Элементы теории множеств Георг Кантор 1845 -1918

Элементы теории множеств Георг Кантор 1845 -1918 “ Множество есть многое , мыслимое нами как единое ” Георг Кантор

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Примеры конечных множеств Множество русских студентов преподавателей гласных букв К числу конечных множеств относится также и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначают знаком Ø. Например: Множество отличников в какой-либо из групп может оказаться пустым

Примеры бесконечных множеств В качестве примеров бесконечных множеств можно привести множества, рассматриваемые в математике: множество всех натуральных чисел (N) и множество всех целых чисел (Z). N Z

Способы задания множеств Перечисление – дается полный перечень элементов множества. Примеры: 1. Множество букв русского алфавита А={а, б, …, я}. 2. Множество делителей числа 12 D = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Ясно, что перечисление можно использовать только для задания конечных множеств.

Способы задания множеств Описание – задается свойство, которому удовлетворяют все элементы множества. Свойство, определяющее множество, называется характеристическим. Примеры: 1. Множество всех студентов – отличников. Характеристическое свойство: все, предусмотренные учебным планом, формы контроля пройдены только с отличными оценками. 2. Множество четных чисел. Характеристическое свойство: число делится на 2 без остатка.

Принятые обозначения Обычно множества обозначают заглавными латинскими буквами, а их элементы строчными латинскими буквами. При описании множеств используются различные символы, операции. Если A есть некоторое множество, а x — входящий в него объект, то символическая запись x A означает, что x является элементом множества A; при этом говорят: «x входит в А» , «x принадлежит А» . Если x не принадлежит множеству А, то пишут x А. Пример: Пусть, например, А есть множество букв русского алфавита, тогда, обозначив букву “д” как элемент х, а букву “d” как элемент y, можно записать х A, y А.

Отношения между множествами Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, английский математик Дж. Венн предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Джон Венн 1834 - 1923 Намного раньше Леонард Эйлер для этих целей использовал круги, при этом точки внутри круга считались Леонард Эйлер элементами множества. 1707 - 1783 Такие изображения называют диаграммами Эйлера - Венна.

Отношения между множествами Возможны пять вариантов отношения двух множеств B A A Вариант 1 A B Вариант 3 B Вариант 2 A B Вариант 4 A, B Вариант 5

Отношения между множествами A B Вариант 1 A B A B A, B Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Упражнение: Ответьте, какому из вариантов соответствуют отношения множеств, описанных ниже. 1. А - множество успевающих студентов; В - множество участников художественной A B самодеятельности. 2. А - множество студентов-юношей; B A В - множество студенток. 3. А - множество отличников учебной группы; В - множество всех студентов этой группы. A B 4. Какое соотношение между множеством успевающих студентов юридического факультета (А) и множеством всех студентов того же факультета (В) является мечтой деканата этого факультета. А, В

Основные операции над множествами Объединением (или суммой) двух множеств A и B называется множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из этих множеств. Объединение множеств A и B обозначают как A B. Если одни и те же элементы содержатся в обоих множествах, то в объединение эти элементы входят только по одному разу. Примеры: 1. Объединение двух уголовных дел в одно производство приводит к А A B объединению списков обвиняемых. В 2. А={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} B={4, 7, 10, 13, 16, 19 } C = A B ={2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20}

Основные операции над множествами Пересечением (или умножением) двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и множеству В одновременно. Пересечение множеств A и B обозначают как A B. Примеры: 1. Множество участников самодеятельности, успевающих без троек может быть получено A как пересечение двух соответствующих списков. A B 2. Пересечение четных чисел А и чисел, делящихся на 3 – В, даст множество чисел, B делящихся на 6.

Основные операции над множествами Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству В. Разность множеств A и B обозначают как A B. Операция, при помощи которой находится разность множеств, называется вычитанием. Если В А, то разность A B называется дополнением AА В множества B до множества A. B Если множество B является подмножеством универсального множества U, то дополнение B до U обозначается В , то есть В = U B.

Свойства объединения и пересечения множеств Из определений объединения и пересечения множеств вытекают свойства этих операций, представленные в виде равенств, справедливых для любых множеств A, B и С. 1. A B = B A — коммутативность объединения; 2. A B = B A — коммутативность пересечения; 3. A (B С) = (A B) С — ассоциативность объединения; 4. A (B С) = (A B) С— ассоциативность пересечения; 5. A (B С) = (A B) (A С) — дистрибутивность пересечения относительно объединения; 6. A (B С) = (A B) (A С) — дистрибутивность объединения относительно пересечения.

Разбиение множества на классы Классификацией или разбиением множества на классы называется представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся своих подмножеств. Пример: Рассмотрим классификацию с помощью двух свойств. Пусть U — множество студентов юридического факультета ИУБ и П, свойство α - «быть отличником» , свойство β - «быть спортсменом» . С помощью указанных свойств можно выделить следующие подмножества: А — множество отличников; А — множество неотличников; В — множество спортсменов; В — множество неспортсменов.

Разбиение множества на классы Множество U в этом случае оказывается разбитым на следующие четыре класса (подмножества): I — множество отличников-спортсменов; II — множество отличников - не спортсменов; III — множество не отличников - спортсменов; IV — множество не отличников - не спортсменов. U A II I III B IV Можно доказать, что если n — число свойств, то максимальное число классов в разбиении равно 2 n.

Число элементов объединения двух конечных множеств Пусть A и B — конечные множества. Число элементов множества A условимся обозначать символом m(A) и называть численностью множества A. Определим численность объединения множеств A и B. Если множества A и B не А В пересекаются (вариант 1), то m(A B) = m(A) + m(B). Вариант 1 Если множества A и B пересекаются (вариант 2), то в В сумме m(A) + m(B) число А A B элементов пересечения A B содержится дважды. Поэтому Вариант 2 m(A B) = m(A) + m(B) - m(A B)

Число элементов разности двух конечных множеств Пусть A и B — конечные множества. Определим численность разности множеств A и B. Если множества A и B не пересекаются (вариант 1), В А то А В= А, поэтому m(AB) = m(A). Вариант 1 Если множества A и B В пересекаются (вариант 2), то А A B m(AB) = m(A) - m(A B). Вариант 2 Если В А (вариант 3), то А A B = B, и, следовательно, В m(AB) = m(A) - m(B). Вариант 3

Элементы комбинаторики При организации работы различных служб, в том числе и юридических, довольно часто возникает необходимость количественной оценки возможных вариантов. В большинстве случаев рассмотрение подобных ситуаций приводит к решению комбинаторных задач. Комбинаторные задачи связаны: 1. с выбором из некоторой группы объектов тех, которые обладают заданным свойством; 2. с расположением этих объектов в определенном порядке; 3. с расчетом числа возможных комбинаций.

Правило умножения Задача 1. 90 дней майора Зимина. Майор Зимин ежедневно формирует наряд для поддержания общественного порядка в центре города Дрюкова. Состав наряда – старший и дежурный. В распоряжении майора 10 милиционеров. Чтобы избежать длительных контактов милиционеров с нарушителями правопорядка, майор составляет наряд каждый день поразному. Через сколько дней майору придется повторить состав наряда? Решение. Майор не изучал в ВУЗе элементы комбинаторики, но будучи от природы человеком весьма сообразительным и являясь страстным болельщиком футбольной команды «Динамо» города Брюкова, решил воспользоваться наглядным видом турнирной таблицы, предварительно пронумеровав своих милиционеров. Таблица имела вид приведенный ниже.

№ Старший/Дежурный 1 2 3 4 5 6 7 8 1 Авдеев А. Б. Х 0 0 0 0 2 Семенов П. Р. 0 Х 0 0 0 3 Козлов Е. И. 0 0 Х 0 0 0 4 Орлов В. И. 0 0 0 Х 0 0 5 Сергеев К. И. 0 0 Х 0 0 0 6 Пантелеев Л. Б. 0 0 0 Х 0 0 7 Федоров Ф. А. 0 0 0 Х 0 8 Пупкин В. И. 0 0 0 0 Х 9 Сенькин О. И. 0 0 0 0 10 Фенькин Д. П. 0 0 0 0 Проставив в каждой клетке дату дежурства, подсчитал количество вариантов N = 10 * 9 = 90. 9 10 0 0 0 0 Х 0 0 Х майор

Правило умножения Чтобы оценить количество возможных различных оперативных групп по два человека в составе: старший и дежурный, можно воспользоваться следующими рассуждениями: 1. Сколькими способами можно назначить старшего s=10 . Сколькими способами можно назначить каждому старшему дежурного d=9. 3. Для получения общего количества возможных вариантов необходимо перемножить полученные выше оценки N = s * d = 10 * 9 = 90. Правило умножения. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, после чего второе действие можно выполнить n 2 способами, после чего третье действие можно выполнить n 3 способами, и так далее до k-го действия, которое можно выполнить nk. способами, то все k. действий вместе могут быть выполнены n 1 n 2 n 3. . . nk способами.

Размещения, перестановки, сочетания При решении комбинаторных задач мы имеем дело с комбинациями из некоторых предметов, которые могут отличаться одна от другой числом предметов, их составом и порядком. Пример 1. Пять бойцов сержанта Сбруева. В отделении сержанта Сбруева проходят службу 5 новобранцев: Белкин, Пенкин, Фенькин, Свечкин и Овечкин. Сколькими способами сержант может построить этих новобранцев в одну шеренгу? Решение. Обозначим каждого из солдат первой буквой его фамилии и рассмотрим число возможных вариантов. Все комбинации отличаются одна от другой порядком букв и называются перестановками из пяти букв. Сформулируем определение и общую формулу, а затем вернемся к примеру. Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов. Число всех различных перестановок из п элементов равно п! Рn=1*2*3*…*n=n! Эту формулу легко доказать на основе правила умножения.

Размещения, перестановки, сочетания Пример 2. Однажды утром по улицам города Дрюкова на высокой скорости пронеслась машина. Она сбила зазевавшегося поросенка и скрылась. Свидетель N к приезду милиции, вспомнил только, что номер четырехзначный, все цифры разные, причем первая цифра 1, а последняя 4. Сколько автомобилей должна проверить автоинспекция? Решение. Второй и третьей цифрами номера могут быть любые две из следующих цифр: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Нужно перебрать столько номеров, сколько будет возможных комбинаций из восьми перечисленных цифр по две с учетом их порядка. Такие комбинации называются размещениями. В данном случае нас интересует число размещений из восьми цифр по две. Размещением из n элементов по m называется всякая перестановка из m элементов, выбранных каким-либо способом из данных n. По правилу умножения легко доказать, что число размещений из п элементов по m = n*(n-1)*…(n-m+1).

Размещения, перестановки, сочетания Пример 3. День брюквы. Согласно древнему обычаю, самый главный праздник в Брюкове – День Брюквы, проводится за счет средств городского бюджета и празднуется столько дней, сколько депутатов проголосует за то, чтобы праздник состоялся. Из десяти депутатов «за» проголосовали семь. Каково число всех возможных вариантов голосования? Решение. Мы должны найти число всех возможных групп из семи депутатов. Здесь порядок выбора не играет никакой роли, поэтому комбинации отличаются одна от другой только составом лиц. Комбинации такого типа называются сочетаниями. Сочетанием из n элементов по m называется всякая совокупность m элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов.

Отношения между множествами Множества A и B не имеют общих элементов A B Примеры: 1. А – списочный состав группы ЮД-111, В - списочный состав группы ЮД-112. 2. А – множество всех четных чисел, В – множество нечетных чисел, делящихся на 3.

Отношения между множествами Множества A и B имеют общие элементы, но не все элементы множества A принадлежат множеству B , и не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о пересечении множеств A и B. A B Примеры: 1. А – списочный состав группы ЮД-111, В – команда КВН ИУБ и П. 2. А = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; В = {9, 13, 17}.

Отношения между множествами Все элементы множества B принадлежат множеству A, но не все элементы множества А принадлежат множеству В. В этом случае говорят включении множества В во множество А. Определение: Если имеются два множества A и B, причем каждый элемент множества В B A принадлежит множеству А, то множество В называется подмножеством множества А. Записывается это так: В А. Примеры: 1. А – списочный состав группы ЮД-111, В – юноши группы ЮД - 111. 2. А = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; В = {9, 11, 15}.

Отношения между множествами Все элементы множества А принадлежат множеству В, но не все элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае говорят включении множества А во множество В. Определение: Если имеются два множества A и B, причем каждый элемент множества А A В принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В. Записывается это так: В А. Примеры: 1. В – списочный состав группы ЮД-111, А – юноши группы ЮД - 111. 2. В = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; А = {9, 11, 15}.

Отношения между множествами Все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят, что множества A и B равны В A Определение: а) Два множества A и B называются равными (или совпадающими), если А В и В А. б) Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывается это так: А = В.