или явлениями. Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величины от неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ - установление зависимости результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления важнейших. 21

Тип математиче ского аппарата Модели теории массового обслуживания Модели сетевого планирования и управления Большой класс методов, где на основе теории вероятностей оцениваются различные параметры систем, характеризуемых как системы массового обслуживания. Необходимы при поиске более эффективных способов планирования сложных процессов, сетевое планирование и управление основано на моделировании процесса с помощью сетевого графика (сетевой модели). Модели Совокупность методов, используемых для теории игр определения стратегии поведения конфликтующих сторон. Тип Дескриптивны Предназначены для описания и объяснения подхода к е фактически наблюдаемых явлений или для прогноза изучаемым этих явлений социально - Нормативные Предназначены для изучения устройства и действия экономических систем экономичес ким системам 22

ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 1. Определить объект исследования: экономика государства в целом, отрасль, предприятие, социально – экономический процесс и т. д. 2. Сформулировать цель исследования. 3. В рассматриваемом экономическом объекте выделить структурные и функциональные элементы и выделяются существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижение поставленной цели. 4. Ввести символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определить, какие переменные будут зависимыми, какие – независимые; какие известные, какие – неизвестные. 5. Построить экономико – математическую модель. 6. Провести расчеты по модели и проанализировать их результаты. 7. Вернуться к одному из предшествующих пунктов, если результаты неудовлетворительны с точки зрения неадекватности отображения моделируемого процесса или явления и процесс повторить. 23

РАЗДЕЛЫ ОПИСАНИЯ ЭКОНОМИКО – МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ФАКТОРЫ, ИХ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ Материальный Не подвластен управлению экономического уровня, он определяется законами природы и управлениями технологического уровня Описание балансов продуктов, производственных мощностей, трудовых и природных ресурсов Описание новых проектов Правила преобразования входных материальных потоков в выходные Финансовый Финансово – денежный механизм (как один из основных) используется для организации экономических регуляторов (обратных связей) Балансы потоков денежных Правила формирования и использования различных фондов Правила ценообразования Социальный Люди играют огромную роль на всех стадиях экономического процесса (производство, управление, потребление) Структура потребления Интенсивность отдельных видов труда Динамика численности населения Другие демографические факторы 24

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Присутствие в названии дисциплины термина «программирование» объясняется следующим: в английском языке слово «programming» означает планирование, составление планов или программ, терминология отражает тесную связь, существующую между математической постановкой задачи и её экономической интерпретацией. 25

На практике часто встречаются ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а несколькими различными способами. Например, человек решает вопрос о распределении своих расходов; предприятие или отрасль определяет как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции. При большом количестве решений надо выбрать наилучшее. Математически это сводится к нахождению наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, т. е. найти max (min) f(x) при условии, что переменная х пробегает некоторое множество Х. Определенная так задача называется задачей оптимизации. Множество Х называется допустимым множеством данной задачи, а функция f(x) – целевой функцией. 26

Во многих случаях Х – это множество точек удовлетворяющих определенной системе неравенств. Нужно найти не только само значение функции f(x) max или min, но и точку, или точки, в которых это значение достигается. Такие точки называются оптимальными решениями. Множество всех оптимальных решений будет называться оптимальным множеством. Задачи подобного рода получили название задачи математического программирования. 27

Математическое программирование математическая дисциплина, занимающаяся изучением экстремальных (максимальных или минимальных) задач управления, планирования и разработкой методов их решения. Отличительная особенность задач математического программирования – наличие неравенств в системе ограничений. 28

Математическое программирование в зависимости от вида решаемых задач делится на линейное, нелинейное, дискретное, динамическое, геометрическое программирование. Наиболее разработанный раздел математического программирования – линейное программирование. Линейное программирование – это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. В задачах нелинейного программирования либо целевая функция, либо ограничения, либо то и другое нелинейны. В 1951 году была опубликована работа Куна и Таккера, в которой приведены необходимые и достаточные условия оптимальности для решения задач нелинейного программирования. Эта работа послужила основой для последующих исследований в этой области. 29

Широкое распространение линейное программирование получило в экономике, т. к. исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные. 30

Формирование линейного программирования как отдельного раздела прикладной математики 1) 1939 – 1940 гг Канторович Леонид Витальевич – • советский математик и экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1975 года «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов» (единственный советский ученый, удостоенный Нобелевской премии по экономике) • Положил начало линейному программированию и его обобщениям (сформулировал понятия оптимальный план, оптимальное распределение ресурсов) • Написал работу "Математические методы организации и планирования производства" • Развил идею оптимальности в экономике. Установил взаимозависимость оптимальных цен и оптимальных производственных и управленческих решений. 31

2) 1941 г. В США Ф. Л. Хитчкок поставил транспортную задачу, дал ее математическое описание, но без анализа и указания путей решения 3) 1949 г. Джордж Бернард Данциг • американский математик • предложил термин «линейное программирование» для изучения теоретических и алгоритмических задач, связанных с оптимизацией линейных функций при линейных ограничениях • известен как разработчик симплексного алгоритма, применяемого в решениях задач симплекс-методом. • Считается основоположником линейного программирования, наряду с советским математиком Леонидом Канторовичем. 32

4) Дальнейшее развитие теория линейного программирования и ее приложения к исследованию экономических проблем получила в работах Василия Сергеевича Немчинова, Виктора Валентиновича Новожилова и ряде работ зарубежных ученых (прежде всего, американских) 33

Математическая модель задачи линейного программирования включает: 1) Совокупность переменных каждый набор значений которых называется планом. 2) Целевую функцию F(x), которая позволяет выбирать оптимальный (целевая функция достигает экстремального значения), т. е. наилучший план из множества возможных. В экономике целевая функция может представлять собой прибыль, издержки производства, объем реализации. 3) Систему ограничений на план задачи линейного программирования, представленную в виде уравнений или неравенств. В экономике ограничения могут следовать из имеющихся ресурсов, возможностей оборудования. Система ограничений дополняется требованием неотрицательности значений всех переменных. 34

Задача составления рациона. При откормке каждое животное ежедневно должно получить не менее 9 ед. питательного вещества S 1 , не менее 8 ед. вещества S 2 и не менее 12 ед. вещества S 3. Для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма приведены в таблице. Питательные вещества S 1 S 2 S 3 Стоимость 1 кг корма (ден. ед. ) Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма II 3 1 1 1 2 6 4 6 Составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальны. 35

Пусть х1 и х2 – количество кг корма соответственно I и II в дневном рационе. Учитывая значения таблицы и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получаем систему ограничений. Если корм I не используется в рационе, то х1 =0, в противном случае . Аналогично . Цель задачи – добиться минимальных затрат на дневной рацион, поэтому общую стоимость рациона можно выразить F=4 x 1+6 x 2 (ден. ед. ). х1 и х2 могут принимать бесконечное множество значений. Из этого 36

множества выбираются только такие х1 и х2 при которых функция F принимает минимальное значение. Итак, математическая модель задачи составления рациона выглядит следующим образом: F=4 x 1+6 x 2 min 37

ФОРМЫ ЗАПИСИ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ Название формы Математическая модель Общая (в ней для отдельных ограничений могут присутствовать как знаки равенства, так и знаки неравенства) 38

Название формы Математическая модель Стандартная (симметричная) (система ограничений состоит только из неравенств) 39

Название формы Каноническая (основная) (система ограничений кроме условия неотрицательности всех переменных включает только уравнения) Математическая модель 40

Любая форма записи приводится к любой другой. Переход от стандартной задачи к канонической: 1. Если требуется найти минимум функции F(X), то нужно перейти к нахождению максимума функции 2. В каждое неравенство вводится неотрицательная балансовая переменная, если знак неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком «+» , если знак неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком «-» . Количество введенных дополнительных переменных должно соответствовать количеству неравенств в системе ограничений. 41

ПРИМЕР. Дана задача линейного программирования, нужно привести ее к канонической форме. В канонической задаче линейного программирования целевая функция должна стремиться к максимуму. Поэтому переходим к нахождению максимума функции 42

ПРИМЕР. Дана каноническая задача линейного программирования, нужно свести ее к стандартной. Применим к системе из трех уравнений метод Гаусса, выделим базис неизвестных. Учитывая эти равенства, записываем новое выражение для целевой функции F(X). Получим стандартную задачу линейного программирования. 43

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯЧ Рассмотрим задачу линейного программирования в стандартной форме записи: Эту же задачу рассмотрим на плоскости, т. е. при n=2. 44

1. На координатной плоскости х1 х2 строится множество Х, которое образует область допустимых решений или область допустимых планов задачи линейного программирования. Эта область представляет собой пересечение всех полуплоскостей, которые по отдельности являются решениями неравенств, входящих в систему ограничений. Если , то задача линейного программирования не имеет решений. Областью решений линейного неравенства ai 1 x 1+ai 2 x 2 bi является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая ai 1 x 1+ai 2 x 2= bi, соответствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость. Для того, чтобы определить, какая из двух координатных полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку; в противном случае областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку. 45

Так как х1 и х2 должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси х1 и правее оси х2, т. е. в I квадранте. 2. Строится вектор градиента целевой функции направление которого указывает возрастание целевой функции. 3. Строится линия уровня l – прямая, перпендикулярная вектору градиента и проходящая, например, через начало координат. 4. Строится семейство линий уровня целевой функции, представляющих собой прямые, параллельные l. Значение F(X) постоянно на линии уровня и возрастает при перемещении линии уровня в направлении градиента целевой функции. Если мы ищем максимум целевой функции, то линия уровня передвигается в направлении вектора градиента, при поиске минимума целевой функции – против направления вектора. 46

Последняя по ходу движения вершина области допустимых решений (или сторона многоугольника решений) будет точкой максимума или минимума целевой функции (бесконечное число решений). Если такой точки или точек не существует, то делается вывод о неограниченности целевой функции на множестве решений сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимума). 5. Определяем координаты точки максимума (минимума) целевой функции: или и вычисляем значение целевой функции. Для вычисления координат оптимальной точки решают систему уравнений прямых, на пересечении которых находится оптимальное решение. 47

Особые случаи, возникающие при решении некоторых задач линейного программирования графическим методом 1. Линия уровня параллельна одной из сторон выпуклого многоугольника допустимых решений, причем эта сторона расположена в направлении смещения линии уровня при стремлении целевой функции к своему оптимуму. В этом случае оптимальное значение целевой функции достигается не в одной, а в двух угловых точках (вершинах) многоугольника решений и, следовательно, во всех точках отрезка, соединяющего эти вершины, т. е. задача будет иметь бесчисленное множество решений. 48

2. Если область допустимых решений есть пустое множество, т. е. система ограничений задачи линейного программирования содержит противоречивые неравенства и на координатной плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей этим ограничениям, то задача линейного программирования не будет иметь решений. 3. Если область допустимых решений задачи является незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении оптимизации целевой функции, то целевая функция будет неограниченной и задача не будет иметь решений; в этом случае условно можно записать 49

Пример 50

Графический метод решения задач линейного программирования с n переменными Каноническая задача линейного программирования с n неизвестными может быть решена графическим методом, если выполняется условие: n-m=2, где m – число уравнений – ограничений. В этом случае, используя метод Жордана – гаусса, необходимо систему уравнений – ограничений привести к единичному базису и исключить базисные неизвестные из целевой функции. Затем, учитывая неотрицательность разрешенных неизвестных, отбросить их и перейти к системе ограничений – неравенств. 51

СИМПЛЕКС - МЕТОД • «Симплекс» в переводе с латинского означает «простейший» . В многомерной геометрии симплексом называется геометрическое место точек, удовлетворяющих условиям При малой размерности симплексом является точка, отрезок, треугольник, тетраэдр. • Разработан в 1947 – 1949 гг. американским математиком Джорджем Бернардом Данцигом. Предложенный им алгоритм реализации симплекс – метода сводится к поэтапному пересчету (по формулам) числовых значений компонент очередного анализируемого промежуточного решения (вектора Х) и проверки его на оптимальность. Результаты каждого этапа пересчета записываются в специальные таблицы (симплекс – таблицы). Количество таблиц соответствует количеству промежуточных решений, поэтому метод трудоемкий. 52

Симплекс – метод – это универсальный метод решения задач линейного программирования, представляющий собой итерационный процесс, который начинается с одного решения в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области возможных решений до тех пор, пока не достигнет оптимального значения; поэтому другое название симплекс – метода – метод последовательного улучшения плана. 53

Симплекс – метод предназначен для решения канонической задачи линейного программирования. Симплекс - метод состоит из двух частей: 1. Нахождение исходного опорного решения. Геометрически это соответствует нахождению одной из вершин многоугольника допустимых решений, безразлично какой. 2. Последовательный переход от полученного опорного решения к новому, лучшему опорному решению. Геометрически это соответствует переходу к такой вершине многоугольника, в которой значение целевой функции больше (в задачах на максимум), чем в предыдущей точке. Повторяя этот переход конечное число раз, получаем оптимальное решение. Метод Жордана – Гаусса – основа вычислительной схемы симплексного метода. 54

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС – МЕТОДА (I часть): ШАГ 1. Составить математическую модель задачи. ШАГ 2. Привести составленную модель к каноническому виду, т. е. представить систему ограничений в виде уравнений. ШАГ 3. Найти общее решение системы ограничений, в котором все свободные коэффициенты были бы неотрицательны, а затем для этого общего решения получить базисное. Для того, чтобы освободиться от отрицательных свободных коэффициентов, в системе уравнений среди них выбирается наибольший по абсолютной величине и уравнение, которое ему соответствует, надо умножить на (-1). Затем прибавить это уравнение почленно к тем, которые содержат отрицательные правые части. Уравнения с положительными свободными коэффициентами переписываются в новую систему без изменений. 55

Т. обр. , в преобразованной системе все свободные коэффициенты в правой части будут положительны, но нарушится единичный базис (в том уравнении, которое умножалось на (-1)). ШАГ 4. Приведение преобразованной системы к единичному базису. Правило выбора разрешающего элемента. 1. Уравнение, которое умножалось на (-1) проверяется на наличие в нем положительных коэффициентов. Если таких нет, то рассматриваемое уравнение противоречиво (левая часть отрицательна, правая - положительна), тогда система ограничений – равенств несовместна, т. е. не имеет решений. Если такие есть, то берется один из них и столбец, содержащий этот положительный коэффициент будет разрешающим столбцом. 56

2. Разрешающая строка выбирается по наименьшему отношению положительных свободных коэффициентов к соответствующим коэффициентам разрешающего столбца. 3. Разрешающий элемент берется на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки. Замечание. Если разрешающий элемент будет выбран в том уравнении, где нарушен единичный базис, то делая один шаг по методу Жордана – Гаусса, получим единичный базис. Если разрешающий элемент не расположен в интересующем нас уравнении, то весь процесс этого шага может быть повторен сначала несколько раз. В результате придем либо к единичному базису, либо установим противоречивость системы ограничений. ШАГ 5. Записываем опорное решение, для этого свободные переменные приравниваем к нулю, а базисные переменные – к соответствующим свободным коэффициентам. 57

Пример. Найти начальное опорное решение Решение. Шаг 1. Не выполняем, т. к. математическая модель уже есть. Шаг 2. Приводим систему ограничений к каноническому виду 58

Шаг 4. Приводим систему к единичному базису. x 1 1 1 2 0 1 0 x 2 2 2 3 x 3 1 0 0 x 4 0 -1 0 x 5 0 0 1 bi 8 1 10 0 2 -1 1 0 0 1 -1 2 0 0 1 7 1 8 x 1, x 3, x 5 – базисные переменные; х2 , х4 – свободные переменные Шаг 3 не выполняем, т. к. свободные коэффициенты – положительные числа. Шаг 5. 59

II ЧАСТЬ СИМПЛЕКС – МЕТОДА: Эта часть выполняется с помощью специальных таблиц, причем их оформление достаточно разнообразно. Опишем заполнение первоначальной симплекс – таблицы. 1. Главная часть – таблица Гаусса, только столбец свободных коэффициентов ставится на первое место (в нем записываются положительные компоненты исходного опорного плана и в нем же, в результате вычислений будут получены положительные компоненты оптимального плана), а контрольный столбец не пишется. Слева к главной части добавляется еще два столбца. В первом столбце против каждого уравнения указываются соответствующие базисные переменные, а во втором столбце – коэффициенты из целевой функции при этих базисных переменных. 60

2. Сверху к главной части добавляется одна строка, в которую записываются значения коэффициентов при неизвестных из целевой функции. Снизу к главной части добавляется еще одна строка, которая называется оценочной или индексной строкой. Элементы оценочной строки называют оценками , они показывают, можно ли улучшить найденное опорное решение или нет. На первом шаге оценочная строка заполняется коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками. На последующих шагах элемент оценочной строки равен сумме парных произведений элементов рассматриваемого столбца на элементы второго столбца слева минус элемент из верхней строки, стоящий в рассматриваемом столбце. 61

3. Решается задача на максимум, поэтому наличие отрицательных оценок будет указывать на то, что найденное опорное решение не оптимально и может быть улучшено. Если все коэффициенты оценочной строки неотрицательны, то план является оптимальным. Если имеются отрицательные оценки и в столбцах, соответствующих этим отрицательным оценкам, существует хотя бы один положительный элемент, то возможен переход к новому, лучшему плану, связанному с большим значением целевой функции. Если имеется отрицательная оценка и в столбце все элементы неположительны, то функция не ограничена сверху на области допустимых решений. Оптимальное решение достигается в бесконечности. 62

4. Освобождение от ненужных оценок (в задаче на максимум – отрицательные оценки) с помощью преобразований Жордана – Гаусса по специальному правилу, которое гарантирует, что свободные коэффициенты не изменят своих положительных знаков и число ненужных оценок не увеличится. Правило выбора разрешающего элемента: За разрешающий столбец берут тот, который содержит ненужную оценку и хотя бы один положительный элемент. Если ненужных оценок несколько, то начинают с наибольшей по абсолютной величине. Разрешающий столбец показывает, какая переменная на следующем шаге перейдет из свободных (небазисных) в базисные 63 переменные.

Разрешающая строка выбирается по наименьшему положительному отношению свободных коэффициентов (3 столбец слева) к соответствующим коэффициентам разрешающего столбца. Если этот минимум достигается в нескольких строках, то за разрешающую можно принимать любую. Разрешающая строка определяет ту переменную, которая на следующем шаге выйдет из базиса и станет свободной (небазисной). Разрешающий элемент стоит на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки. Признак существования неединственного решения – наличие хотя бы одной нулевой компоненты в оценочной строке, соответствующей небазисным переменным. 64

4. Построение нового опорного плана. Пересчет симплекс – таблицы методом Жордана – Гаусса. А) В первом столбце слева записываем новый базис: вместо той базисной переменной, которая вышла из базиса записываем переменную, вошедшую в базис (в таблице они указаны стрелочками). Во втором столбце проставляем соответствующие им коэффициенты из целевой функции. Б) В столбцах, соответствующим базисным переменным, проставляем нули и единицы: 1 – напротив «своей» базисной переменной; 0 – напротив «чужой» базисной переменной; 0 – в оценочной строке для базисных переменных. В) Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент. Г) все остальные элементы новой таблицы вычисляются по правилу прямоугольника. 65

5. Шаги по методу Жордана – гаусса выполняем до тех пор, пока не освободимся от ненужных оценок или пока не будет установлена неограниченность целевой функции. При переходе от одного опорного плана к другому значение функции может остаться прежним. Возможен случай, когда функция сохраняет свое значение в течение нескольких итераций, а также возможен возврат к первоначальному базису. В последнем случае говорят, что произошло зацикливание. При решении практических задач этот случай встречается очень редко. 66

Этапы нахождения оптимального плана симплексным методом: 1. Находят опорный план. 2. Составляют симплекс – таблицу. 3. Выясняют, имеется ли хотя бы одна отрицательная оценка. Если нет, то найденный опорный план – оптимален. Если есть отрицательные оценки, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану. 67

4. Находят разрешающий столбец и строку. Разрешающий столбец определяется наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой, а разрешающая строка – минимальным из отношений компонент столбца план к положительным компонентам разрешающего столбца. 5. Заполняется новая симплекс – таблица. 6. Найденный опорный план проверяют на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаемся к этапу 4, если оптимальный план получен или установлена неразрешимость, то задача решена. 68

СИМПЛЕКС – МЕТОД С ИСКУССТВЕННЫМ БАЗИСОМ (М-метод) Применяется в тех случаях, когда трудно найти первоначальный опорный план исходной задачи линейного программирования, записанной в канонической форме. М – это достаточно большое положительное число, конкретное значение которого не задается. 1. В каждое из уравнений, не содержащих базисной переменной, вводится искусственная неотрицательная переменная. Искусственные переменные вводятся также в целевую функцию с коэффициентом (-М), если задача решается на максимум. 69

2. Далее решается расширенная задача и по результатам ее решения находится оптимальное решение исходной задачи или делается вывод о неразрешимости. 3. В составленной таким образом задаче опорный план будет очевиден, а решение задачи может быть найдено симплексным методом. 4. Симплексная таблица решения будет иметь две оценочные строки. Оценки рассчитываются также как для обычного симплекса, в первую строку помещают слагаемые, не содержащие параметра М, а во вторую строку записывают коэффициенты при М. 70

Выбор разрешающего элемента производят по тому же правилу как в обычном симплексе, только освобождаются от ненужных оценок сначала во второй строке (М-достаточно большое положительное число, поэтому из базиса сначала будут выводиться искусственные переменные). 5. В процессе решения М-задачи если искусственная переменная выводится из базиса, то она не должна быть введена повторно, поэтому в таблице Гаусса в столбце, соответствующем выводимой переменной, ставится прочерк. 6. После исключения из базиса последней искусственной переменной, вторая оценочная строка не пишется и далее освобождаются от ненужных оценок в первой оценочной строке. 71

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС - МЕТОДОМ 1. Если найден оптимальный план и оценки всех свободных переменных строго больше нуля, то оптимальный план является единственным; если оценки некоторых свободных переменных в оптимальном плане равны нулю, то этот план будет неединственным, т. к. ввод этих переменных в базис не нарушает критерия оптимальности и не меняет оптимальное значение целевой функции. 72

2. Если в процессе решения задачи линейного программирования М-методом искусственные переменные не выводятся из базиса, то область определения исходной задачи – пустое множество. В этом случае задача линейного программирования не имеет решения из-за противоречивости системы ограничений. 3. Если в разрешающем столбце все элементы неположительны, то область определения задачи незамкнута и задача линейного программирования не имеет решения из-за неограниченности целевой функции. 73

ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Под двойственностью в линейном программировании понимается пара задач по определению экстремальных значений (максимум и минимум) целевых линейных функций при соответствующих ограничениях и условиях. Если одна из этих задач считается прямой или исходной, то другая, составленная по определенным правилам к исходной, называется двойственной. 74

Разновидности двойственных задач Несимметричные – ограничения прямой задачи задаются в виде уравнений, а ограничения двойственной – неравенствами. В двойственной задаче в этом случае отсутствуют ограничения на знаки переменных Симметричные –задание ограничений, как и в прямой задаче, в виде неравенств, а переменные обеих задач приобретают только неотрицательные значения. В этом случае прямая и двойственная задачи могут поменяться ролями, т. е. любая из них является двойственной по отношению к оставшейся. С использованием условия симметричности можно выбирать более удобную форму для решения задач. Очень большая по количеству строк исходная задача может в двойственной интерпретации принять допустимые размеры. 75

При общей постановке основная (прямая) задача линейного программирования задается ограничениями на переменные в виде неравенств и уравнений. Если переменная в исходной прямой задаче принимает только неотрицательные значения, то соответствующее j – ое ограничение двойственной задачи будет неравенством. Если переменная в исходной прямой задаче может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то соответствующее j – ое ограничение двойственной задачи будет уравнением. 76

Исходная и двойственная задачи обладают характеристиками: Позиции сравнения Исходная прямая задача Двойственная обратная задача записи Стандартная форма, причем если решается задача на max, то все неравенства должны быть вида « » , а в задаче на min – вида « » Форма задачи Линейная целевая функция Система ограничений (запись) Правые части в Коэффициенты при переменных в системе целевой функции обратной задачи целевой функции исходной задачи ограничений Совпадает с числом переменных в Число неравенств обратной задаче Матрицы коэффициентов при переменных в системе ограничений Условия неотрицательности прямой задаче 77

Алгоритм построения двойственной задачи: 1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений приводят к виду « » , а если минимум – к виду « » , для этого неравенства, не удовлетворяющие требованиям нужно умножить на (-1). 2. Составить расширенную матрицу А, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных, столбец правых частей исходной системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в целевой функции. Сформировать матрицу, транспонированную к матрице А. 78

3. Сформировать двойственную задачу на основании полученной матрицы и условия неотрицательности переменных. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются 79

свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде неравенства, соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если ограничение исходной задачи – равенство, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения. 80

НАХОЖДЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК Первая теорема двойственности. Для взаимнодвойственных задач линейного программирования имеет место один из взаимоисключающих случаев. 1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают, т. е. max F(X)=min Z(Y). 2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество. 3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым. 4. Обе рассматриваемые задачи имеют пустые допустимые множества. 81

Экономическое содержание первой теоремы двойственности Пусть - план выпуска продукции. Нужно определить оптимальный план, максимизирующий выпуск продукции. Цены ресурсов в экономической литературе могут называться учетными, неявными, теневыми. Эти названия говорят о том, что в отличие от цен на полученную продукцию, которые достаточно могут прогнозироваться, цены ресурсов являются внутренними, т. к. они задаются не извне, а определяются в результате решения задачи, поэтому их называют оценками ресурсов. Если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. 82

Причем стоимость выпущенной продукции, полученной при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадения значений целевых функций для соответствующих планов пары двойственных задач достаточно, чтобы эти планы были оптимальными. Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки гарантируют равенство общей оценки продукции и ресурсов и обусловливают убыточность любого другого плана, отличного от оптимального. 83

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости) Пусть - допустимое решение прямой задачи, а - допустимое решение двойственной задачи. Для того, чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимнодвойственных задач необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения: Эти условия (записаны в координатной форме) позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимнодвойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи. 84

Из этих условий следует: 1) Если какое – то i-е ограничение прямой задачи в ее оптимальном плане Х* обращается в строгое неравенство, то соответствующая i-я компонента оптимального плана Y* двойственной задачи должна равняться 0; 2) Если какая – то j-я компонента оптимального плана Х* прямой задачи положительна, то соответствующее j-е ограничение в двойственной задаче должно обратиться в равенство. Если , то Если то 85

Экономическая интерпретация условий дополняющей нежесткости 1) Если в оптимальной системе оценок какой-то ресурс i получит отличную от нуля оценку , то в соответствии с оптимальным планом производства прямой задачи, этот ресурс является дефицитным и будет израсходован полностью: 2) Если какой – то ресурс i расходуется не полностью (избыточен, недефицитен), т. е. , То его оценка равна 0, т. е. . Оценки оптимального плана – это мера дефицитности ресурсов. 86

ОБЩИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Балансовый метод. Принципиальная схема межпродуктового баланса Балансовый метод – метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Если представить, что экономическая система состоит из экономических объектов, каждый выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими объектами системы, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного продукта, то балансовая модель – система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. Если вместо понятия продукт ввести более общее понятие ресурс, то балансовая модель – система уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования (могут быть и такие примеры балансового соответствия: наличие рабочей силы и количества рабочих мест; платежеспособный спрос населения и предложение товаров и услуг). Соответствие понимается или как равенство, или как достаточность ресурсов для покрытия потребности и наличие некоторого резерва. 87

• • • Особенности балансовых моделей: основа информационного обеспечения – матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования; строятся в виде числовых матриц – прямоугольных таблиц чисел. Виды балансовых моделей: частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей; межотраслевые балансы; матричные техпромфинпланы предприятий и фирм. Преимущества балансового метода и создаваемых на его основе балансовых моделей: это основной инструмент поддержания пропорций в народном хозяйстве. 88

Недостатки балансового метода и создаваемых на его основе балансовых моделей: • не содержат механизма сравнения отдельных вариантов экономических решений; • не предусматривают взаимозаменяемости разных ресурсов, т. е. невозможно сделать выбор оптимального варианта развития экономической системы. 89

В основу схемы межотраслевого баланса положено разделение совокупного продукта на две части: промежуточный и конечный продукты; все народное хозяйство представлено в виде совокупности n отраслей (имеются в виду чистые отрасли – условные отрасли, объединяющие все производство данного продукта независимо от административной подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Например, под отраслью «электроэнергетика» понимается совокупность всех электростанций вне зависимости от их ведомственной принадлежности. Каждая отрасль выпускает продукцию только одного типа, разные отрасли выпускают разные продукты). Каждая отрасль в балансе рассматривается и как производящая и как потребляющая. Каждая отрасль потребляет определенный вид продукции как своей (внутриотраслевое потребление) и продукции других отраслей. С другой стороны, одна часть продукции каждой отрасли представляет собой средства производства и продолжает оставаться в сфере производства, другая часть – выбывает из сферы производства и поступает в фонды потребления и накопления. 90

Принципиальная схема межотраслевого баланса Производящие отрасли Потребляющие отрасли 1 1 2 … n … xn 1 2 … xn 2 Конечный продукт 3 … n … xn 3 … … Валовой продукт … xnn Амортизация Оплата труда Чистый доход … III … Валовой продукт … IV 91

• Единицы измерения величин могут быть не только стоимостными, но и натуральными (тоны, штуки, киловатт-часы), в зависимости от этого различают стоимостной, натуральный и смешанный межотраслевой баланс. • Каждая отрасль как производящая упоминается по строкам, как потребляющая – по столбцам (i – производящие отрасли, j – потребляющие отрасли). • В представленной схеме межотраслевого баланса выделяют четыре крупные составные части, которые имеют различное экономическое содержание и называются квадрантами баланса (на схеме обозначены римскими цифрами). 92

• Первый квадрант – это шахматная таблица межотраслевых материальных связей, - величины межотраслевых потоков продукции, где i и j – соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Первый квадрант – это квадратная матрица порядка n, сумма всех элементов которой равна годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере. • Второй квадрант – конечная продукция – т. е. продукция, выходящая из сферы производства непосредственно в потребление (на потребление и накопление). Второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода, а в развернутом виде – распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления, структуру потребления и накопление по отраслям производства и потребителям. 93

Третий квадрант также характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации. Чистая продукция ( ) - это сумма отплаты труда и чистого дохода отраслей. Условно чистая продукция отрасли (обозначим - сумма амортизации и чистой продукции. Четвертый квадрант находится на пересечении столбца конечный продукт и строки условно чистой продукции, поэтому отражает конечное распределение и использование национального дохода, а также содержит амортизационные расходы. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства. Данные этого квадранта нужны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных 94

Общий итог четвертого квадранта должен быть равен созданному за год национальному доходу плюс амортизационные отчисления. Валовой продукт некоторой отрасли в схеме обозначен с нижним индексом, равным номеру данной отрасли. Запишем два соотношения, которые отражают сущность межотраслевого баланса: 1) Рассматриваем схему баланса по столбцам: итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли где j=1, 2, …, n. - сумма амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-ой отрасли. Это соотношение охватывает систему из n уравнений, отражающих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы. 95

2) Рассматриваем схему баланса по строкам: для каждой производящей отрасли валовая продукция отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли где i=1, 2, …, n. Это соотношение охватывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования. 96