Элементы теории вероятностей Ахмеджанова Т Д Понятие

Элементы теории вероятностей Ахмеджанова Т. Д.

Понятие о случайном испытании q q Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Результат, исход испытания называется событием.

Совместные события Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. o. Пример 1. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А - появление четырех очков. Событие В появление четного числа очков. События А и В совместные.

несовместные события o o o Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Несовместность более чем двух событий означает их попарную несовместность. Пример 2. Испытание: однократный выстрел из винтовки. Событие А попадание в мишень, событие В непопадание. Эти события несовместны.

противоположные события o o o Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместны, и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через Ā. Пример 3. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А - выпадение герба, событие Ā - выпадение цифры. Эти события противоположны, т. к. исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого.

Достоверные и невозможные события o o Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Пример 4. Достоверное событие: произвольное трехзначное число не больше 1000. Невозможное событие: трехзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3 и кратное 5.

Случайные события o o Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании. Пример 5. Событие А: родившийся ребенок мальчик. Это событие может произойти, а может и не произойти.

полная группа событий o Определение. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них. n Пример. Совокупность событий А 1, А 2 и т. д. , А 6 – выпадений соответствующего числа очков на игральной кости при однократном испытании, - полная группа событий.

o Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий U 1, U 2, U 3, . . , Un, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий Ui (i = 1, 2, 3, . . . , n) равновозможно, т. е. условия испытания не создают преимущества в появлении какоголибо события перед другими возможными.

элементарные события o События U 1, U 2, …, Un, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называются элементарными событиями.

o Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Классическое определение вероятности o Вероятностью Р (А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех элементарных событий, т. е.

Задача o В классе 30 учеников. Из них 12 мальчиков. К доске вызваны двое учеников. Какова вероятность, что это мальчики? девочки? Мальчик и девочка? n Решение.

Из данного определения вероятности вытекают следующие свойства: 1. 2. 3. Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

1. Вероятность достоверного события равна единице. Достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т. е. m = n , следовательно, P(A) = 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т. е. m = 0, откуда:

Вероятность случайного события положительное число, заключенное между нулем и единицей. o o o Cлучайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. В этом случае и, значит, . Следовательно, 0< P(A) <1.

Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: Пример 15. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет нечетное число очков. Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3:

Статистическое определение вероятности o Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. n n n Например, вероятности таких событий, как o попадание в цель при выстреле; o выход из строя интегральной схемы в течение одного часа работы; o выявление при контроле за день ровно m дефектных изделий, не могут быть найдены по формуле классической вероятности. В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.

Относительная частота o o Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз. Определение. Число m называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение называется относительной частотой события А.

Пример 16 q В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. n Здесь m = 5 - абсолютная частота некачественных яиц, а Р*(А)= 5 : 100 = 0. 05 - относительная.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения , которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n - числа испытаний в сериях - относительная частота приближается к некоторому числу Р (А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

статистическое определение вероятности Вероятностью события А в данном испытании называется число Р (А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n. n Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико.

Пример 17 Как установить число рыб в озере? n Пусть в озере x рыб. Забросим сеть и, допустим, находим в ней n рыб. Пометив каждую, выпускаем их обратно. Через некоторое время при тех же условиях повторяем опыт. Предположим, что в сети мы нашли m рыб, среди которых k меченых. Пусть событие А “пойманная рыба мечена”. Тогда относительная частота Но если в озере x рыб, и мы в него выпустили n меченых, то согласно формуле классической вероятности Так как то

Свойства вероятности Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Определение o o Суммой событий А и В называется событие С = А+ В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В. Аналогично, суммой конечного числа событий А 1, А 2, . . . Аk называется событие А = А 1+А 2+. . . +Аk, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Ai (i=1, 2, . . . , k).

Пример 18 o Событие А - “попадание в мишень первым выстрелом”, событие В “попадание в мишень вторым выстрелом”. В чем состоит событие С = А + В? n Событие С - “попадание в мишень хотя бы одним выстрелом”.

Определение o o Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением конечного числа событий А 1, А 2, . . . , Аk называется событие А = А 1 А 2. . . Аk , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

Пример 19 o o А - “родившийся ребенок девочка”, В - “родившийся ребенок голубоглазый”, С – “родившийся ребенок - голубоглазая девочка”. Событие С происходит только при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С = А В. Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Пример 20 o В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 р. , 100 - по 100 р. , 500 - по 25 р. , 1000 - по 5 р. Куплен один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25 р. ? n Обозначим события: А - “выигрыш не менее 25 р. ”, В - “выигрыш равен 25 р. ”, С - “выигрыш равен 100 р. ”, D - “выигрыш равен 200 р. ”. A = B + C + D, где события В, С, D попарно несовместны, поэтому n P(B)= 0. 05; P(C) = 0. 01; P(D) = 0. 001; P(A) = 0. 05 + 0. 01 + 0. 001 = 0. 061.

Следствие Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р (А)+Р( )=1.

Теорема умножения вероятностей

Определение o o Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Определение o o o Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью Р (В A) cобытия В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило. Условную вероятность естественно рассматривать как долю тех исходов, благоприятствующих событию A, которые благоприятствуют и событию В. Заметим, что если события А и В независимы, то Р (В А) = Р (В).

Теорема 1 o o Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого, найденной в предположении, что первое событие уже наступило: Р (АВ)=Р(А)Р(В А). NB!

Пример 21 o Из колоды в 36 карт наудачу одну за другой вынимают пять карт. Найти вероятность того, что вынутые карты определённой масти.

Теорема 2 o Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р (АВ)=Р(А)Р(В).

Пример 22 Докажите, что при бросании кости события А - “выпало чётное число очков” и В - “число выпавших очков делится на 3” являются независимыми.

Теорема сложения вероятностей совместных событий o Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: Р (А+В) = Р (А)+Р (В) - Р (АВ).

Пример 23 Два стрелка одновременно и независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если вероятность попадания одного стрелка 0. 9, а второго 0. 8?

Решение

Пример 24 Ошибка Д’Аламбера q Бросают две симметричных монеты. Какова вероятность того, что обе упадут «гербом кверху» - ГГ? q q Решение. Событие А 1 – 1 монета упала «гербом кверху» , А 2 – 2 монета. Д’Аламбер полагал, что события ГГ, ГР, РР равновозможны, поэтому их вероятности равны, т. е. 1/3.

Пример 25 o o Трёхтомник стихотворений стоит на полке в случайном порядке. Найдите условную вероятность того, что первый том окажется на первом месте, при условии, что вторым на полке стоит второй том. Ответ: 1/2.

Пример 26 Из корзины, в которой первоначально было 10 синих, 5 красных и 1 жёлтый цветок, выронили один цветок. После этого из букета извлекли наугад 2 цветка: оказалось, что 1 синий и 1 красный. Какова вероятность, что потерян был жёлтый цветок?

Геометрические вероятности o Вероятность попадания точки в некоторую часть В области А равна отношению меры (длины, площади, объёма) этой части к мере всей области А, в предположении, что указанные меры определены, причём μ(А) 0:

Пример 27 Задача о встрече Двое условились встретиться между часом и двумя после полудня, причём каждый из пришедших ждёт другого 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что встреча состоится, если приход каждого в течение указанного времени происходит наугад и моменты прихода независимы?

Решение Пусть x и y - соответствующие моменты прихода договорившихся; 0 x 1, 0 y 1(в часах). Условие встречи: Геометрическая интерпретация задачи: в декартовой системе координат в квадрат 0 x 1, 0 y 1 наугад бросают точку. Какова вероятность того, что её координаты будут удовлетворять условию

Решение Искомая вероятность равна отношению площади шестиугольника к площади квадрата: y 1 1/2 0 1/2 1 x

Спасибо за внимание!