Элементы технической теории оболочек z

Элементы технической теории оболочек

z Задние поверхности в декартовой системе координат M Явная функция x, y β Неявная функция x, y α z Если используется гипотеза x Кирхгофа-Лява, то имеем y техническую теорию оболочек x y Оболочки бывают: моментные, безмоментные, полубезмоментные, пологие, толстые, тонкие Обозначим: h – толщина оболочки, R – радиус кривизны срединной поверхности оболочки. Граница между тонкими и толстыми оболочками На практике 1/1000

ds Первая квадратичная форма β поверхности α -коэффициенты Ламе -первой квадратичной формы поверхности - главные кривизны - радиусы кривизны кривых

Кривизны срединной поверхности оболочек определяются по формулам Тензор кривизн Определение главных кривизн Инварианты тензора кривизн Уравнение Кодацци Уравнение Гаусса

Гауссова кривизна поверхности оболочки Г > 0 – оболочки положительной гауссовой кривизны Г = 0 – оболочки нулевой гауссовой кривизны Г < 0 – оболочки отрицательной гауссовой кривизны - оболочка переменной гауссовой кривизны

Виды оболочек Линейчатые оболочки Складка

Основные гипотезы теории оболочек 1. Гипотеза Кирхгофа-Лява. Прямоугольный элемент, перпендикулярный к срединной поверхности до деформации остается прямым и перпендикулярным к деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины. 2. Нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими напряжениями. 3. Справедлив закон парности (взаимности) касательных напряжений Усилия, возникающие в оболочке 1. Осевые (мембранные) усилия: - нормальные усилия, - сдвигающая сила 2. Усилия моментной группы: - изгибающие и крутящий момент - поперечные силы

Условия существования безмоментного состояния 1. Нагрузка плавно изменяется по поверхности оболочки 2. Толщина оболочки изменяется плавно, ребра жесткости отсутствуют 3. Опорные устройства не препятствуют перемещениям контурных точек по нормали к контуру и углам поворота. Опорные реакции лежат в касательной плоскости к оболочке, проходящей через точки контура В безмоментной оболочке возникают только осевые (мембранные) усилия N n S R

Основные уравнения безмоментной теории оболочек

Безмоментная теория оболочек вращения θθ r R 2 dθ N 2 φ R 1 N 1 S dφ

Безмоментные осесимметричные оболочки вращения Если тогда и имеем уравнение Его решение имеет вид Расчет сферической оболочки на собственный вес

0, 4 R q. R T N R 0, 8 R T N N 1 N 2 T=0, 375 q. R, T=0, 487 q. R, T=0, 190 q. R

Краевой эффект Уравнение краевого эффекта M произвольные постоянные