Элементы теории множеств Множество по Г Кантору

Элементы теории множеств

Множество (по Г. Кантору) – любая совокупность объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимая как единое целое и обладающая следующими свойствами: 1. Элементы множества представляют собой определенные и попарно различимые объекты. 2. Элементы и состав множества не меняются с течением времени.

Обозначения A, B, C, D – обозначение для имен множеств x, a, b, bi, cij – обозначение для элементов множеств x A – x принадлежит множеству x A – x не принадлежит множеству A x A A x x

Примеры N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел; Примеры: 0, 3 N 0, 3 Q лишение свободы Множеству видов уголовных наказаний заведомо ложная реклама Множеству преступлений

Мощность множества Мощностью множества А называется количество входящих в его состав различных элементов и обозначается через |А|. Примеры: A = {a, b, c, d} B = {a, b, {a, b}, a} C = {a 1, a 2, …, an} D = {N, 1, {1, 2}} E = {a} |A|=4 |B|=3 |C|=n |D|=3 |E|=1

Виды множеств по мощности множества бесконечные счетные несчетные счетнобесконечные

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента. Оно обозначается , его мощность равна нулю: | |=0. Для произвольно заданного множества не всегда можно сказать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Пустое множество единственно, т. е. не существует двух разных пустых множеств.

Способы задания множеств 1. Табличная форма или перечисление элементов Данный способ состоит в том, что дается полный список элементов, входящих в это множество: А = {a 1, a 2, …, an}. Примеры: множество студентов данной группы определяется их списком в журнале; множество всех стран на земном шаре - их списком в атласе, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.

Способы задания множеств 2. Описание признака элементов множества В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства (или признака) P(x): A = {x | P(x)} Примеры: Свойство «быть квадратом целого числа» задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел: A = {y | n Z и y=n 2} Свойство «делиться на число 2 без остатка» задает множество четных чисел: B = {y | n Z и y=2*n}

Способы задания множеств 3. С помощью порождающей процедуры (рекурсии) Данный способ состоит в том, что каждый последующий элемент множества определяется на основании предшествующих элементов. Пример: Множество, в котором каждый последующий элемент есть сумма двух предыдущих, задается следующим образом: F = {xk | x 0=0, x 1=1, xk=xk-2+xk-1}

Отношения множеств

Отношение равенства Два множества называются равными, если каждый элемент любого из них необходимо является элементом другого. Множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. A=B (x A x B) А А=В В

Свойства отношения равенства А=А рефлексивность А=В В=А симметричность А=В и В=С А=С транзитивность А А=В В

Отношение включения Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является также элементом множества В. A B (x A x B) В А

Свойства отношения включения А А А В & В А А=В А В & В С А рефлексивность антисимметричность транзитивность свойство нейтрального элемента C В А B А

Отношение включения Пример: Булеаном множества 2, 3} все его множество всех Для множества A = {1, А называетсяподмножества подмножества A. перечислим при помощи таблицы: Обозначение: В(А) j 2 + + 3 + - 4 + 5 + - 6 + 7 - 8 - 3 i 1 2 1 + + + - - + - Если в множестве A содержится n элементов, то общее число всех его подмножеств равно 2 n

Операции над множествами

Виды операций Ø Объединение Ø Пересечение Ø Разность Ø Дополнение

Объединение множеств Объединение двух множеств – это множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежат хотя бы одному из этих множеств. A B = {x | x A или x B} юристы А В ИЛИ депутаты

Свойства операции объединения A A = A идемпотентность A B = B A коммутативность (A B) C = A (B C) ассоциативность А =А свойство нейтрального элемента А В

Пересечение множеств Пересечение двух множеств – это множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежат обоим множествам одновременно. A B = {x | x A и x B} юристы А В И депутаты

Свойства операции пересечения A A = A идемпотентность A B = B A коммутативность (A B) C = A (B C) ассоциативность А = свойство нейтрального элемента А В

Свойства операций 1) Свойство дистрибутивности A (B C) = (A B) (A C) 2) Формулы поглощения A (A B) = A А В

Разность множеств Разность двух множеств A и B – множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. AB = {x | x A и x B} юристы А В депутаты

Дополнение Пусть А – подмножество множества В. Дополнением множества А до множества В называют разность В A. Обозначают СВ(А). Св. A = {x B | x A} СВ(А) В А

Дополнение до универсума Универсальным множеством (универсумом) называется множество, включающее в себя все множества. Обозначение – . Дополнение множества А до универсума обозначают A: A = {x | x A} А А кроме

Свойства универсума и дополнения A = A A = A = A A A = А А А В

Законы Де Моргана А А В В

Декартово произведение множеств Декартовым (прямым) произведением двух множеств А и В называется множество всевозможных упорядоченных пар вида (a, b), где a A и b B. A B = {(a, b) | a A и b B} Пример A = {a, b} B = {c, d} A B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}