ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Родилась теория графов в

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Родилась теория графов в Санкт-Петербурге. Ее создателем является Л. Эйлер, который в 1736 году опубликовал решение задачи о Кенигсбергских мостах. Суть задачи состоит в следующем. Город Кенигсберг был построен в месте слияния двух рек на их берегах и на двух островах. В городе было семь мостов, которые соединяли острова между собой и с береговыми частями города. Мог ли любой житель города выйти из дома, пройти по всем семи мостам города в точности по одному разу и вернуться домой?

План города Кенигсберг

На рисунке плана города a, b, c, d – части суши. Эйлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Более того, он доказал, что подобный маршрут имеется только для такого графа, каждая из вершин которого связана с четным числом ребер (на графе, изображенном на рисунке справа, части суши изображены точками – вершинами графа, а связи между ними – линиями произвольной конфигурации, называемыми ребрами или дугами).

§ 1. ВИДЫ ГРАФОВ 1. Основные понятия и определения теории графов. 2. Виды графов. 3. Изоморфизм графов.

Во многих прикладных задачах изучаются системы связей между различными объектами. Объекты называются вершинами и отмечаются точками, а связи между вершинами называются дугами и отмечаются стрелками между соответствующими точками. Такие системы и образуют графы.

Вопрос 1. Основные понятия и определения теории графов О. 1. 1. Граф – совокупность непустого множества V вершин и набора Е неупорядоченных и упорядоченных пар вершин из V. Обозначение: G = G(V, Е). Число вершин графа G(V, Е) называется его порядком. О. 1. 2. Неупорядоченная (упорядоченная) пара вершин называется ребром (дугой).

О. 1. 3. Граф G называется: 1) ориентированным (орграфом), если он содержит только дуги; 2) неориентированным (неорграфом), если он содержит только ребра; 3) смешанным, если он содержит и дуги, и ребра. О. 1. 4. Соответствующая графу G геометрическая конфигурация, в которой вершины изображаются точками или кружками, а ребра (дуги) – линиями, называется изображением графа G или диаграммой.

В изображении графа ребра (дуги) могут быть прямолинейными или криволинейными, длины ребер (дуг) и расположение вершин произвольны. Пример 1. На рисунке представлены изображения перечисленных выше видов графов.

Обозначения элементов графа: • Вершины – буквами u, v, w (с индексами или без них); • Ребра (дуги) – буквами е, х, у, z (с индексами или без них); • Ребро в графе – е = {u, v}, где u и v – вершины, соединенные ребром е; • Дуга в орграфе – е = (u, v); • Число вершин в графе (орграфе) – n (порядок графа или орграфа); • Число ребер (дуг) в графе (орграфе) – m.

О. 1. 5. Если е = {u, v}‒ ребро, то вершины u и v называются концами ребра е. В этом случае говорят, что ребро е соединяет вершины u и v. О. 1. 6. Если е = (u, v) ‒ дуга, то вершина u называется началом, а вершина v ‒ концом дуги е. В этом случае говорят, что дуга е исходит из вершины u и заходит в вершину v. О. 1. 7. Вершины, соединенные ребром (дугой), называются смежными. О. 1. 8. Ребра (дуги), имеющие общую вершину, называются смежными.

О. 1. 9. Ребро (дуга) и любая из его двух вершин называются инцидентными. О. 1. 10. Степенью (валентностью) вершины v графа (орграфа) G называется число ребер (дуг), инцидентных вершине v. Обозначение: d(v). О. 1. 11. Вершина v называется изолированной, если d(v) = 0, и висячей (концевой), если d(v) = 1. О. 1. 12. Граф, у которого все вершины имеют одинаковые степени k, называется регулярным степени k.

Пример 2. Рассмотрим неориентированный граф G. Множество вершин: V = {u 1, u 2, u 3, u 4, u 5}. Множество ребер: Е = {е 1, е 2, е 3, е 4}. Смежные вершины: u 1 u 2, u 1 u 3, u 2 u 3, u 3 u 4. Смежные ребра: е 1 е 2, е 1 е 3, е 2 е 4, е 3 е 4.

Инцидентные ребра и вершины: u 1 е 1, u 1 е 3, u 2 е 1, u 2 е 2, u 3 е 3, u 3 е 4, u 4 е 4. Степени вершин: d(u 1) = 2, d(u 2) = 2, d(u 3) = 3, d(u 4) = 1 (висячая), d(u 5) = 0 (изолированная). О. 1. 13. Для орграфа число дуг, исходящих из вершины v, называется полустепенью исхода, а входящих – полустепенью захода. Обозначение: d‒(v), d+(v).

Т. 1. 1. (теорема Эйлера) Сумма степеней вершин графа (орграфа) равна удвоенному количеству ребер (дуг): или где m – число ребер (дуг). В примере 2 число ребер m = 4. Проверим выполнение теоремы Эйлера: d(u 1) + d(u 2) + d(u 3) + d(u 4) + d(u 5) = =2 + 3 + 1 + 0 = 8 = 2 m.

О. 1. 14. Если в орграфе полустепень захода (исхода) некоторой неизолированной вершины равна 0, т. е. d+(v) = 0 (d‒(v) = 0), то такая вершина называется источником (стоком).

Вопрос 2. Виды графов О. 2. 1. Ребро, концы которого совпадают, т. е. ребро вида {u, u}, называется петлей. Петли обычно не ориентированы. О. 2. 2. Ребра (дуги), имеющие одинаковые концы (начало и конец), называются кратными или параллельными. О. 2. 3. Граф без петель и кратных ребер называется простым.

О. 2. 4. Граф без петель и с кратными ребрами называется мультиграфом. О. 2. 5. Граф с петлями и кратными ребрами называется псевдографом. Замечание Если в мультиграфе (псевдографе) вместо ребер рассматривать дуги, то он будет называться ориентированным мультиграфом (псевдографом).

Пример 3.

О. 2. 6. Граф, у которого все вершины изолированы, называется пустым или нуль-графом. О. 2. 7. Простой граф, в котором любые две вершины соединены ребром, называется полным.

Пустой граф состоит из одних вершин, а в полном графе каждая вершина соединена ребрами со всеми остальными вершинами. Пример 4.

О. 2. 8. Граф G(V, Е) называется двудольным (биграфом), если его множество вершин V можно разбить так на два непересекающихся подмножества V 1 и V 2, называемых долями, что у каждого ребра концы будут принадлежать разным долям. В этом случае всякое ребро из Е соединяет вершину из V 1 с вершиной V 2. О. 2. 9. Если двудольный граф G(V, Е) содержит все ребра, соединяющие множества V 1 и V 2, то он называется полным двудольным графом.

Если V 1 = р и V 2 = q, то полный двудольный граф обозначается Кр, q. Пример 5.

ВОПРОС 3. ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ Если можно взаимно однозначно отобразить множество вершин одного графа на множество вершин другого графа так, что две вершины одного графа будут являться концами ребра в точности тогда, когда соответствующие им вершины другого графа так же соединены ребром, то перед нами копии одного объекта.

О. 3. 1. Графы G 1(V 1, Е 1) и G 2(V 2, Е 2) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение такое, что пара {u, v} является ребром графа G 1 тогда и только тогда, когда пара {φ(u), φ(v)} является ребром графа G 2. Обозначение: G 1 G 2. Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности, так как обладает свойствами: • Рефлексивность: G G. • Симметричность: если G 1 G 2, то G 2 G 1. • Транзитивность: если G 1 G 2 и G 2 G 3, то G 1 G 3.

Графы рассматриваются с точностью до изоморфизма, т. е. рассматриваются классы эквивалентности по отношению изоморфизма. Пример 6. Три внешне различных диаграммы являются диаграммами изоморфных графов, т. е. изображают один и тот же граф К 3, 3).