Элементы математической статистики Статистика Математическая статистика

Элементы математической статистики

Статистика Математическая статистика – раздел математики, посвящённый математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. Термин «Статистика» объединяет целый комплекс специализированных научных дисциплин, в котором можно выделить следующие основные направления: методы сбора данных; методы измерения; методы обработки и анализа данных.

Основные понятия статистики Полный набор всех возможных значений исследуемого признака называется генеральной совокупностью. N – объем совокупности. Однако в реальности провести сплошное обследование нецелесообразно и невозможно. На практике ограничиваются выборкой. Часть генеральной совокупности из n элементов, отобранных случайным образом называется выборкой. n ≤ N Выборка с объемом < 30 называется выборкой малого объема

Требования к выборке Однородность. Выбор осуществляется на основаниях: возраст, уровень интеллекта, национальность, заболевания. В выборке применяется ряд обязательных требований, определенных, прежде всего, целями и задачами исследования. Однородность выборки означает, что психолог, изучая, например, подростков, не может, включать в эту же выборку взрослых людей. Репрезентативность – качество выборки позволяющее распространять полученные на ней выводы на всю генеральную совокупность. Состав экспериментальной выборки это модель генеральной совокупности. Следует отметить, что любая выборка может быть репрезентативной лишь в каких-то определенных, но не всех отношениях. Например, если выборка сделана по социально-образовательному признаку, это не значит, что она будет репрезентативна и для возрастной структуры населения или для разных типов семьи и т. д.

Основные понятия статистики Варианты – значения исследуемого признака. Частота – это количество одинаковых вариант. Относительная частота (частость) – это отношение частоты к объему выборки (статистическая вероятность).

Способы представления статистических данных 1. Упорядоченный ряд – это все возможные значения исследуемого признака, расположенные в порядке возрастания. 2. Вариационный (статистический) ряд – это таблица, в первой строке которой расположены возможные упорядоченные значения признака, а во второй – соответствующие частоты (относительные частоты). 3. Интервальный вариационный ряд используется, когда вариант много и практически каждая встречается по одному разу.

Примеры представления информации Фамилия ЕГЭ Проверочная № 3 Бучнева 206 4 Алейников 179 3 Головцов 196 3 Касаткина 201 4 Красноцветова 203 4 Прялухина 173 4 Самойлов 204 5 Сочилова 152 4 Оценка 3 4 5 Спирин 141 4 Кол-во 3 6 1 Смирнова 191 3 Упорядоченный ряд по результатам ЕГЭ: 206, 204, 203, 201, 196, 191, 179, 173, 152, 141. Вариационный ряд по результатам проверочной:

Интервальный ряд Имеются результаты сдачи ЕГЭ по математике в 2011 году. 0 6 12 18 24 30 34 38 41 45 49 52 56 60 63 % 0, 4 1, 1 1, 9 2, 8 4, 0 5, 4 6, 7 7, 7 8, 4 8, 8 9, 0 8, 3 6, 8 5, 5 66 68 70 73 75 77 82 84 87 89 91 94 96 98 100 3, 8 2, 1 1, 4 1, 1 0, 8 0, 6 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0 0 80 Построить интервальный ряд, сгруппировав результаты по уровням общеобразовательной подготовки: Уровень Минимальный общеобразователь ной подготовки % 15, 6 низкий 57, 9 средний высокий 25, 3 1, 2

Графическое представление информации Для графического представления дискретного вариационного ряда используют полигон частот (от греч. слова – многоугольник). Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки с координатами Оценка 3 4 5 Кол-во 3 6 1 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6

Графическое представление интервального ряда Для графического представления интервального ряда можно использовать: полигон частот по серединам интервалов; Гистограмму. Гистограмма – это столбчатая диаграмма, ширина каждого столбца равна длине соответствующего интервала , а высота вычисляется по формуле

Графическое представление интервального ряда Уровень общеобразовательной подготовки Миним. Низкий Средний Высокий % 15, 6 57, 9 25, 3 1, 2 Середина интервала (0+31)/2=15, 5 44 26 70 92 26 18 Длина интервала Высота столбца 31 -0=31

Гистограмма Полигон частот 70 0. 025 60 0. 02 50 40 0. 015 30 0. 01 20 0. 005 10 0 20 40 60 80 100 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96101

Построение вариационного ряда в MS Excel Пусть в столбце A содержатся результаты эксперимента. 1. Определить диапазон изменения аргумента, т. е. найти минимальное и максимальное значения, используя вспомогательные функции =МИН(A: A) и =МАКС(A: A). 2. Создать столбец вариант от минимального до максимального значений, используя автозаполнение по правилу арифметической прогрессии. 3. Вычислить частоту для каждой варианты, используя функцию =ЧАСТОТА(A: A; «критерий» ), в качестве критерия указать соответствующее значение варианты.

Пример создания вариационного ряда

Построение полигона частот для вариационного ряда в MS Excel 1. Выделить столбцы, содержащие варианты и частоты вариационного ряда. 2. Выбрать панель инструментов ВСТАВКА. 3. Выбрать инструмент 4. Выбрать вид диаграммы «ТОЧЕЧНАЯ С ПРЯМЫМИ ОТРЕЗКАМИ И МАРКЕРАМИ» .

Построение интервального ряда в MS Excel Пусть в столбце A содержатся результаты эксперимента. 1. Определить диапазон изменения аргумента, т. е. найти минимальное и максимальное значения, используя вспомогательные функции =МИН(A: A) и =МАКС(A: A). 2. Определить количество интервалов по формуле Стержесса: 3. Определить длину каждого интервала: 4. Сформировать границы интервалов. Левая граница первого интервала совпадает с минимальным значением. Правая граница первого интервала вычисляется как левая граница плюс длина интервала. Левая граница следующего интервала совпадает с правой границей предыдущего. 5. Чтобы вычислить частоту попадания в каждый интервал используют формулу =ЧАСТОТА( «массив_данных» ; «массив_интервалов» ). Причем в качестве «массива_данных» используют исходный столбец A: A, а в качестве «массива интервалов» берут правые границы интервалов. Чтобы распространить эту формулу для всех интервалов требуется выделить нужные ячейки, начиная с ячейки, содержащей формулу, перейти в строку формул, нажать SHIFT+CTRL+ENTER.

Пример построения интервального ряда

Построение гистограммы для интервального ряда в MS Excel 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. Вычислить середину каждого интервала, создав новый столбец. Вычислить высоту каждого столбца. Выделить столбик с высотами. Выбрать панель инструментов ВСТАВКА. Выбрать инструмент Выбрать вид диаграммы «ГИСТОГРАММА С ГРУППИРОВКОЙ» . Изменить параметры диаграммы: 2. выделить гистограмму, выбрать пункт меню «ФОРМАТ РЯДА ДАННЫХ» , выбрать закладку «ПАРАМЕТРЫ РЯДА» и установить, что боковой зазор «БЕЗ ЗАЗОРА» ; Выделить гистограмму, выбрать пункт меню «ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ…» , нажать кнопку «ИЗМЕНИТЬ» подписи по горизонтальной оси и выбрать значения из столбца с серединами интервалов.