Элементы матричного анализа Векторы на плоскости и в

Элементы матричного анализа Векторы на плоскости и в пространстве Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B. Координатами вектора называются B координаты его конечной точки, если начальная _ точка вектора совпадает с началом координат. Длиной (модулем) вектора называется число, a равное длине отрезка AB, изображающего вектор. A На плоскости вектор можно задать парой координат (x, y) или представить в виде - единичные векторы осей OX, OY Длина вектора:

В пространстве R 3 вектор можно задать тремя координатами (x, y, z) или представить в виде B _ a A - единичные векторы осей OX, OY, OZ Длина вектора: n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n вещественных чисел a=(a 1, a 2, … an). Векторным (линейным) пространством называется множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число: a=(a 1, a 2, … an), b=(b 1, b 2, … bn) 1) c = a+b → ci=ai+bi для всех i, 2) c = → ci= i для всех i. a a

Вектор am называется линейной комбинацией векторов a 1, a 2, … am-1, если am = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 +…+ λm-1 am-1 (1) Векторы a 1, a 2, … am являются линейно зависимыми, если существуют числа λ 1, λ 2 , …, λm не равные одновременно нулю, что λ 1 a 1 + λ 2 a 2 +…+ λm am = 0 (2) Если равенство (2) выполняется только при λ 1= λ 2 =…=λm = 0, то векторы a 1, a 2, … am являются линейно независимыми. Максимальное число линейно независимых векторов определяет размерность пространства

Базисом n-мерного пространства Rn называется совокупность n линейно независимых векторов: (e 1, e 2, … en ). Любой вектор x можно разложить по базису: x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +…+ xn en (3) Скалярным произведением двух векторов x = (x 1, x 2 , …, xn ) и y = (y 1, y 2 , …, yn ) называется число (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 +…+ xn yn (4) Линейное (векторное) пространство называется евклидовым, когда в нем задано скалярное произведение векторов.

Длиной (нормой) вектора x в евклидовом пространстве называется число (5) Два вектора x, y называются ортогональными, если (x, y) = 0. Базис n-мерного пространства называется ортогональным, если (ei, ej) = 0 при i≠j. Базис n-мерного пространства называется ортонормированным, если (ei, ej) = 0 при i≠j и |ei|=1 для всех i.

Прямая и плоскость Уравнение прямой на плоскости С угловым коэффициентом k и смещением по оси ординат b: y y = kx+b (1) b x С угловым коэффициентом k и проходящей y через точку M(x 0, y 0): y – y 0=k(x – x 0) (2) (x 0, y 0) x

Уравнение прямой на плоскости Проходящей через 2 точки M(x 1, y 1) и M(x 2, y 2): y (3) В матричном виде: (x 2, y 2) (x 1, y 1) x (4) y В отрезках (a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях Ox и Oy): (5) b a x

Общее уравнение прямой на плоскости: Ax+By+C=0 (6) Пусть две прямые заданы уравнениями y = k 1 x+b 1 и y = k 2 x+b 2 или A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0. Угол φ между прямыми определяется из формулы: (7) y или (8) x

Условие параллельности прямых: (9) y x Условие перпендикулярности прямых: y (10) x Расстояние от точки (x 0, y 0) до прямой, заданной в общем виде: (11)

Кривые второго порядка 1. Общее уравнение кривых второго порядка: Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 (1) 2. Уравнение окружности: (x-x 0)2+(y-y 0)2=R 2 (2) 3. Каноническое уравнение эллипса: (3) 4. Каноническое уравнение гиперболы: (4) 5. Каноническое уравнение параболы: y 2=2 px (5)

Эллипс Каноническое уравнение эллипса: (3) b M(x, y) a F 1 F 2 a и b – полуоси эллипса, c 2=a 2 -b 2. Фокусы эллипса F 1(-c; 0) и F 2(c; 0), если a>b. Эксцентриситет эллипса (6) Расстояния от точки M(x, y) до фокусов: (7) (8)

Гипербола Каноническое уравнение гиперболы: (4) a и b – полуоси гиперболы, c 2=a 2+b 2. Фокусы гиперболы F 1(-c; 0) и F 2(c; 0). M(x, y) b F 1 a F 2

Эксцентриситет гиперболы (9) Расстояния от точки M(x, y) до фокусов: (10) Уравнения асимптот гиперболы: (11)

Обратная пропорциональная зависимость (12) - равносторонняя гипербола, асимптоты – оси координат, вершины (x 0, y 0), x 0 y 0

Дробно-линейная функция (12) - равносторонняя гипербола, асимптоты – центр

Парабола Каноническое уравнение параболы: y 2=2 px (5) (если она симметрична относительно оси Ox), x 2=2 py (13) или y=Ax 2 (14) (если она симметрична относительно оси Oy), где A=1/(2 p). Фокус параболы: Уравнение директрисы: (15)

2. 5 x 2=y/2 p=1/4 2 1. 5 1 0. 5 0 -1. 5 -1 -0. 5 0 0. 5 Фокус параболы: 1 1. 5 y 2=x/2 p=1/4 1. 5 1 0. 5 Уравнение директрисы: 0 -1 -0. 5 0 -0. 5 -1 -1. 5 0. 5 1 1. 5 2 2. 5